4. 已知下列各组有理数：$-\frac{3}{2}和\frac{3}{2}$；$-3和3$；$-4和4$；$3\frac{2}{3}和-3\frac{2}{3}$。
(1)画出数轴,请用数轴上的点表示各组有理数；
(2)观察数轴上表示各组数的点,它们有什么共同特点？

解:
(1)将各组有理数分别在数轴上表示出来，如图所示.　　　　 　
(2)它们的共同特点是数轴上表示各组数的两个点到原点的距离都相等.

【分析】
(1)要在数轴上表示有理数，首先要明确数轴三要素：原点、正方向、单位长度。正数对应原点右侧的点，负数对应原点左侧的点，根据数的绝对值确定点到原点的距离，即可完成标注。
(2)观察每组数对应的两个点的位置，对比它们与原点的位置关系、到原点的距离，即可总结出共同特点。
【解析】
(1)①首先画出数轴，确定原点为0，向右为正方向，选取合适的单位长度；
②根据数的属性和大小确定点的位置：$-\frac{3}{2}、-3、-4、-3\frac{2}{3}$是负数，对应原点左侧的点，分别距离原点$\frac{3}{2}、3、4、3\frac{2}{3}$个单位长度；$\frac{3}{2}、3、4、3\frac{2}{3}$是正数，对应原点右侧的点，分别距离原点$\frac{3}{2}、3、4、3\frac{2}{3}$个单位长度，依次标注即可。
(2)观察数轴上的点可发现，每组数的两个点分别在原点两侧，两点到原点的距离完全相等。
【答案】
(1)将各组有理数分别在数轴上表示出来，如图所示.
(2)它们的共同特点是数轴上表示各组数的两个点到原点的距离都相等。
【知识点】
数轴的使用；有理数的数轴表示；相反数的几何意义
【点评】
本题是数轴相关的基础题，结合数形结合思想，既考查了用数轴表示有理数的基本操作，也能帮助学生直观理解相反数的几何特征，对夯实基础有很大帮助。
【难度系数】
0.85

【例3】根据给出的数轴,解答下面的问题。
(1)请你根据图中$A$,$B$两点的位置,分别写出它们所表示的有理数；
(2)点$A向左移几个单位长度可与点B$重合？
(3)在数轴上画出与点$A的距离为2$的点(用字母$C$,$D$表示),并写出这些点表示的数。

- 易混辨析
到某个点的距离为某个正数的点有两个,分别在这个点的两侧。

解:
(1)点A表示的数是1,点B表示的数是-2.5.　
(2)点A向左移3.5个单位长度可与点B重合.
(3)在数轴上与点A的距离为2的点分别表示3和-1,即数轴上的点C和点D.　　　　　　

【分析】
(1) 确定数轴上点表示的数直接读取对应刻度即可：点A对齐刻度1，可直接读数；点B在-3和-2的正中间，取两个刻度的中间值即可。
(2) 求点A向左移动多少单位与B重合，本质是求A、B两点的距离，用A表示的数减去B表示的数即可得到移动的单位长度。
(3) 到点A距离为2的点有2个，分别在A的左右两侧：右侧的点比A表示的数大2，左侧的点比A表示的数小2，计算出对应数值后标注在数轴上即可。
【解析】
(1) 观察数轴可知，点A对应刻度为1，因此点A表示的有理数是1；点B位于-3和-2的中点位置，因此点B表示的有理数是$-2.5$。
(2) A、B两点的距离为$1 - (-2.5) = 3.5$，由于B在A的左侧，因此点A向左移动3.5个单位长度可与点B重合。
(3) 分两种情况找与点A距离为2的点：
① 点在A右侧时，对应数为$1+2=3$，记为点C；
② 点在A左侧时，对应数为$1-2=-1$，记为点D。
标注后对应数轴如下：

【答案】
(1)点A表示的数是1,点B表示的数是-2.5。
(2)点A向左移3.5个单位长度可与点B重合。
(3)在数轴上与点A的距离为2的点分别表示3和-1,即数轴上的点C和点D。

【知识点】
数轴的认识，数轴上两点间距离，数轴上点的平移
【点评】
本题是数轴的基础应用题型，重点考查数轴读数、两点距离计算，解题时要注意到定点距离为定值的点有两个，分别在定点两侧，避免漏解。
【难度系数】
0.8

