2. 下列运算正确的是()

A.$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{a + b}$
B.$\frac{y}{x - y} - \frac{y}{y - x} = 0$
C.$1 ÷ \frac{b}{a} × \frac{a}{b} = \frac{a^2}{b^2}$
D.$\frac{x^2 - y^2}{x + y} = x + y$

C

A. $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab}=\frac{a + b}{ab}$，A选项错误。
B. $\frac{y}{x - y}-\frac{y}{y - x}=\frac{y}{x - y}+\frac{y}{x - y}=\frac{2y}{x - y}$，B选项错误。
C. $1÷\frac{b}{a}×\frac{a}{b}=1×\frac{a}{b}×\frac{a}{b}=\frac{a^{2}}{b^{2}}$，C选项正确。
D. $\frac{x^{2}-y^{2}}{x + y}=\frac{(x + y)(x - y)}{x + y}=x - y$（$x≠ - y$），D选项错误。

3. 当 $x = 6$，$y = 3$ 时，代数式$(\frac{x}{x + y} + \frac{2y}{x + y}) · \frac{3xy}{x + 2y}$的值是()

A.2
B.3
C.6
D.9

C

先对代数式进行化简：
$\begin{aligned}(\frac{x}{x + y} + \frac{2y}{x + y}) · \frac{3xy}{x + 2y}= \frac{x + 2y}{x + y} · \frac{3xy}{x + 2y} = \frac{3xy}{x + y}\end{aligned}$
当$x = 6$，$y = 3$时，代入$\frac{3xy}{x + y}$可得：
$\frac{3×6×3}{6 + 3}=\frac{54}{9} = 6$

4. 若 $a$、$b$ 互为倒数，则代数式$\frac{a^2 + 2ab + b^2}{a + b} ÷ (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$的值为。

1

已知 $a$、$b$ 互为倒数，则 $ab = 1$。
原式$\frac{a^2 + 2ab + b^2}{a + b} ÷ (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})=\frac{(a + b)^2}{a + b}÷\frac{a + b}{ab} = \frac{a + b}{1}×\frac{ab}{a + b}$（因为$a + b≠0$），
将$ab = 1$代入$\frac{a + b}{1}×\frac{ab}{a + b}$可得：原式$ = 1$。

5. 若 $a^2 + 5ab - b^2 = 0$，则$\frac{b}{a} - \frac{a}{b}$的值为。

5

由$a^2 + 5ab - b^2 = 0$，得$b^2 - a^2 = 5ab$。$\frac{b}{a} - \frac{a}{b} = \frac{b^2 - a^2}{ab} = \frac{5ab}{ab} = 5$。

6. 计算：
（1）$(\frac{3}{a - 2} - \frac{1}{a + 2}) · (a^2 - 4)$；
（2）$(\frac{x - 4}{x - 2} + \frac{4}{x^2 - 2x}) ÷ \frac{x^2 - 4}{2x^2}$。

（1）
$\begin{aligned}&(\frac{3}{a - 2} - \frac{1}{a + 2}) · (a^2 - 4)\\=&[\frac{3(a + 2) - (a - 2)}{(a - 2)(a + 2)}] · (a - 2)(a + 2)\\=&3(a + 2) - (a - 2)\\=&3a + 6 - a + 2\\=&2a + 8\end{aligned}$
（2）
$\begin{aligned}&(\frac{x - 4}{x - 2} + \frac{4}{x^2 - 2x}) ÷ \frac{x^2 - 4}{2x^2}\\=&[\frac{x - 4}{x - 2} + \frac{4}{x(x - 2)}] · \frac{2x^2}{(x + 2)(x - 2)}\\=&[\frac{x(x - 4) + 4}{x(x - 2)}] · \frac{2x^2}{(x + 2)(x - 2)}\\=&\frac{x^2 - 4x + 4}{x(x - 2)} · \frac{2x^2}{(x + 2)(x - 2)}\\=&\frac{(x - 2)^2}{x(x - 2)} · \frac{2x^2}{(x + 2)(x - 2)}\\=&\frac{2x}{x + 2}\end{aligned}$

7. 先化简，再求值：$(\frac{1}{x - 1} - \frac{x}{1 - x}) ÷ \frac{x + 1}{x^2 - 2x + 1}$，其中 $x = -\frac{1}{3}$。

$-\frac{4}{3}$

化简过程：
1. 处理括号内分式：
$\frac{1}{x - 1} - \frac{x}{1 - x} = \frac{1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1} = \frac{1 + x}{x - 1}$。
2. 将除法转化为乘法：
$\frac{x + 1}{x - 1} ÷ \frac{x + 1}{x^2 - 2x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1} · \frac{(x - 1)^2}{x + 1}$。
3. 约分：
$\frac{x + 1}{x - 1} · \frac{(x - 1)^2}{x + 1} = x - 1$。
代入求值：
当$x = -\frac{1}{3}$时，$x - 1 = -\frac{1}{3} - 1 = -\frac{4}{3}$。

8. （创新意识）阅读下列材料，完成后面的任务。
在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的。
例：若$\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{4}$，求代数式 $x + \frac{1}{x}$的值。
解：$\because \frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{4}$，$\therefore \frac{x^2 + 1}{x} = 4$，$\therefore \frac{x^2}{x} + \frac{1}{x} = 4$，即 $x + \frac{1}{x} = 4$。
任务：已知$\frac{x}{x^2 - 3x + 1} = \frac{1}{2}$。
（1）求 $x + \frac{1}{x}$的值；
（2）求$\frac{x^2}{x^4 + 2x^2 + 1}$的值。

（1）
由已知$\frac{x}{x^{2}-3x + 1}=\frac{1}{2}$，因为$x≠0$（若$x = 0$，则$\frac{x}{x^{2}-3x + 1}=0≠\frac{1}{2}$），等式两边同时取倒数可得：
$\frac{x^{2}-3x + 1}{x}=2$，
$\frac{x^{2}}{x}-\frac{3x}{x}+\frac{1}{x}=2$，
即$x - 3+\frac{1}{x}=2$，
所以$x+\frac{1}{x}=2 + 3=5$。
（2）
由（1）知$x+\frac{1}{x}=5$，
对$\frac{x^{2}}{x^{4}+2x^{2}+1}$取倒数可得：
$\frac{x^{4}+2x^{2}+1}{x^{2}}=\frac{x^{4}}{x^{2}}+\frac{2x^{2}}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}}=x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}}$，
根据完全平方公式$(a + b)^2=a^2+2ab + b^2$，可得$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=(x+\frac{1}{x})^{2}-2$，
把$x+\frac{1}{x}=5$代入上式得$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=5^{2}-2=23$，
所以$x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}}=23 + 2=25$，
则$\frac{x^{2}}{x^{4}+2x^{2}+1}=\frac{1}{25}$。
综上，答案依次为：（1）$5$；（2）$\frac{1}{25}$。