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4. 画出数轴,在数轴上画出表示下列各数的点,并回答下列问题。
$-3$,$2$,$-1.5$,$-2$,$0$,$1.5$,$3$。
(1)表示哪些数的点到原点的距离相等？
(2)表示$-2的点与表示3$的点相差几个单位长度？
$-3$,$2$,$-1.5$,$-2$,$0$,$1.5$,$3$。
(1)表示哪些数的点到原点的距离相等？
(2)表示$-2的点与表示3$的点相差几个单位长度？
答案
解:如图所示. 1.5 2 3 -3 -2 -1.5 0 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
(1)表示-3和3，-2和2,-1.5和1.5的点到原点的距离分别相等，
(2)2+3=5. 即表示-2的点与表示3的点相差5个单位长度.
(1)表示-3和3，-2和2,-1.5和1.5的点到原点的距离分别相等，
(2)2+3=5. 即表示-2的点与表示3的点相差5个单位长度.
解析
【分析】
首先我们需要先正确绘制数轴，数轴需包含原点、正方向、单位长度三个核心要素，再根据各数的正负和绝对值大小，在数轴上对应位置标注出所有给出的数。针对第一问，要明确数轴上点到原点的距离等于该数的绝对值，所以到原点距离相等的数互为相反数，只需从给出的数中找出互为相反数的数对即可。针对第二问，求两点相差的单位长度就是求两点间的距离，既可以直接在数轴上数两点之间的间隔数，也可以根据两个点和原点的位置关系求和或差来计算，符合当前学段的知识要求。
【解析】
第一步：绘制并标注数轴
1. 画一条水平直线，在直线中间位置标注原点0；
2. 规定向右为正方向，在直线右端画箭头标识；
3. 选取合适的单位长度，沿原点向右依次标注1、2、3……，向左依次标注-1、-2、-3……，再将题干给出的$-3$、$2$、$-1.5$、$-2$、$0$、$1.5$、$3$依次对应标注在数轴的对应位置上。
第二步：解答问题
(1) 观察数轴可得，互为相反数的两个数到原点的距离相等，因此从给出的数中可找到3组符合要求的数对。
(2) 表示$-2$的点在原点左侧，到原点距离为2个单位长度，表示3的点在原点右侧，到原点距离为3个单位长度，两点分别在原点两侧，因此相差的单位长度为$2+3=5$。
【答案】
(1) 表示-3和3，-2和2，-1.5和1.5的点到原点的距离分别相等。
(2) 表示-2的点与表示3的点相差5个单位长度。
【知识点】
数轴的使用，相反数的性质，数轴两点距离计算
【点评】
本题是数轴的基础应用题型，主要考查对数轴三要素的掌握、相反数几何意义的理解，以及数轴上两点距离的计算方法，熟练掌握这类题能为后续有理数的相关学习打好基础。
【难度系数】
0.8
首先我们需要先正确绘制数轴，数轴需包含原点、正方向、单位长度三个核心要素，再根据各数的正负和绝对值大小，在数轴上对应位置标注出所有给出的数。针对第一问，要明确数轴上点到原点的距离等于该数的绝对值，所以到原点距离相等的数互为相反数，只需从给出的数中找出互为相反数的数对即可。针对第二问，求两点相差的单位长度就是求两点间的距离，既可以直接在数轴上数两点之间的间隔数，也可以根据两个点和原点的位置关系求和或差来计算，符合当前学段的知识要求。
【解析】
第一步：绘制并标注数轴
1. 画一条水平直线，在直线中间位置标注原点0；
2. 规定向右为正方向，在直线右端画箭头标识；
3. 选取合适的单位长度，沿原点向右依次标注1、2、3……，向左依次标注-1、-2、-3……，再将题干给出的$-3$、$2$、$-1.5$、$-2$、$0$、$1.5$、$3$依次对应标注在数轴的对应位置上。
第二步：解答问题
(1) 观察数轴可得，互为相反数的两个数到原点的距离相等，因此从给出的数中可找到3组符合要求的数对。
(2) 表示$-2$的点在原点左侧，到原点距离为2个单位长度，表示3的点在原点右侧，到原点距离为3个单位长度，两点分别在原点两侧，因此相差的单位长度为$2+3=5$。
【答案】
(1) 表示-3和3，-2和2，-1.5和1.5的点到原点的距离分别相等。
(2) 表示-2的点与表示3的点相差5个单位长度。
【知识点】
数轴的使用，相反数的性质，数轴两点距离计算
