6. 如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC=6，则DF的长是()

A.2
B.3
C.$\frac{5}{2}$
D.4

6.B

证明：
∵D，E分别是BC，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AB，且DE=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠ABF=∠DFB（两直线平行，内错角相等），
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠DBF，
∴∠DFB=∠DBF，
∴DF=DB（等角对等边），
∵D是BC的中点，BC=6，
∴DB=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴DF=3.
答案：B

7. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD=4，CE=2，连接DE，若M，N分别为线段DE，BC的中点，则线段MN的长为()

A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{5}$

7.B

证明：取$BE$的中点$F$，连接$MF$，$NF$。
在$△ BDE$中，$M$，$F$分别为$DE$，$BE$的中点，
$\therefore MF// BD$，$MF=\frac{1}{2}BD=2$。
在$△ BCE$中，$N$，$F$分别为$BC$，$BE$的中点，
$\therefore NF// CE$，$NF=\frac{1}{2}CE=1$。
$\because ∠ A=90°$，$BD// MF$，$CE// NF$，
$\therefore ∠ MFN=90°$。
在$Rt△ MFN$中，$MN=\sqrt{MF^2 + NF^2}=\sqrt{2^2 + 1^2}=\sqrt{5}$。
答案：B

8. 如图，在△ABC中，AB=AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN，EM。若AB=5cm，BC=8cm，DE=4cm，则图中阴影部分的面积为()

A.1cm²
B.1.5cm²
C.2cm²
D.3cm²

8.B

解：过点$A$作$AF⊥ BC$于点$F$，
$\because AB=AC=5\,\mathrm{cm}$，$BC=8\,\mathrm{cm}$，
$\therefore BF=FC=4\,\mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，$AF=\sqrt{AB^2-BF^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\,\mathrm{cm}$，
$△ ABC$面积$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×8×3=12\,\mathrm{cm}^2$。
$M$，$N$分别为$AB$，$AC$中点，连接$MN$，
$\therefore MN// BC$，$MN=\frac{1}{2}BC=4\,\mathrm{cm}$，$MN$到$BC$距离为$\frac{1}{2}AF=\frac{3}{2}\,\mathrm{cm}$。
设$O$到$DE$距离为$h$，则$O$到$MN$距离为$\frac{3}{2}-h$，
$\because MN// DE$，$MN=DE=4\,\mathrm{cm}$，
$\therefore △ OMN≌△ OED$，$h=\frac{3}{2}-h⇒ h=\frac{3}{4}\,\mathrm{cm}$。
阴影部分面积$S_{△ ODE}=\frac{1}{2}× DE× h=\frac{1}{2}×4×\frac{3}{4}=1.5\,\mathrm{cm}^2$。
答案：B

9. 如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=3，M，N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是()

A.$1＜MN＜5$
B.$1＜MN≤5$
C.$\frac{1}{2}＜MN＜\frac{5}{2}$
D.$\frac{1}{2}＜MN≤\frac{5}{2}$

9.D

证明：连接BD，取BD中点P，连接PM，PN。
∵M，P分别是AD，BD中点，
∴PM是△ABD中位线，$PM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1$。
∵N，P分别是BC，BD中点，
∴PN是△BCD中位线，$PN=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$。
在△PMN中，$|PM-PN|＜MN＜PM+PN$，
即$|\frac{3}{2}-1|＜MN＜\frac{3}{2}+1$，$\frac{1}{2}＜MN＜\frac{5}{2}$。
当AB//CD时，M，P，N共线，$MN=|PM-PN|=\frac{1}{2}$或$MN=PM+PN=\frac{5}{2}$，但四边形ABCD中AB与CD不平行（否则为梯形，中位线$MN=\frac{AB+CD}{2}=\frac{5}{2}$，但题目未明确梯形，需考虑一般四边形），综合得$\frac{1}{2}＜MN≤\frac{5}{2}$。
D

10. 如图，已知在□ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，E是边CD的中点，且BC=10，则OE=。

10.5

证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$O$是$BD$的中点（平行四边形对角线互相平分）。
∵$E$是边$CD$的中点，
∴$OE$是$△ BCD$的中位线（三角形中位线定义）。
∴$OE=\frac{1}{2}BC$（三角形中位线定理）。
∵$BC=10$，
∴$OE=\frac{1}{2}×10=5$。
5

11. 如图，顺次连接四边形ABCD四边的中点E，F，G，H，则四边形EFGH的形状一定是。

11.平行四边形

证明：连接AC。
∵E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，
∴EH为△ABD的中位线，FG为△CBD的中位线，
∴EH//BD，EH=$\frac{1}{2}$BD，FG//BD，FG=$\frac{1}{2}$BD，
∴EH//FG且EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形。
平行四边形

12. 如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是线段AO，BO的中点。若AC+BD=24cm，△OAB的周长是18cm，则EF=cm。

12.3

解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD。
∵AC+BD=24cm，
∴OA+OB=12cm。
∵△OAB的周长是18cm，
∴AB=18-(OA+OB)=6cm。
∵E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EF是△OAB的中位线，
∴EF=1/2AB=3cm。
故答案为3。