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3. 一般地,从一个角的顶点引出的两条射线,把这个角分成三个相等的角,这两条射线称为这个角的三等分线。如图所示,直角三角板$AOB的直角顶点O在直线MN$上,过点$O作射线OP$,使$∠AOP = 10^{\circ}$,将三角板$AOB绕点O在直线MN$上方转动,若转动到$OP是∠MOB$的三等分线时,$∠BON$的度数为 ___ 。
答案
60°或30°
解析
【分析】
解题时首先梳理已知条件：∠AOB是直角为90°，直线MN构成的平角∠MON为180°，∠AOP固定为10°，OP是∠MOB的三等分线。由于三等分线存在两种位置（可将∠MOB分成1:2或2:1的两部分），且射线OP可位于OA的两侧，需用分类讨论思想求解：先设∠BON为x，用x表示出∠MOB、∠AOM，再结合∠AOP的度数表示出∠MOP，根据三等分线的等量关系列方程，舍去不符合实际的解即可得到结果。
【解析】
解：设∠BON的度数为$x$。
∵ $MN$是直线，
∴ $∠ MON=180°$，可得$∠ MOB=180° - x$。
∵ $∠ AOB=90°$，
∴ $∠ AOM=∠ MON - ∠ AOB - ∠ BON=180° - 90° - x=90° - x$。
已知$∠ AOP=10°$，$OP$是$∠ MOB$的三等分线，分两种符合题意的情况讨论：
1. 当$OP$在$∠ AOB$内部时，$∠ MOP=∠ AOM + ∠ AOP=(90° - x)+10°=100° - x$，此时$∠ MOP=\frac{1}{3}∠ MOB$，列方程：
$100° - x = \frac{1}{3}(180° - x)$
两边同乘3得：$300° - 3x=180° - x$，解得$x=60°$，符合角度取值要求。
2. 当$OP$在$∠ AOM$内部时，$∠ MOP=∠ AOM - ∠ AOP=(90° - x)-10°=80° - x$，此时$∠ MOP=\frac{1}{3}∠ MOB$，列方程：
$80° - x = \frac{1}{3}(180° - x)$
两边同乘3得：$240° - 3x=180° - x$，解得$x=30°$，符合角度取值要求。
其余三等分线情况解得角度为负，不符合实际，舍去。
【答案】
$60°$或$30°$
【知识点】
角度计算、三等分线定义、分类讨论思想
【点评】
本题是角度计算的典型培优题，易错点是容易忽略三等分线的两种位置、以及射线OP的位置导致漏解，解题时需要牢记分类讨论的原则，验证解的合理性。
【难度系数】
0.6
解题时首先梳理已知条件：∠AOB是直角为90°，直线MN构成的平角∠MON为180°，∠AOP固定为10°，OP是∠MOB的三等分线。由于三等分线存在两种位置（可将∠MOB分成1:2或2:1的两部分），且射线OP可位于OA的两侧，需用分类讨论思想求解：先设∠BON为x，用x表示出∠MOB、∠AOM，再结合∠AOP的度数表示出∠MOP，根据三等分线的等量关系列方程，舍去不符合实际的解即可得到结果。
【解析】
解：设∠BON的度数为$x$。
∵ $MN$是直线，
∴ $∠ MON=180°$，可得$∠ MOB=180° - x$。
∵ $∠ AOB=90°$，
∴ $∠ AOM=∠ MON - ∠ AOB - ∠ BON=180° - 90° - x=90° - x$。
已知$∠ AOP=10°$，$OP$是$∠ MOB$的三等分线，分两种符合题意的情况讨论：
1. 当$OP$在$∠ AOB$内部时，$∠ MOP=∠ AOM + ∠ AOP=(90° - x)+10°=100° - x$，此时$∠ MOP=\frac{1}{3}∠ MOB$，列方程：
$100° - x = \frac{1}{3}(180° - x)$
两边同乘3得：$300° - 3x=180° - x$，解得$x=60°$，符合角度取值要求。
2. 当$OP$在$∠ AOM$内部时，$∠ MOP=∠ AOM - ∠ AOP=(90° - x)-10°=80° - x$，此时$∠ MOP=\frac{1}{3}∠ MOB$，列方程：
$80° - x = \frac{1}{3}(180° - x)$
两边同乘3得：$240° - 3x=180° - x$，解得$x=30°$，符合角度取值要求。
其余三等分线情况解得角度为负，不符合实际，舍去。
【答案】
$60°$或$30°$
【知识点】
角度计算、三等分线定义、分类讨论思想
【点评】