【点评】
本题是数轴的基础应用题型，主要考查对数轴三要素的掌握、相反数几何意义的理解，以及数轴上两点距离的计算方法，熟练掌握这类题能为后续有理数的相关学习打好基础。
【难度系数】
0.8
5. (2025·阜阳)如图所示,在数轴上有$A$,$B$,$C$三个点,请回答下列问题：
(1)将点$A向左平移5$个单位长度,这时的点表示的数是______；
(2)怎样移动$A$,$B$,$C$中的两个点,才能使三个点表示相同的数？
(1)将点$A向左平移5$个单位长度,这时的点表示的数是______；
(2)怎样移动$A$,$B$,$C$中的两个点,才能使三个点表示相同的数？
答案
解:
(1)-1
(2)当点B,C移动到点A的位置时，点B向右移动4-0=4(个)单位长度，点C向右移动4-(-2)=6(个)单位长度;当点A,C移动到点B的位置时，点A向左移动4-0=4(个)单位长度，点C向右移动0-(-2)=2(个)单位长度;当点A,B移动到点C的位置时，点A向左移动4-(-2)=6(个)单位长度，点B向左移动0-(-2)=2(个)单位长度.
(1)-1
(2)当点B,C移动到点A的位置时，点B向右移动4-0=4(个)单位长度，点C向右移动4-(-2)=6(个)单位长度;当点A,C移动到点B的位置时，点A向左移动4-0=4(个)单位长度，点C向右移动0-(-2)=2(个)单位长度;当点A,B移动到点C的位置时，点A向左移动4-(-2)=6(个)单位长度，点B向左移动0-(-2)=2(个)单位长度.
解析
【分析】
首先从数轴上读取三个点对应的数：点A表示4，点B表示0，点C表示-2。
(1) 数轴上点的平移遵循“左减右加”的规律，即向左平移几个单位长度，就用原数减去平移的单位数，向右平移则用原数加平移的单位数，据此计算点A左移5个单位后的数即可。
(2) 要使三个点表示相同的数，只需固定其中一个点的位置，将另外两个点移动到该点位置即可，共分为3种情况：固定点A、固定点B、固定点C，分别计算另外两个点与固定点的数值差，差为正则向右移动对应单位长度，差为负则向左移动差的绝对值对应的单位长度。
【解析】
首先确定数轴上三个点对应的数：A对应4，B对应0，C对应-2。
(1) 点A向左平移5个单位长度，根据“左减右加”的规律，平移后表示的数为：$4-5=-1$。
(2) 共有3种移动方法：
① 固定点A，将B、C移动到点A的位置：
点B到A的距离为$4-0=4$，即点B向右移动4个单位长度；
点C到A的距离为$4-(-2)=6$，即点C向右移动6个单位长度。
② 固定点B，将A、C移动到点B的位置：
点A到B的距离为$4-0=4$，即点A向左移动4个单位长度；
点C到B的距离为$0-(-2)=2$，即点C向右移动2个单位长度。
③ 固定点C，将A、B移动到点C的位置：
点A到C的距离为$4-(-2)=6$，即点A向左移动6个单位长度；
点B到C的距离为$0-(-2)=2$，即点B向左移动2个单位长度。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$
(2) ①点B向右移动4个单位长度，点C向右移动6个单位长度；②点A向左移动4个单位长度，点C向右移动2个单位长度；③点A向左移动6个单位长度，点B向左移动2个单位长度（以上三种任选其一即可，也可全部写出）。
【知识点】
数轴的认识；点的平移规律；有理数加减法
【点评】
本题考查数轴相关的基础应用，解题核心是掌握数轴上点平移“左减右加”的规律，第二问需要用到分类讨论思想，避免遗漏移动情况，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
首先从数轴上读取三个点对应的数：点A表示4，点B表示0，点C表示-2。
(1) 数轴上点的平移遵循“左减右加”的规律，即向左平移几个单位长度，就用原数减去平移的单位数，向右平移则用原数加平移的单位数，据此计算点A左移5个单位后的数即可。
(2) 要使三个点表示相同的数，只需固定其中一个点的位置，将另外两个点移动到该点位置即可，共分为3种情况：固定点A、固定点B、固定点C，分别计算另外两个点与固定点的数值差，差为正则向右移动对应单位长度，差为负则向左移动差的绝对值对应的单位长度。
【解析】
首先确定数轴上三个点对应的数：A对应4，B对应0，C对应-2。