5. 已知数轴上$A$,$B两点间的距离为5$,若点$A表示的数为-2$,则点$B$表示的数为( )

A.$3$
B.$-7$
C.$3或-7$
D.$\pm5$

C

【分析】
解题时首先要明确数轴上两点间距离的含义：数轴上两点的距离等于两点所表示数的差的绝对值，同时，到一个定点距离为固定值的点有两个，分别在该定点的左侧和右侧，因此本题需要分两种情况讨论点B的位置，分别计算对应的数值，避免漏解。
【解析】
设点B表示的数为$x$。
根据数轴上两点间的距离公式，A、B两点的距离为5，可列等式：
$\vert x - (-2) \vert = 5$，即$\vert x + 2 \vert = 5$。
根据绝对值的性质，绝对值为5的数有5和-5，因此分两种情况计算：
1. 当$x + 2 = 5$时，解得$x = 5 - 2 = 3$；
2. 当$x + 2 = -5$时，解得$x = -5 - 2 = -7$。
也可以结合数轴位置直接计算：若点B在点A右侧，点B表示的数为$-2 + 5 = 3$；若点B在点A左侧，点B表示的数为$-2 - 5 = -7$。
因此点B表示的数为3或-7，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
数轴上两点距离、绝对值的性质、分类讨论
【点评】
本题考查数轴与绝对值的结合应用，核心易错点是忽略距离为定值的点有两个的情况，解题时养成分类讨论的习惯即可避免漏解。
【难度系数】
0.7

6. 如图所示,观察数轴,解答下面的问题：

(1)请你根据图中$A$,$B$两点的位置,分别写出它们所表示的有理数,$A$：______,$B$：______；
(2)求点$A与点B$的距离。

解:
(1)2　-1.5 　
(2)点A,B间的距离为2-(-1.5)=3.5.

【分析】
解答本题可按以下思路思考：1. 解决第一问：先明确数轴上原点右侧为正数、左侧为负数，每个刻度代表1个单位长度，先定位A、B两点的位置，A在右侧刻度2处，直接得A表示的数；B在-2和-1的中点，计算可得B表示的数。2. 解决第二问：数轴上两点的距离等于右侧点表示的数减去左侧点表示的数（或两个数差的绝对值），代入A、B表示的数计算即可。
【解析】
(1) 观察数轴：A点在原点右侧，与刻度2重合，因此A表示的有理数是2；B点在原点左侧，位于-2和-1的中间位置，对应的数为-1.5。
(2) 数轴上两点间的距离为两点对应数的差的绝对值，因为A在B的右侧，直接用A的数减去B的数计算距离：
$2 - (-1.5) = 2 + 1.5 = 3.5$
【答案】
(1) $\boxed{2}$；$\boxed{-1.5}$
(2) $\boxed{3.5}$
【知识点】
数轴的识别；数轴两点距离计算；有理数减法
【点评】
本题属于数轴基础应用题，侧重考查基础概念的运用，熟练掌握数轴上点和有理数的对应关系、两点距离的计算规则就能快速解题。
【难度系数】
0.85

1. 下列说法正确的有( )
①数轴是一条直线；
②表示$-1的点离原点1$个单位长度；
③数轴上与表示$-3的点相距2个单位长度的点表示的数是-1$；
④距原点$3个单位长度的点表示-3或3$。

A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个

C

【分析】
解题时需结合数轴的定义、数轴上点的距离的计算方法，逐个判断4个说法的正误，统计正确说法的数量即可得到答案。首先回忆数轴的基本概念，再分别分析每个说法：对于涉及距离的问题，要注意数轴上两点相距固定长度时，存在分别在已知点左右两侧的两种情况，避免漏判。
【解析】
我们逐个判断每个说法的正确性：
① 数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线，因此数轴本质是一条直线，该说法正确；
② 点到原点的距离等于该点所对应数的绝对值，$\vert-1\vert=1$，因此表示$-1$的点离原点1个单位长度，该说法正确；
③ 数轴上与表示$-3$的点相距2个单位长度的点有2个：在$-3$的右侧时，对应的数为$-3+2=-1$；在$-3$的左侧时，对应的数为$-3-2=-5$，因此表示的数是$-1$或$-5$，原说法错误；
④ 距原点3个单位长度的点，对应的数的绝对值为3，绝对值为3的数是$3$和$-3$，该说法正确。
综上，正确的说法有①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
数轴的定义；数轴上两点的距离；绝对值的几何意义
【点评】
本题考查数轴相关的基础概念，易错点是判断距离类说法时容易忽略点在已知点左侧的情况，需要全面考虑两种位置的可能性，夯实基础即可轻松解答。
【难度系数】
0.7

