【典例 1】 化简：$\frac{1}{x - 1} ÷ \frac{x + 2}{x^2 - x} - \frac{x - 1}{x + 2}$
解析：原式 $ = \frac{1}{x - 1} · \frac{x(x - 1)}{x + 2} - \frac{x - 1}{x + 2}$
$ = \frac{x}{x + 2} - \frac{x - 1}{x + 2}$
$ = \frac{x - x + 1}{x + 2}$
$ = \frac{1}{x + 2}$

原式$=\frac{1}{x - 1} ÷ \frac{x + 2}{x^2 - x} - \frac{x - 1}{x + 2}$
$=\frac{1}{x - 1} · \frac{x(x - 1)}{x + 2} - \frac{x - 1}{x + 2}$
$=\frac{x}{x + 2} - \frac{x - 1}{x + 2}$
$=\frac{x - (x - 1)}{x + 2}$
$=\frac{x - x + 1}{x + 2}$
$=\frac{1}{x + 2}$

【对点训练】
1. 化简$\frac{a}{a - b} · (a - \frac{b^2}{a})$的结果是()

A.$a + b$
B.$\frac{1}{a + b}$
C.$a - b$
D.$\frac{1}{a - b}$

A

首先将括号内表达式$a - \frac{b^2}{a}$通分，得到$\frac{a^2 - b^2}{a}$。
原式变为$\frac{a}{a - b} · \frac{a^2 - b^2}{a}$。
因式分解$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，代入原式得$\frac{a}{a - b} · \frac{(a + b)(a - b)}{a}$。
约分后结果为$a + b$。

【典例 2】 如图，若 $a = 6b$，$b ＞ 0$，则$\frac{1}{a - b} · (a - \frac{2ab - b^2}{a})$的值在()


A.第①段
B.第②段
C.第③段
D.第④段
解析：$\frac{1}{a - b} · (a - \frac{2ab - b^2}{a}) = \frac{1}{a - b} · \frac{a^2 - 2ab + b^2}{a} = \frac{1}{a - b} · \frac{(a - b)^2}{a} = \frac{a - b}{a}$
当 $a = 6b$ 时，原式 $ = \frac{6b - b}{6b} = \frac{5b}{6b} = \frac{5}{6}$
$\because \frac{5}{6} = \frac{10}{12}$，$\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$，$\frac{1}{2} = \frac{6}{12}$，$\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$，
$\therefore \frac{3}{4} ＜ \frac{5}{6} ＜ 1$
$\therefore \frac{1}{a - b} · (a - \frac{2ab - b^2}{a})$的值在第④段。

D

首先对表达式进行化简：
$\frac{1}{a - b} · (a - \frac{2ab - b^2}{a}) = \frac{1}{a - b} · \frac{a^2 - 2ab + b^2}{a} = \frac{1}{a - b} · \frac{(a - b)^2}{a} = \frac{a - b}{a}$。
已知$a = 6b$，代入上式得：
$\frac{a - b}{a} = \frac{6b - b}{6b} = \frac{5b}{6b} = \frac{5}{6}$。
在数轴上，$\frac{5}{6}$位于$\frac{3}{4}$和$1$之间，即位于第④段。

【对点训练】
2. 先化简，再求值：$\frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 2x} ÷ (x - \frac{4}{x})$，其中$-\sqrt{5} ＜ x ＜ \sqrt{5}$，且 $x$ 是整数。

当$x = -1$时，值为$1$；当$x = 1$时，值为$\frac{1}{3}$。

化简过程：
1. 分解因式：
分子$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$，分母$x^2 - 2x = x(x - 2)$，则原式第一项为$\frac{(x - 2)^2}{x(x - 2)} = \frac{x - 2}{x}$。
2. 计算括号内：
$x - \frac{4}{x} = \frac{x^2 - 4}{x} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x}$。
3. 除法变乘法：
$\frac{x - 2}{x} ÷ \frac{(x - 2)(x + 2)}{x} = \frac{x - 2}{x} · \frac{x}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{1}{x + 2}$。
确定$x$的取值：
$-\sqrt{5} \approx -2.236$，$\sqrt{5} \approx 2.236$，整数$x$可能为$-2, -1, 0, 1, 2$。
分式有意义需满足：$x(x - 2) ≠ 0$且$x ≠ 0$且$(x - 2)(x + 2) ≠ 0$，即$x ≠ -2, 0, 2$，故$x = -1$或$1$。
代入求值：
当$x = -1$时，$\frac{1}{-1 + 2} = 1$；
当$x = 1$时，$\frac{1}{1 + 2} = \frac{1}{3}$。

1. 计算$\frac{x - 2}{x^2} ÷ (1 - \frac{2}{x})$的结果为()

A.$x$
B.$-\frac{1}{x}$
C.$\frac{1}{x}$
D.$-\frac{x - 2}{x}$

C

首先将括号内的式子通分，$1 - \frac{2}{x} = \frac{x - 2}{x}$，
原式变为 $\frac{x - 2}{x^2} ÷ \frac{x - 2}{x}$，
将除法转换为乘法并取倒数，得到 $\frac{x - 2}{x^2} × \frac{x}{x - 2}$，
约分后结果为 $\frac{1}{x}$。