本题是角度计算的典型培优题，易错点是容易忽略三等分线的两种位置、以及射线OP的位置导致漏解，解题时需要牢记分类讨论的原则，验证解的合理性。
【难度系数】
0.6
4. (新定义、分类讨论)如图(1)所示,已知射线$OC在∠AOB$的内部,若$∠AOB$,$∠AOC和∠BOC$三个角中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍,则称射线$OC是∠AOB$的奇妙线。
(1)一个角的平分线 ___ 这个角的奇妙线(填“是”或“不是”)。
(2)如图(2)所示,$∠MPN = 60^{\circ}$。
①若射线$PQ是∠MPN$的奇妙线,求$∠QPN$的度数；
②若射线$PF从PN$位置开始,以每秒$3^{\circ}的速度绕点P$按逆时针方向旋转,当$∠FPN首次等于180^{\circ}$时停止旋转。设旋转的时间为$t\mathrm{s}$,当$t$为何值时,射线$PM是∠FPN$的奇妙线？
(1)一个角的平分线 ___ 这个角的奇妙线(填“是”或“不是”)。
(2)如图(2)所示,$∠MPN = 60^{\circ}$。
①若射线$PQ是∠MPN$的奇妙线,求$∠QPN$的度数；
②若射线$PF从PN$位置开始,以每秒$3^{\circ}的速度绕点P$按逆时针方向旋转,当$∠FPN首次等于180^{\circ}$时停止旋转。设旋转的时间为$t\mathrm{s}$,当$t$为何值时,射线$PM是∠FPN$的奇妙线？
答案
4.解:
(1)是
(2)①∠QPN的度数为20°或30°或40°.
②因为射线PM是∠FPN的奇妙线,所以PM在∠FPN的内部.所以PF在∠NPM的外部.分三种情况:
(Ⅰ)如图①所示,当∠NPM=2∠FPM时,
∠FPM=$\frac{1}{2}$∠NPM=$\frac{1}{2}$×60°=30°,所以∠FPN=∠NPM+∠FPM=60°+30°=90°.所以t=90÷3=30(s);
(Ⅱ)如图②所示,当∠FPN=2∠MPN时,
∠FPN=2×60°=120°.所以t=120÷3=40(s);
(Ⅲ)当∠FPM=2∠NPM时,如图③所示,
因为∠FPM=2×60°=120°,所以∠FPN=∠NPM+∠FPM=60°+120°=180°.所以t=180÷3=60(s).
综上,当t为30或40或60时,射线PM是∠FPN的奇妙线.
解析
【分析】
(1) 角平分线会把一个角分成两个相等的小角，原角的度数恰好是每个小角度数的2倍，符合“奇妙线”的定义，可直接判断。
(2) ① 根据“奇妙线”的定义，∠MPN、∠MPQ、∠QPN三个角中存在一个角是另一个角的2倍，分3种不同的倍数情况，结合∠MPN=60°，利用角的和差关系计算∠QPN的度数即可。
② 射线PF逆时针旋转，若PM是∠FPN的奇妙线，则PM在∠FPN内部，即PF旋转至∠MPN外侧，同样分3种倍数情况计算对应∠FPN的度数，再结合PF每秒3°的旋转速度求出时间t，注意旋转到∠FPN=180°时停止，需验证结果是否符合取值范围。
【解析】
解：(1) 若射线OC是∠AOB的平分线，则∠AOB=2∠AOC=2∠BOC，满足“三个角中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍”的奇妙线定义，因此一个角的平分线是这个角的奇妙线。
(2) ① 设∠QPN的度数为x，分三种情况讨论：
情况1：当∠MPQ=2∠QPN时，∠MPQ=2x，由∠MPQ+∠QPN=∠MPN=60°，得2x+x=60°，解得x=20°；
情况2：当∠MPN=2∠QPN时，60°=2x，解得x=30°；
情况3：当∠QPN=2∠MPQ时，∠MPQ=$\frac{1}{2}$x，由$\frac{1}{2}$x +x=60°，解得x=40°。
因此∠QPN的度数为20°或30°或40°。
② 由题意得，旋转t秒后∠FPN=3t°，其中0＜t≤60（3t≤180），此时PM是∠FPN的奇妙线，PM在∠FPN内部，分三种情况：
(Ⅰ) 当∠NPM=2∠FPM时，∠FPM=$\frac{1}{2}$∠NPM=$\frac{1}{2}$×60°=30°，则∠FPN=∠NPM+∠FPM=60°+30°=90°，即3t=90，解得t=30；
(Ⅱ) 当∠FPN=2∠MPN时，∠FPN=2×60°=120°，即3t=120，解得t=40；
(Ⅲ) 当∠FPM=2∠NPM时，∠FPM=2×60°=120°，则∠FPN=∠NPM+∠FPM=60°+120°=180°，即3t=180，解得t=60。
综上，t的值为30、40、60。
【答案】
(1)是
(2)①∠QPN的度数为20°或30°或40°.
