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用不同的长方形在月历卡上框出4个数，
如图。
1. 如果用a表示框中的第一个数，那么
每个框中其余3个数应如何表示？填
一填。
2. 你发现了什么规律？
如图。
1. 如果用a表示框中的第一个数，那么
每个框中其余3个数应如何表示？填
一填。
2. 你发现了什么规律？
答案
1. 填写框中其余数
第一个横向框：
$\boldsymbol{a}$ $\boldsymbol{a+1}$ $\boldsymbol{a+2}$ $\boldsymbol{a+3}$
第二个纵向框：
$\boldsymbol{a}$
$\boldsymbol{a+7}$
$\boldsymbol{a+14}$
$\boldsymbol{a+21}$
第三个2×2框：
$\boldsymbol{a}$ $\boldsymbol{a+1}$
$\boldsymbol{a+7}$ $\boldsymbol{a+8}$
---
2. 规律
1. 横向框选的数，相邻两个数的差为1，右侧数比左侧数大1；
2. 纵向框选的数，相邻两个数的差为7，下方数比上方数大7；
3. 2×2的框中，对角的两个数之和相等，且同一行相邻数差1，同一列相邻数差7。
第一个横向框：
$\boldsymbol{a}$ $\boldsymbol{a+1}$ $\boldsymbol{a+2}$ $\boldsymbol{a+3}$
第二个纵向框：
$\boldsymbol{a}$
$\boldsymbol{a+7}$
$\boldsymbol{a+14}$
$\boldsymbol{a+21}$
第三个2×2框：
$\boldsymbol{a}$ $\boldsymbol{a+1}$
$\boldsymbol{a+7}$ $\boldsymbol{a+8}$
---
2. 规律
1. 横向框选的数，相邻两个数的差为1，右侧数比左侧数大1；
2. 纵向框选的数，相邻两个数的差为7，下方数比上方数大7；
3. 2×2的框中，对角的两个数之和相等，且同一行相邻数差1，同一列相邻数差7。
解析
【分析】
首先，结合月历卡的数字特点思考：月历中每行有7个数，横向相邻的数，后一个数比前一个数大1；纵向相邻的数，下一个数比上一个数大7（因为每周7天）。
对于第1问，用a表示第一个数：
横向框是连续的4个数字，每个数依次比前一个大1，其余3个数可依次推导；
纵向框是上下排列的4个数字，每个数依次比上一个大7，其余3个数可据此推导；
2×2的框中，同行右边的数比左边大1，同列下面的数比上面大7，结合这两个特点可得出其余3个数。
对于第2问，通过观察三种框中数字的差、和的关系，即可总结出对应的规律。
【解析】
1. 不同框中其余3个数的表示：
横向框（一行4个数）：
横向相邻数相差1，所以其余3个数为$\boldsymbol{a+1}$、$\boldsymbol{a+2}$、$\boldsymbol{a+3}$，完整为：$\boldsymbol{a}$ $\boldsymbol{a+1}$ $\boldsymbol{a+2}$ $\boldsymbol{a+3}$
纵向框（一列4个数）：
纵向相邻数相差7，所以其余3个数为$\boldsymbol{a+7}$、$\boldsymbol{a+14}$、$\boldsymbol{a+21}$，完整为：
$\boldsymbol{a}$
$\boldsymbol{a+7}$
$\boldsymbol{a+14}$
$\boldsymbol{a+21}$
2×2框：
同行右边数比左边大1，同列下边数比上边大7，所以其余3个数为$\boldsymbol{a+1}$、$\boldsymbol{a+7}$、$\boldsymbol{a+8}$，完整为：
$\boldsymbol{a}$ $\boldsymbol{a+1}$
$\boldsymbol{a+7}$ $\boldsymbol{a+8}$
2. 总结规律：
横向框：相邻两个数的差为1，右侧数比左侧数大1；
纵向框：相邻两个数的差为7，下方数比上方数大7；
2×2框：对角的两个数之和相等，且同一行相邻数差1，同一列相邻数差7。
【答案】
1.
