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六、在平面上画直线，这些直线最多有多少个交点？
1. 把上表补充完整。
2. 8条直线相交，最多有多少个交点？
3. n条直线相交，最多有多少个交点？
1. 把上表补充完整。
2. 8条直线相交，最多有多少个交点？
3. n条直线相交，最多有多少个交点？
答案
1.
直线条数3：交点个数3；
直线条数4：计算方法$0+1+2+3$，交点个数6；
直线条数5：计算方法$0+1+2+3+4$，交点个数10；
2.
$0+1+2+3+4+5+6+7=28$（个）
答：8条直线相交，最多有28个交点。
3.
$\frac{n(n-1)}{2}$（个）
答：n条直线相交，最多有$\frac{n(n-1)}{2}$个交点。
直线条数3：交点个数3；
直线条数4：计算方法$0+1+2+3$，交点个数6；
直线条数5：计算方法$0+1+2+3+4$，交点个数10；
2.
$0+1+2+3+4+5+6+7=28$（个）
答：8条直线相交，最多有28个交点。
3.
$\frac{n(n-1)}{2}$（个）
答：n条直线相交，最多有$\frac{n(n-1)}{2}$个交点。
解析
【分析】
我们先从表格的已知数据中找规律：
1. 1条直线没有交点；2条直线相交最多产生1个交点，计算方法是$0+1$；3条直线相交最多的交点数，是让第3条直线和前2条直线都相交，新增2个交点，计算方法为$0+1+2$。由此可总结核心逻辑：要得到最多交点，每条新增直线都要和之前所有直线相交，即第$m$条直线会新增$(m-1)$个交点，$m$条直线的最多交点数是从0加到$(m-1)$的和。
2. 基于这个规律，我们可以补充表格数据、计算8条直线的最多交点数，再推导$n$条直线的通用公式。
【解析】
1. 补充表格：
直线条数3：交点个数为$0+1+2=3$；
直线条数4：计算方法为$0+1+2+3$，交点个数为$0+1+2+3=6$；
直线条数5：计算方法为$0+1+2+3+4$，交点个数为$0+1+2+3+4=10$；
2. 计算8条直线相交的最多交点数：
最多交点数是从0加到7的和，利用等差数列求和公式计算：
$0+1+2+3+4+5+6+7=\frac{(0+7)×8}{2}=28$（个）
3. 推导$n$条直线相交的最多交点数：
$n$条直线的最多交点数是$0+1+2+\dots+(n-1)$，这是首项为0、末项为$n-1$、项数为$n$的等差数列，根据求和公式：
$和=\frac{首项+末项}{2}×项数=\frac{0+(n-1)}{2}× n=\frac{n(n-1)}{2}$（个）
【答案】
1. 直线条数3：交点个数3；直线条数4：计算方法$\boldsymbol{0+1+2+3}$，交点个数6；直线条数5：计算方法$\boldsymbol{0+1+2+3+4}$，交点个数10；
2. 8条直线相交，最多有$\boldsymbol{28}$个交点；
3. $n$条直线相交，最多有$\boldsymbol{\frac{n(n-1)}{2}}$个交点。
【知识点】
1. 直线相交规律
2. 等差数列求和
【点评】
本题重点考察规律归纳能力与数列求和的应用，理解“每条新增直线与之前所有直线相交，才能得到最多交点”是解题核心，需要学生从具体数据中提炼通用规律，实现从特殊到一般的推导。
【难度系数】
0.6
我们先从表格的已知数据中找规律：
1. 1条直线没有交点；2条直线相交最多产生1个交点，计算方法是$0+1$；3条直线相交最多的交点数，是让第3条直线和前2条直线都相交，新增2个交点，计算方法为$0+1+2$。由此可总结核心逻辑：要得到最多交点，每条新增直线都要和之前所有直线相交，即第$m$条直线会新增$(m-1)$个交点，$m$条直线的最多交点数是从0加到$(m-1)$的和。
2. 基于这个规律，我们可以补充表格数据、计算8条直线的最多交点数，再推导$n$条直线的通用公式。
【解析】
1. 补充表格：
直线条数3：交点个数为$0+1+2=3$；
直线条数4：计算方法为$0+1+2+3$，交点个数为$0+1+2+3=6$；
直线条数5：计算方法为$0+1+2+3+4$，交点个数为$0+1+2+3+4=10$；
2. 计算8条直线相交的最多交点数：
最多交点数是从0加到7的和，利用等差数列求和公式计算：
$0+1+2+3+4+5+6+7=\frac{(0+7)×8}{2}=28$（个）
3. 推导$n$条直线相交的最多交点数：
$n$条直线的最多交点数是$0+1+2+\dots+(n-1)$，这是首项为0、末项为$n-1$、项数为$n$的等差数列，根据求和公式：
$和=\frac{首项+末项}{2}×项数=\frac{0+(n-1)}{2}× n=\frac{n(n-1)}{2}$（个）
【答案】
1. 直线条数3：交点个数3；直线条数4：计算方法$\boldsymbol{0+1+2+3}$，交点个数6；直线条数5：计算方法$\boldsymbol{0+1+2+3+4}$，交点个数10；