(1) 点A向左平移5个单位长度，根据“左减右加”的规律，平移后表示的数为：$4-5=-1$。
(2) 共有3种移动方法：
① 固定点A，将B、C移动到点A的位置：
点B到A的距离为$4-0=4$，即点B向右移动4个单位长度；
点C到A的距离为$4-(-2)=6$，即点C向右移动6个单位长度。
② 固定点B，将A、C移动到点B的位置：
点A到B的距离为$4-0=4$，即点A向左移动4个单位长度；
点C到B的距离为$0-(-2)=2$，即点C向右移动2个单位长度。
③ 固定点C，将A、B移动到点C的位置：
点A到C的距离为$4-(-2)=6$，即点A向左移动6个单位长度；
点B到C的距离为$0-(-2)=2$，即点B向左移动2个单位长度。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$
(2) ①点B向右移动4个单位长度，点C向右移动6个单位长度；②点A向左移动4个单位长度，点C向右移动2个单位长度；③点A向左移动6个单位长度，点B向左移动2个单位长度（以上三种任选其一即可，也可全部写出）。
【知识点】
数轴的认识；点的平移规律；有理数加减法
【点评】
本题考查数轴相关的基础应用，解题核心是掌握数轴上点平移“左减右加”的规律，第二问需要用到分类讨论思想，避免遗漏移动情况，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
6. (2024·安庆)数轴上点$A表示的数是-3$,沿数轴移动$4个单位长度到达点B$,则点$B$表示的数是( )
A.$3$
B.$1$
C.$-7$
D.$1或-7$
A.$3$
B.$1$
C.$-7$
D.$1或-7$
答案
D 解析:点A表示的数是-3,沿数轴向左平移4个单位长度，可得-7;沿数轴向右平移4个单位长度，可得到1.所以点B表示的数是1或-7.故选D.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确数轴上的点移动时有两种不同方向，既可以向左移动，也可以向右移动，不能只考虑单一方向。我们需要对移动方向分类讨论：根据数轴上点的平移规则，点向右移动时，对应的数等于原数加移动的单位长度；点向左移动时，对应的数等于原数减移动的单位长度，分别计算两种情况下点B对应的数即可得到最终结果。
【解析】
已知点A表示的数是-3，分两种情况讨论：
1. 若沿数轴向右移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数为：$-3+4=1$；
2. 若沿数轴向左移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数为：$-3-4=-7$。
综上，点B表示的数是1或-7，故选D。
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用；点的平移规律；有理数加减运算
【点评】
本题是数轴相关的基础题，核心考查分类讨论的数学思想，易错点是忽略移动方向的两种可能出现漏解，做题时只要全面考虑向左、向右两种移动方向，分别计算就能得到正确结果。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先要明确数轴上的点移动时有两种不同方向，既可以向左移动，也可以向右移动，不能只考虑单一方向。我们需要对移动方向分类讨论：根据数轴上点的平移规则，点向右移动时，对应的数等于原数加移动的单位长度；点向左移动时，对应的数等于原数减移动的单位长度，分别计算两种情况下点B对应的数即可得到最终结果。
【解析】
已知点A表示的数是-3，分两种情况讨论：
1. 若沿数轴向右移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数为：$-3+4=1$；
2. 若沿数轴向左移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数为：$-3-4=-7$。
综上，点B表示的数是1或-7，故选D。
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用；点的平移规律；有理数加减运算