横向框：$\boldsymbol{a}$ $\boldsymbol{a+1}$ $\boldsymbol{a+2}$ $\boldsymbol{a+3}$
纵向框：
$\boldsymbol{a}$
$\boldsymbol{a+7}$
$\boldsymbol{a+14}$
$\boldsymbol{a+21}$
2×2框：
$\boldsymbol{a}$ $\boldsymbol{a+1}$
$\boldsymbol{a+7}$ $\boldsymbol{a+8}$
2. 规律：
① 横向框中，相邻数的差为1，右侧数比左侧数大1；
② 纵向框中，相邻数的差为7，下方数比上方数大7；
③ 2×2框中，对角的两个数之和相等，同一行相邻数差1，同一列相邻数差7。
【知识点】
月历数字规律、用字母表示数
【点评】
本题主要考查对月历中数字排列规律的观察与总结能力，通过用字母表示数的方式具象化数字间的关系，帮助理解数的排列逻辑，培养观察和归纳的数学思维。
【难度系数】
0.8
首先，结合月历卡的数字特点思考：月历中每行有7个数，横向相邻的数，后一个数比前一个数大1；纵向相邻的数，下一个数比上一个数大7（因为每周7天）。
对于第1问，用a表示第一个数：
横向框是连续的4个数字，每个数依次比前一个大1，其余3个数可依次推导；
纵向框是上下排列的4个数字，每个数依次比上一个大7，其余3个数可据此推导；
2×2的框中，同行右边的数比左边大1，同列下面的数比上面大7，结合这两个特点可得出其余3个数。
对于第2问，通过观察三种框中数字的差、和的关系，即可总结出对应的规律。
【解析】
1. 不同框中其余3个数的表示：
横向框（一行4个数）：
横向相邻数相差1，所以其余3个数为$\boldsymbol{a+1}$、$\boldsymbol{a+2}$、$\boldsymbol{a+3}$，完整为：$\boldsymbol{a}$ $\boldsymbol{a+1}$ $\boldsymbol{a+2}$ $\boldsymbol{a+3}$
纵向框（一列4个数）：
纵向相邻数相差7，所以其余3个数为$\boldsymbol{a+7}$、$\boldsymbol{a+14}$、$\boldsymbol{a+21}$，完整为：
$\boldsymbol{a}$
$\boldsymbol{a+7}$
$\boldsymbol{a+14}$
$\boldsymbol{a+21}$
2×2框：
同行右边数比左边大1，同列下边数比上边大7，所以其余3个数为$\boldsymbol{a+1}$、$\boldsymbol{a+7}$、$\boldsymbol{a+8}$，完整为：
$\boldsymbol{a}$ $\boldsymbol{a+1}$
$\boldsymbol{a+7}$ $\boldsymbol{a+8}$
2. 总结规律：
横向框：相邻两个数的差为1，右侧数比左侧数大1；
纵向框：相邻两个数的差为7，下方数比上方数大7；
2×2框：对角的两个数之和相等，且同一行相邻数差1，同一列相邻数差7。
【答案】
1.
横向框：$\boldsymbol{a}$ $\boldsymbol{a+1}$ $\boldsymbol{a+2}$ $\boldsymbol{a+3}$
纵向框：
$\boldsymbol{a}$
$\boldsymbol{a+7}$
$\boldsymbol{a+14}$
$\boldsymbol{a+21}$
2×2框：
$\boldsymbol{a}$ $\boldsymbol{a+1}$
$\boldsymbol{a+7}$ $\boldsymbol{a+8}$
2. 规律：
① 横向框中，相邻数的差为1，右侧数比左侧数大1；
② 纵向框中，相邻数的差为7，下方数比上方数大7；
③ 2×2框中，对角的两个数之和相等，同一行相邻数差1，同一列相邻数差7。
【知识点】
月历数字规律、用字母表示数
【点评】
本题主要考查对月历中数字排列规律的观察与总结能力，通过用字母表示数的方式具象化数字间的关系，帮助理解数的排列逻辑，培养观察和归纳的数学思维。
【难度系数】
0.8
一个池塘中有一块浮萍，每天长1倍。如果20天长满池塘，多少天的时候
长满池塘的$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$？
长满池塘的$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$？
答案
20 - 1 = 19（天）
19 - 1 = 18（天）
答：18天的时候长满池塘的$\frac{1}{4}$。
19 - 1 = 18（天）
答：18天的时候长满池塘的$\frac{1}{4}$。
解析
【分析】
这道题的关键是抓住浮萍“每天长1倍”的特点，即后一天的浮萍面积是前一天的2倍。若从第1天正向计算会比较复杂，我们可以采用逆推思路：已知20天长满整个池塘，那么前一天（第19天）的浮萍面积就是池塘的$\frac{1}{2}$，再往前一天（第18天）的浮萍面积就是$\frac{1}{2}$的$\frac{1}{2}$，也就是池塘的$\frac{1}{4}$。
【解析】
因为浮萍每天长1倍，后一天的面积是前一天的2倍，逆推计算如下：
1. 计算长满池塘$\frac{1}{2}$的时间：$20 - 1 = 19$（天）
2. 计算长满池塘$\frac{1}{4}$的时间：$19 - 1 = 18$（天）
答：18天的时候长满池塘的$\frac{1}{4}$。
【答案】
18天
【知识点】
逆推思维、倍数应用
【点评】
本题考查逆推思维的运用，打破正向计算的惯性，利用浮萍每天翻倍的特性从结果倒推，能更简便地解决问题，有助于培养学生的逆向思考能力。
【难度系数】
0.5
这道题的关键是抓住浮萍“每天长1倍”的特点，即后一天的浮萍面积是前一天的2倍。若从第1天正向计算会比较复杂，我们可以采用逆推思路：已知20天长满整个池塘，那么前一天（第19天）的浮萍面积就是池塘的$\frac{1}{2}$，再往前一天（第18天）的浮萍面积就是$\frac{1}{2}$的$\frac{1}{2}$，也就是池塘的$\frac{1}{4}$。
【解析】
因为浮萍每天长1倍，后一天的面积是前一天的2倍，逆推计算如下：
1. 计算长满池塘$\frac{1}{2}$的时间：$20 - 1 = 19$（天）
2. 计算长满池塘$\frac{1}{4}$的时间：$19 - 1 = 18$（天）
答：18天的时候长满池塘的$\frac{1}{4}$。
【答案】
18天
【知识点】
逆推思维、倍数应用
【点评】
本题考查逆推思维的运用，打破正向计算的惯性，利用浮萍每天翻倍的特性从结果倒推，能更简便地解决问题，有助于培养学生的逆向思考能力。
【难度系数】
0.5