2. 8条直线相交，最多有$\boldsymbol{28}$个交点；
3. $n$条直线相交，最多有$\boldsymbol{\frac{n(n-1)}{2}}$个交点。
【知识点】
1. 直线相交规律
2. 等差数列求和
【点评】
本题重点考察规律归纳能力与数列求和的应用，理解“每条新增直线与之前所有直线相交，才能得到最多交点”是解题核心，需要学生从具体数据中提炼通用规律，实现从特殊到一般的推导。
【难度系数】
0.6
七、合理推理。
一家珠宝店的珠宝被盗，警察抓到了4个嫌疑人，经查明，其中一人是盗珠
宝者。他们的口供如下：
甲：那天我一直在家待着，不是我干的。
乙：是丁干的。
丙：乙是盗珠宝者。
丁：乙和我有仇，诬陷我。
他们只有一个人说了真话，谁说了真话？谁是盗珠宝者？
一家珠宝店的珠宝被盗，警察抓到了4个嫌疑人，经查明，其中一人是盗珠
宝者。他们的口供如下：
甲：那天我一直在家待着，不是我干的。
乙：是丁干的。
丙：乙是盗珠宝者。
丁：乙和我有仇，诬陷我。
他们只有一个人说了真话，谁说了真话？谁是盗珠宝者？
答案
假设甲说真话：
则甲不是盗宝者，乙、丙、丁说假话。
由乙说假话得：不是丁干的；
由丁说假话得：是丁干的，矛盾，故甲说真话不成立。
假设乙说真话：
则是丁干的，甲、丙、丁说假话。
由甲说假话得：是甲干的，与“是丁干的”矛盾，故乙说真话不成立。
假设丙说真话：
则乙是盗宝者，甲、乙、丁说假话。
由甲说假话得：是甲干的，与“乙是盗宝者”矛盾，故丙说真话不成立。
假设丁说真话：
则丁不是盗宝者，甲、乙、丙说假话。
由甲说假话得：是甲干的；
由乙说假话得：不是丁干的；
由丙说假话得：乙不是盗宝者，无矛盾，成立。
答：丁说了真话，甲是盗珠宝者。
则甲不是盗宝者，乙、丙、丁说假话。
由乙说假话得：不是丁干的；
由丁说假话得：是丁干的，矛盾，故甲说真话不成立。
假设乙说真话：
则是丁干的，甲、丙、丁说假话。
由甲说假话得：是甲干的，与“是丁干的”矛盾，故乙说真话不成立。
假设丙说真话：
则乙是盗宝者，甲、乙、丁说假话。
由甲说假话得：是甲干的，与“乙是盗宝者”矛盾，故丙说真话不成立。
假设丁说真话：
则丁不是盗宝者，甲、乙、丙说假话。
由甲说假话得：是甲干的；
由乙说假话得：不是丁干的；
由丙说假话得：乙不是盗宝者，无矛盾，成立。
答：丁说了真话，甲是盗珠宝者。
解析
【分析】
这是一道逻辑推理题，解题核心是利用“只有一人说真话”的关键条件，通过假设法逐一验证每个嫌疑人说真话的情况，根据其他人的口供推导结论是否矛盾来判断假设是否成立，最终确定真话者和盗宝者。具体思路为：依次假设甲、乙、丙、丁说真话，结合“其余三人说假话”推导相关结论，若推导出现矛盾则假设不成立，无矛盾则假设成立，进而得出答案。
【解析】
我们采用假设法逐步推理：
1. 假设甲说真话：
则甲不是盗宝者，乙、丙、丁说假话。
由乙说假话可得：不是丁干的；
由丁说假话可得：是丁干的，两个结论矛盾，因此甲说真话的假设不成立。
2. 假设乙说真话：
则是丁干的，甲、丙、丁说假话。
由甲说假话可得：是甲干的，与“是丁干的”矛盾，因此乙说真话的假设不成立。
3. 假设丙说真话：
则乙是盗宝者，甲、乙、丁说假话。
由甲说假话可得：是甲干的，与“乙是盗宝者”矛盾，因此丙说真话的假设不成立。
4. 假设丁说真话：
则丁不是盗宝者，甲、乙、丙说假话。
由甲说假话可得：是甲干的；
由乙说假话可得：不是丁干的；
由丙说假话可得：乙不是盗宝者，所有推导无矛盾，假设成立。
【答案】
丁说了真话，甲是盗珠宝者。
【知识点】
逻辑推理、假设法
【点评】
本题考查逻辑推理能力，需借助假设法逐一验证，通过判断推导结论是否矛盾来排除错误假设，能有效锻炼学生严谨的分析与逻辑思维能力。
【难度系数】
0.4
这是一道逻辑推理题，解题核心是利用“只有一人说真话”的关键条件，通过假设法逐一验证每个嫌疑人说真话的情况，根据其他人的口供推导结论是否矛盾来判断假设是否成立，最终确定真话者和盗宝者。具体思路为：依次假设甲、乙、丙、丁说真话，结合“其余三人说假话”推导相关结论，若推导出现矛盾则假设不成立，无矛盾则假设成立，进而得出答案。
【解析】
我们采用假设法逐步推理：
1. 假设甲说真话：
则甲不是盗宝者，乙、丙、丁说假话。
由乙说假话可得：不是丁干的；
由丁说假话可得：是丁干的，两个结论矛盾，因此甲说真话的假设不成立。
2. 假设乙说真话：
则是丁干的，甲、丙、丁说假话。
由甲说假话可得：是甲干的，与“是丁干的”矛盾，因此乙说真话的假设不成立。
3. 假设丙说真话：
则乙是盗宝者，甲、乙、丁说假话。
由甲说假话可得：是甲干的，与“乙是盗宝者”矛盾，因此丙说真话的假设不成立。
4. 假设丁说真话：
则丁不是盗宝者，甲、乙、丙说假话。
由甲说假话可得：是甲干的；
由乙说假话可得：不是丁干的；
由丙说假话可得：乙不是盗宝者，所有推导无矛盾，假设成立。
【答案】
丁说了真话，甲是盗珠宝者。
【知识点】
逻辑推理、假设法
【点评】
本题考查逻辑推理能力，需借助假设法逐一验证，通过判断推导结论是否矛盾来排除错误假设，能有效锻炼学生严谨的分析与逻辑思维能力。
【难度系数】
0.4