2. 下列各数表示在同一条数轴上,距离原点最近的点表示的数是( )

A.$-5$
B.$-4$
C.$-2$
D.$4$

C

【分析】
要找出距离原点最近的点表示的数，首先要明确数轴上的点到原点的距离和对应数的关系：数轴上任意一个数对应的点到原点的距离，等于这个数的绝对值（距离是非负数）。所以我们只需要分别计算四个选项中数的绝对值，再比较绝对值的大小，绝对值最小的数对应的点距离原点最近。
【解析】
第一步：明确数轴上点到原点的距离规则：数轴上表示数$a$的点到原点的距离为$\left|a\right|$。
第二步：分别计算各选项数的绝对值：
选项A：$\left|-5\right|=5$，即$-5$对应的点到原点的距离是5；
选项B：$\left|-4\right|=4$，即$-4$对应的点到原点的距离是4；
选项C：$\left|-2\right|=2$，即$-2$对应的点到原点的距离是2；
选项D：$\left|4\right|=4$，即$4$对应的点到原点的距离是4。
第三步：比较距离大小：$2＜4=4＜5$，可知$-2$对应的点到原点的距离最小。
【答案】
C
【知识点】
数轴的特征、绝对值的意义
【点评】
本题考查数轴上点到原点距离的判断，解题核心是掌握数轴上点的距离和绝对值的对应关系，是基础类题型，熟练掌握相关概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9

3. 如图所示,数轴上有三个点$A$,$B$,$C$,完成下列问题。

(1)$A$点表示的数是______,$B$点表示的数是______,$C$点表示的数是______；
(2)将点$B向右移动5个单位长度到点D$,$D$点表示的数是______；
(3)在数轴上找点$E$,使点$E到B$,$C$两点距离相等,$E$点表示的数是______；
(4)将点$E移动2个单位长度后到点F$,点$F$表示的数是______。

(1)-2　-5　3　
(2)0　
(3)-1　
(4)-3或1

【分析】
解题时先观察数轴确定单位长度：原点0到1的间隔为1个单位长度，数轴左侧数为负、右侧数为正。1. 求各点表示的数：看各点在原点的哪一侧，数出到原点的单位长度即可得到对应数；2. 数轴上点平移遵循“右加左减”的规律，向右移动几个单位就给原数加几；3. 到两点距离相等的点是两点的中点，中点对应的数等于两点表示数的和除以2；4. 未说明点的移动方向时，要分向左移动、向右移动两种情况分别计算，避免漏解。
【解析】
观察数轴可知每个单位长度代表1：
(1) 点A在原点左侧，距原点2个单位，对应数为-2；点B在原点左侧，距原点5个单位，对应数为-5；点C在原点右侧，距原点3个单位，对应数为3。
(2) 点B表示的数为-5，向右移动5个单位，根据平移规律得：$-5+5=0$，即D点表示的数是0。
(3) 点E到B、C距离相等，即E为BC的中点，对应数为：$\frac{-5+3}{2}=-1$，即E点表示的数是-1。
(4) E点表示的数为-1，移动2个单位分两种情况：①向左移动2个单位：$-1-2=-3$；②向右移动2个单位：$-1+2=1$，因此F点表示的数是-3或1。
【答案】
(1)-2；-5；3
(2)0
(3)-1
(4)-3或1
【知识点】
数轴的认识；点的平移规律；中点计算
【点评】
本题考查数轴的基础应用，需要熟练掌握数轴上点与有理数的对应关系、点平移的计算规则，解题时注意没有明确移动方向的题目要分类讨论，防止漏解。
【难度系数】
0.8