【点评】
本题是数轴相关的基础题，核心考查分类讨论的数学思想，易错点是忽略移动方向的两种可能出现漏解，做题时只要全面考虑向左、向右两种移动方向，分别计算就能得到正确结果。
【难度系数】
0.7
7. 如图所示,有一根木棒$MN$放置在数轴上,它的两端$M$,$N分别落在点A$,$B$处,将木棒在数轴上水平移动,当点$M移动到点B$处时,点$N所对应的数为20$；当点$N移动到点A$处时,点$M所对应的数为5$。由此可得,木棒$MN$的长为______ $cm$(图中单位：$cm$)。
答案
5
解析
【分析】
解题的核心是抓住木棒MN长度固定不变的特点。我们观察两次移动的对应关系：当点N移动到点A时，点M对应数为5，此时5到点A的距离等于木棒长度；点A到点B的距离本身就是木棒的长度；当点M移动到点B时，点N对应数为20，此时点B到20的距离也等于木棒长度。由此可知数轴上5到20的总距离刚好是3倍的木棒长度，用总距离除以3即可求出木棒长度，也可通过设未知数列方程求解。
【解析】
方法一：
由题意得，5到20的距离等于3倍木棒MN的长度。
先计算5到20的距离：$20 - 5 = 15\ \mathrm{cm}$
则木棒MN的长度为：$15 ÷ 3 = 5\ \mathrm{cm}$
方法二（方程法）：
设木棒MN的长度为$x\ \mathrm{cm}$，根据题意可知3个木棒的长度和等于5到20的距离，列方程：
$3x = 20 - 5$
解得$x = 5$
【答案】
5
【知识点】
数轴的应用；两点间的距离
【点评】
本题考查数轴相关的实际应用，解题关键是明确木棒长度不变，梳理清楚移动过程中数轴上的点的对应关系，找到总距离和木棒长度的倍数关系，能有效锻炼数形结合分析问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题的核心是抓住木棒MN长度固定不变的特点。我们观察两次移动的对应关系：当点N移动到点A时，点M对应数为5，此时5到点A的距离等于木棒长度；点A到点B的距离本身就是木棒的长度；当点M移动到点B时，点N对应数为20，此时点B到20的距离也等于木棒长度。由此可知数轴上5到20的总距离刚好是3倍的木棒长度，用总距离除以3即可求出木棒长度，也可通过设未知数列方程求解。
【解析】
方法一：
由题意得，5到20的距离等于3倍木棒MN的长度。
先计算5到20的距离：$20 - 5 = 15\ \mathrm{cm}$
则木棒MN的长度为：$15 ÷ 3 = 5\ \mathrm{cm}$
方法二（方程法）：
设木棒MN的长度为$x\ \mathrm{cm}$，根据题意可知3个木棒的长度和等于5到20的距离，列方程：
$3x = 20 - 5$
解得$x = 5$
【答案】
5
【知识点】
数轴的应用；两点间的距离
【点评】
本题考查数轴相关的实际应用，解题关键是明确木棒长度不变，梳理清楚移动过程中数轴上的点的对应关系，找到总距离和木棒长度的倍数关系，能有效锻炼数形结合分析问题的能力。
【难度系数】
0.7
8. 已知一数轴如图所示：
操作一：
(1)折叠数轴,使表示数$1的点与表示数-1$的点重合,则此时表示数$-2$的点与表示数______的点重合。
操作二：
(2)折叠数轴,使表示数$3的点与表示数-1$的点重合,回答下列问题：
①表示数$5$的点与表示数______的点重合；
②若这样折叠后,数轴上有$A$,$B$两点也重合,且$A$,$B两点之间的距离为9$($A在B$的左侧),求$A$,$B$表示的数。
操作一：
(1)折叠数轴,使表示数$1的点与表示数-1$的点重合,则此时表示数$-2$的点与表示数______的点重合。
操作二：
(2)折叠数轴,使表示数$3的点与表示数-1$的点重合,回答下列问题：
①表示数$5$的点与表示数______的点重合；
②若这样折叠后,数轴上有$A$,$B$两点也重合,且$A$,$B两点之间的距离为9$($A在B$的左侧),求$A$,$B$表示的数。
答案
解:
(1)2
(2)①-3 ②由表示-1的点与表示3的点重合，可确定折叠点是表示1 的点，由题意可得，A,B两点与对称点的距离为9÷2=4.5，因为折叠的是表示1的点，且点A在点B的左侧，所以A，B两点表示的数分别是-3.5，5.5.
