1. 已知$∠ABC = ∠DBE$,射线$BD在∠ABC$的内部,按要求完成下列各小题。
尝试探究：如图(1)所示,已知$∠ABC = 90^{\circ}$,当$BD是∠ABC$的平分线时,求$∠ABE + ∠DBC$的度数；
初步应用：如图(2)所示,已知$∠ABC = 90^{\circ}$,若$BD不是∠ABC$的平分线,求$∠ABE + ∠DBC$的度数；
拓展提升：如图(3)所示,当$∠ABC = 45^{\circ}$时,试判断$∠ABE与∠DBC$之间的数量关系,并说明理由。

1.解:尝试探究:因为∠ABC=90°,BD平分∠ABC,所以∠DBC=45°.因为∠DBE=∠ABC=90°,∠DBC+∠CBE=∠DBE,所以∠CBE=45°.所以∠ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC=90°+45°+45°=180°.初步应用:因为∠DBE=∠ABC=90°,所以∠ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC=∠ABC+∠DBE=180°.即∠ABE+∠DBC的度数为180°.拓展提升:∠ABE+∠DBC=90°.理由如下:因为∠DBE=∠ABC=45°,所以∠ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC=∠ABC+∠DBE=90°.

【分析】
这道题属于共顶点的角度和差计算问题，解题核心是利用已知的$∠ ABC=∠ DBE$，将所求的$∠ ABE$拆分为$∠ ABC+∠ CBE$，再结合角度和的关系整体代换计算，无需单独求解每个未知小角的度数：
1. 尝试探究部分：先利用角平分线定义求出$∠ DBC$的度数，再结合$∠ DBE=90°$求出$∠ CBE$的度数，最后代入$∠ ABE+∠ DBC$的拆分式计算即可；
2. 初步应用部分：不需要角平分线条件，直接将$∠ ABE+∠ DBC$转化为$∠ ABC+(∠ CBE+∠ DBC)$，而$∠ CBE+∠ DBC$正好等于$∠ DBE$，直接代入已知的两个90°求和即可；
3. 拓展提升部分：和初步应用的思路完全一致，只是将$∠ ABC$和$∠ DBE$的度数换成45°，代入求和就能得到两个角的数量关系。
【解析】
尝试探究
已知$∠ ABC=90°$，BD平分$∠ ABC$，根据角平分线的定义可得：
$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×90°=45°$
又因为$∠ DBE=∠ ABC=90°$，且$∠ DBC+∠ CBE=∠ DBE$，所以：
$∠ CBE=∠ DBE-∠ DBC=90°-45°=45°$
而$∠ ABE=∠ ABC+∠ CBE$，因此：
$∠ ABE+∠ DBC=∠ ABC+∠ CBE+∠ DBC=90°+45°+45°=180°$
初步应用
已知$∠ DBE=∠ ABC=90°$，将$∠ ABE$拆分为$∠ ABC+∠ CBE$，可得：
$∠ ABE+∠ DBC=∠ ABC+∠ CBE+∠ DBC$
观察式子发现$∠ CBE+∠ DBC=∠ DBE$，代入得：
$∠ ABE+∠ DBC=∠ ABC+∠ DBE=90°+90°=180°$
拓展提升
$∠ ABE+∠ DBC=90°$，理由如下：
已知$∠ DBE=∠ ABC=45°$，同理将$∠ ABE$拆分为$∠ ABC+∠ CBE$，可得：
$∠ ABE+∠ DBC=∠ ABC+∠ CBE+∠ DBC=∠ ABC+∠ DBE$
代入度数计算得：$∠ ABE+∠ DBC=45°+45°=90°$
【答案】
尝试探究：$\boxed{180°}$；初步应用：$\boxed{180°}$；拓展提升：$\boxed{∠ ABE + ∠ DBC = 90°}$
【知识点】
角的和差计算，角平分线的定义，等量代换
【点评】
本题围绕共顶点的重叠角度计算展开，核心考察整体代换的思想，不需要求出每个未知小角的度数，只需将所求角度和转化为已知角度的和即可快速求解，能有效锻炼几何计算中的逻辑推导和整体思考能力。
【难度系数】
0.7

2. 如图所示,直线$AB$,$CD相交于点O$,$OE平分∠BOD$。
(1)若$∠BOD = 68^{\circ}$,$∠DOF = 90^{\circ}$,求$∠EOF$的度数；
(2)若$OF平分∠COE$,$∠BOF = 30^{\circ}$,求$∠BOD$的度数。

2.解:
(1)因为∠BOD=68°,OE平分∠BOD,所以∠DOE=$\frac{1}{2}$∠BOD=34°.因为∠DOF=90°,所以∠EOF=∠DOF - ∠DOE=90° - 34°=56°.
(2)设∠BOD=x°.因为OE平分∠BOD,所以∠DOE=∠EOB=$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{1}{2}$x°.所以∠EOC=180° - ∠DOE=180° - $\frac{x}{2}$.因为∠EOF=∠EOB+∠BOF,∠BOF=30°,所以∠EOF=$\frac{x}{2}$+30°.因为OF平分∠COE,所以∠EOC=2∠EOF.所以180 - $\frac{x}{2}$=2($\frac{x}{2}$+30),解得x=80.所以∠BOD=80°.

【分析】
(1) 解题思路：先利用角平分线的定义，结合已知∠BOD的度数求出∠DOE的度数；再观察图形中角的和差关系，可知∠EOF=∠DOF-∠DOE，代入∠DOF的数值即可计算出结果。
(2) 解题思路：本题存在多个角平分线关系，未知角度较多，适合用方程思想求解。先设∠BOD为x°，根据角平分线定义用含x的式子表示出∠DOE、∠EOB；再根据邻补角的性质表示出∠COE，同时结合角的和差关系表示出∠EOF；最后利用OF平分∠COE的条件得到等量关系，列方程求解即可得到∠BOD的度数。
【解析】
(1) 已知OE平分∠BOD，∠BOD=68°，根据角平分线的定义可得：
$∠ DOE = \frac{1}{2}∠ BOD = \frac{1}{2} × 68° = 34°$
又已知∠DOF=90°，根据角的差的关系可得：
$∠ EOF = ∠ DOF - ∠ DOE = 90° - 34° = 56°$
(2) 设$∠ BOD = x°$，
因为OE平分∠BOD，所以$∠ DOE = ∠ EOB = \frac{1}{2}∠ BOD = \frac{1}{2}x°$，
∠COE与∠DOE是邻补角，因此$∠ EOC = 180° - ∠ DOE = 180° - \frac{x}{2}$，
根据角的和的关系，$∠ EOF = ∠ EOB + ∠ BOF$，已知∠BOF=30°，所以$∠ EOF = \frac{x}{2} + 30°$，
因为OF平分∠COE，所以$∠ EOC = 2∠ EOF$，代入得方程：
$180 - \frac{x}{2} = 2(\frac{x}{2} + 30)$
解方程：
$180 - \frac{x}{2} = x + 60$
$\frac{3x}{2} = 120$
$x = 80$
即∠BOD=80°。
【答案】
(1) $\boxed{56°}$
(2) $\boxed{80°}$
【知识点】
角平分线的定义，邻补角的性质，角度和差计算
【点评】
本题是角度计算的典型综合题，解题核心是准确梳理角平分线、邻补角对应的数量关系，第二问运用方程思想将复杂的角度关系转化为方程求解，能简化思考过程，做题时需注意区分各个角的和差对应关系，避免混淆出错。
【难度系数】
0.6