②因为射线PM是∠FPN的奇妙线,所以PM在∠FPN的内部.所以PF在∠NPM的外部.分三种情况:
(Ⅰ)如图①所示,当∠NPM=2∠FPM时,
∠FPM=$\frac{1}{2}$∠NPM=$\frac{1}{2}$×60°=30°,所以∠FPN=∠NPM+∠FPM=60°+30°=90°.所以t=90÷3=30(s);
(Ⅱ)如图②所示,当∠FPN=2∠MPN时,
∠FPN=2×60°=120°.所以t=120÷3=40(s);
(Ⅲ)当∠FPM=2∠NPM时,如图③所示,
因为∠FPM=2×60°=120°,所以∠FPN=∠NPM+∠FPM=60°+120°=180°.所以t=180÷3=60(s).
综上,当t为30或40或60时,射线PM是∠FPN的奇妙线.
【知识点】
新定义问题，角的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查角度的静态与动态计算，解题时需要紧扣定义，对所有可能的倍数关系分类讨论，动态问题要先明确运动的边界范围，避免漏解。
【难度系数】
0.5
(1) 角平分线会把一个角分成两个相等的小角，原角的度数恰好是每个小角度数的2倍，符合“奇妙线”的定义，可直接判断。
(2) ① 根据“奇妙线”的定义，∠MPN、∠MPQ、∠QPN三个角中存在一个角是另一个角的2倍，分3种不同的倍数情况，结合∠MPN=60°，利用角的和差关系计算∠QPN的度数即可。
② 射线PF逆时针旋转，若PM是∠FPN的奇妙线，则PM在∠FPN内部，即PF旋转至∠MPN外侧，同样分3种倍数情况计算对应∠FPN的度数，再结合PF每秒3°的旋转速度求出时间t，注意旋转到∠FPN=180°时停止，需验证结果是否符合取值范围。
【解析】
解：(1) 若射线OC是∠AOB的平分线，则∠AOB=2∠AOC=2∠BOC，满足“三个角中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍”的奇妙线定义，因此一个角的平分线是这个角的奇妙线。
(2) ① 设∠QPN的度数为x，分三种情况讨论：
情况1：当∠MPQ=2∠QPN时，∠MPQ=2x，由∠MPQ+∠QPN=∠MPN=60°，得2x+x=60°，解得x=20°；
情况2：当∠MPN=2∠QPN时，60°=2x，解得x=30°；
情况3：当∠QPN=2∠MPQ时，∠MPQ=$\frac{1}{2}$x，由$\frac{1}{2}$x +x=60°，解得x=40°。
因此∠QPN的度数为20°或30°或40°。
② 由题意得，旋转t秒后∠FPN=3t°，其中0＜t≤60（3t≤180），此时PM是∠FPN的奇妙线，PM在∠FPN内部，分三种情况：
(Ⅰ) 当∠NPM=2∠FPM时，∠FPM=$\frac{1}{2}$∠NPM=$\frac{1}{2}$×60°=30°，则∠FPN=∠NPM+∠FPM=60°+30°=90°，即3t=90，解得t=30；
(Ⅱ) 当∠FPN=2∠MPN时，∠FPN=2×60°=120°，即3t=120，解得t=40；
(Ⅲ) 当∠FPM=2∠NPM时，∠FPM=2×60°=120°，则∠FPN=∠NPM+∠FPM=60°+120°=180°，即3t=180，解得t=60。
综上，t的值为30、40、60。
【答案】
(1)是
(2)①∠QPN的度数为20°或30°或40°.
②因为射线PM是∠FPN的奇妙线,所以PM在∠FPN的内部.所以PF在∠NPM的外部.分三种情况:
(Ⅰ)如图①所示,当∠NPM=2∠FPM时,
∠FPM=$\frac{1}{2}$∠NPM=$\frac{1}{2}$×60°=30°,所以∠FPN=∠NPM+∠FPM=60°+30°=90°.所以t=90÷3=30(s);
(Ⅱ)如图②所示,当∠FPN=2∠MPN时,
∠FPN=2×60°=120°.所以t=120÷3=40(s);
(Ⅲ)当∠FPM=2∠NPM时,如图③所示,
因为∠FPM=2×60°=120°,所以∠FPN=∠NPM+∠FPM=60°+120°=180°.所以t=180÷3=60(s).
综上,当t为30或40或60时,射线PM是∠FPN的奇妙线.
【知识点】
新定义问题，角的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查角度的静态与动态计算，解题时需要紧扣定义，对所有可能的倍数关系分类讨论，动态问题要先明确运动的边界范围，避免漏解。
【难度系数】
0.5
