1. 用短除法求下列每组数的最小公倍数。
24和36
30和45
16和40
18和27

24和36最小公倍数答案对应选项（若有72选项的话选之，以下同）；30和45选90对应选项；16和40选80对应选项；18和27选54对应选项。 （按照题目顺序最小公倍数依次为72，90，80，54）

1. 对于24和36：
用短除法，先用2除，$24÷2 = 12$，$36÷2=18$；再用2除，$12÷2 = 6$，$18÷2 = 9$；然后用3除，$6÷3=2$，$9÷3 = 3$。
所有除数相乘$2×2×3×2×3 = 72$（其中最后两个2和3是24分解后剩余与36分解后剩余商对应的因数），所以24和36最小公倍数是72。
2. 对于30和45：
用3除，$30÷3 = 10$，$45÷3=15$；再用5除，$10÷5 = 2$，$15÷5 = 3$。
所有除数相乘$3×5×2×3=90$（其中2和3是30分解后剩余与45分解后剩余商对应的因数），所以30和45最小公倍数是90。
3. 对于16和40：
用2除，$16÷2 = 8$，$40÷2 = 20$；再用2除，$8÷2 = 4$，$20÷2 = 10$；再用2除，$4÷2 = 2$，$10÷2 = 5$。
所有除数相乘$2×2×2×2×5 = 80$（其中2和5是16分解后剩余与40分解后剩余商对应的因数），所以16和40最小公倍数是80。
4. 对于18和27：
用3除，$18÷3 = 6$，$27÷3 = 9$；再用3除，$6÷3 = 2$，$9÷3 = 3$。
所有除数相乘$3×3×2×3 = 54$（其中2和3是18分解后剩余与27分解后剩余商对应的因数），所以18和27最小公倍数是54。

2. 将下列每组分数中分母的最小公倍数填在括号里。
$\frac{3}{14}$和$\frac{5}{21}$()
$\frac{14}{24}$和$\frac{7}{18}$()
$\frac{10}{13}$和$\frac{11}{26}$()
$\frac{5}{16}$和$\frac{7}{24}$()
$\frac{4}{25}$和$\frac{4}{5}$()
$\frac{7}{8}$和$\frac{8}{9}$()

42，72，26，48，25，72。

第一组：对于14和21，先分解质因数，$14=2×7$，$21=3×7$，所以最小公倍数为$2×3×7=42$。
第二组：对于24和18，分解质因数，$24=2×2×2×3$，$18=2×3×3$，所以最小公倍数为$2×2×2×3×3=72$。
第三组：对于13和26，因为26是13的倍数，所以最小公倍数为26。
第四组：对于16和24，分解质因数，$16=2×2×2×2$，$24=2×2×2×3$，所以最小公倍数为$2×2×2×2×3=48$。
第五组：对于25和5，因为25是5的倍数，所以最小公倍数为25。
第六组：对于8和9，因为8和9互质，所以最小公倍数为$8×9=72$。

3. 直接写出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。

| | $4$和$21$ | $5$和$6$ | $9$和$18$ | $25$和$75$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 最大公因数 | $1$ | $1$ | $9$ | $25$ |
| 最小公倍数 | $84$ | $30$ | $18$ | $75$ |

1.对于4和21：
因为4和21互质，
所以最大公因数是$1$，
最小公倍数是$4×21 = 84$；
2.对于5和6：
由于5和6互质，
所以最大公因数是$1$，
最小公倍数是$5×6 = 30$；
3.对于9和18：
因为$18$是$9$的倍数，
所以最大公因数是$9$，
最小公倍数是$18$；
4.对于25和75：
由于$75$是$25$的倍数，
所以最大公因数是$25$，
最小公倍数是$75$；

(1)如果$a÷b=5$($a$和$b$均为非0的自然数)，那么$a$与$b$的最大公因数是()，最小公倍数是()。
A. 1
B. $a$
C. $b$
D. $a×b$

C B

由$a÷b=5$，可知$a$和$b$是倍数关系，$a是b的5倍$。根据倍数关系的最大公因数和最小公倍数的求法，两个数为倍数关系时，最大公因数为较小的数，最小公倍数为较大的数。所以$a$与$b$的最大公因数是$b$，最小公倍数是$a$。

(2)如果$a$和$b$只有公因数1，那么$a$与$b$的最小公倍数是()。
A. 1
B. $a$
C. $b$
D. $a×b$

D

如果两个数只有公因数1，那么这两个数互质。互质的两个数的最小公倍数是它们的乘积，即$a×b$。

(3)如果$a=2×2×3$，$b=2×3×5$，那么$a$和$b$的最小公倍数是()。
A. 2
B. 6
C. 60
D. 120

C

分解质因数法求最小公倍数，先把这几个数公有的质因数和各自独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。$a = 2×2×3$，$b = 2×3×5$，$a$和$b$公有的质因数是$2$和$3$，$a$独有的质因数是$2$，$b$独有的质因数是$5$，所以$a$和$b$的最小公倍数为$2×3×2×5 = 60$。

5. 四（1）班的学生排队做操，每行8人、10人都能够排成长方形。如果已经知道这个班学生人数为30~50人，这个班有学生多少人？

（这里假设以常见选项形式，答案对应选40人的选项）A

本题可先求出8和10的最小公倍数，再根据人数范围确定这个班的学生人数。
1. 求8和10的最小公倍数：
分解8和10的质因数，$8 = 2×2×2$，$10 = 2×5$。
8和10的最小公倍数为它们公有的质因数与各自独有的质因数的乘积，即$2×2×2×5 = 40$。
2. 判断人数是否在$30∼50$这个范围内：
因为$30＜40＜50$，所以在$30∼50$之间，符合每行$8$人、$10$人都能够排成长方形这一条件的人数是$40$人。

6. 有一串彩灯数量为30~40盏，3盏3盏地数或4盏4盏地数都能正好数完。你知道这串灯有多少盏吗？

这串灯有36盏。

由题意可知，彩灯数量是3和4的公倍数，3和4是互质数，所以它们的最小公倍数是3×4=12。
在30 - 40之间，12的倍数只有36，所以这串灯有36盏。