(1)2
(2)①-3 ②由表示-1的点与表示3的点重合，可确定折叠点是表示1 的点，由题意可得，A,B两点与对称点的距离为9÷2=4.5，因为折叠的是表示1的点，且点A在点B的左侧，所以A，B两点表示的数分别是-3.5，5.5.
解析
【分析】
解决数轴折叠类问题的核心是先确定折叠的对称中心（即折痕对应的数）：若两个点折叠后重合，则这两个点的平均数就是对称中心对应的数，折叠后重合的两个点到对称中心的距离相等。
(1) 先求1和-1的对称中心，再根据等距原则找与-2重合的点；
(2) 先计算3和-1的对称中心，①计算5到对称中心的距离，再找对称中心另一侧相同距离对应的数；②A、B两点距离为9，说明两点到对称中心的距离是9的一半，结合A在B左侧分别计算两个数即可。
【解析】
(1) 已知表示1的点和表示-1的点重合，对称中心对应的数为$\frac{1+(-1)}{2}=0$。
表示-2的点到0的距离为2，因此和它重合的点是0右侧距离为2的点，即数2。
(2) 已知表示3的点和表示-1的点重合，对称中心对应的数为$\frac{3+(-1)}{2}=1$。
① 表示5的点到1的距离为$5-1=4$，因此和它重合的点是1左侧距离为4的点，即$1-4=-3$。
② 因为A、B两点折叠后重合，且两点距离为9，所以两点到对称中心1的距离均为$9÷2=4.5$。
又因为A在B的左侧，所以A表示的数为$1-4.5=-3.5$，B表示的数为$1+4.5=5.5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$
(2) ①$\boldsymbol{-3}$；②A表示的数为$\boldsymbol{-3.5}$，B表示的数为$\boldsymbol{5.5}$
【知识点】
数轴的认识，数轴两点距离，折叠对称性质
【点评】
本题是数轴与折叠结合的基础题型，解题关键是找准折叠的对称中心，利用“重合两点到对称中心距离相等”的规律计算即可，掌握该规律可以快速解决同类题型。
【难度系数】
0.7
解决数轴折叠类问题的核心是先确定折叠的对称中心（即折痕对应的数）：若两个点折叠后重合，则这两个点的平均数就是对称中心对应的数，折叠后重合的两个点到对称中心的距离相等。
(1) 先求1和-1的对称中心，再根据等距原则找与-2重合的点；
(2) 先计算3和-1的对称中心，①计算5到对称中心的距离，再找对称中心另一侧相同距离对应的数；②A、B两点距离为9，说明两点到对称中心的距离是9的一半，结合A在B左侧分别计算两个数即可。
【解析】
(1) 已知表示1的点和表示-1的点重合，对称中心对应的数为$\frac{1+(-1)}{2}=0$。
表示-2的点到0的距离为2，因此和它重合的点是0右侧距离为2的点，即数2。
(2) 已知表示3的点和表示-1的点重合，对称中心对应的数为$\frac{3+(-1)}{2}=1$。
① 表示5的点到1的距离为$5-1=4$，因此和它重合的点是1左侧距离为4的点，即$1-4=-3$。
② 因为A、B两点折叠后重合，且两点距离为9，所以两点到对称中心1的距离均为$9÷2=4.5$。
又因为A在B的左侧，所以A表示的数为$1-4.5=-3.5$，B表示的数为$1+4.5=5.5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$
(2) ①$\boldsymbol{-3}$；②A表示的数为$\boldsymbol{-3.5}$，B表示的数为$\boldsymbol{5.5}$
【知识点】
数轴的认识，数轴两点距离，折叠对称性质
【点评】
本题是数轴与折叠结合的基础题型，解题关键是找准折叠的对称中心，利用“重合两点到对称中心距离相等”的规律计算即可，掌握该规律可以快速解决同类题型。
【难度系数】
0.7
