某商店以调低价格的方式促销 $n$ 个不同的玩具，调整后的单价 $y$（元）与调整前的单价 $x$（元）满足一次函数关系，如下表：

已知这 $n$ 个玩具调整后的单价都大于 $2$ 元。
（1）求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式，并确定 $x$ 的取值范围；
（2）某个玩具调整前单价是 $108$ 元，顾客购买这个玩具省了多少钱？
（3）这 $n$ 个玩具调整前、后的平均单价分别为 $\overline{x}$，$\overline{y}$，猜想 $\overline{y}$ 与 $\overline{x}$ 的解析式，并写出推导过程。

(1) $y=\dfrac{5}{6}x-1$，$x＞\dfrac{18}{5}$. (2) 省了19元. (3) $\overline{y}=\dfrac{5}{6}\overline{x}-1$. 推导过程：由(1) $y_{1}=\dfrac{5}{6}x_{1}-1$，$y_{2}=\dfrac{5}{6}x_{2}-1$，$···$，$y_{n}=\dfrac{5}{6}x_{n}-1$. $\therefore \overline{y}=\dfrac{1}{n}(y_{1}+y_{2}+··· +y_{n})=\dfrac{1}{n}[(\dfrac{5}{6}x_{1}-1)+(\dfrac{5}{6}x_{2}-1)+··· +(\dfrac{5}{6}x_{n}-1)]=\dfrac{1}{n}[\dfrac{5}{6}× (x_{1}+x_{2}+··· +x_{n})-n]=\dfrac{5}{6}× \dfrac{x_{1}+x_{2}+··· +x_{n}}{n}-1=\dfrac{5}{6}\overline{x}-1$.

1. 一次函数 $y = 4x - 3$ 与 $y = -4x - 3$ 的图象的交点坐标是 。

1. $(0,-3)$.

2. 直线 $ax - y = 2$ 和 $2x + by = 5$ 相交于点 $(1,1)$，则 $a =$ ，$b =$ 。

2. 3；3.

3. 如图，已知函数 $y = ax + b$ 和 $y = kx$ 的图象交于点 $P$，则根据图象可得关于 $\begin{cases}y = ax + b, \\ y = kx\end{cases}$ 的二元一次方程组的解是 ______ 。

3. $x=-4$，$y=-2$.

4. 已知直线 $y = 4x - 2$ 和直线 $y = 3m - x$ 的交点在第三象限内，则 $m$ 的取值范围是 。

4. $m＜-\dfrac{2}{3}$.

问题 已知一次函数 $y = kx + b$ 的图象过 $P(1,4)$，$Q(4,1)$ 两点，且与 $x$ 轴交于 $A$ 点。

（1）求此一次函数的解析式；
（2）求 $△ POQ$ 的面积；
（3）已知点 $M$ 在 $x$ 轴上，若使 $MP + MQ$ 的值最小，求点 $M$ 的坐标及 $MP + MQ$ 的最小值。
名师指导
（1）利用待定系数法求出此一次函数的解析式；
（2）根据一次函数解析式求出点 $A$ 的坐标，再根据 $S_{△ POQ} = S_{△ POA} - S_{△ AOQ}$ 即可求解；
（3）作 $Q$ 点关于 $x$ 轴的对称点 $Q'$，连接 $PQ'$ 交 $x$ 轴于点 $M$，根据两点之间线段最短得出此时 $MP + MQ$ 的值最小。利用待定系数法求出直线 $PQ'$ 的解析式，进而求出点 $M$ 的坐标。
解题示范 （学生在教师指导下，独立完成）
解：

本题可根据已知条件，利用待定系数法求出一次函数的解析式，再根据三角形面积公式求出$△ POQ$的面积，最后利用对称点的性质求出$MP + MQ$的最小值。
### （1）求此一次函数的解析式
设一次函数的解析式为$y = kx + b$（$k≠0$），因为函数图象过$P(1,4)$，$Q(4,1)$两点，将这两点代入解析式可得方程组$\begin{cases}k + b = 4 \\ 4k + b = 1 \end{cases}$，解方程组：
用$4k + b = 1$减去$k + b = 4$消去$b$可得：
$\begin{aligned}(4k + b) - (k + b) &= 1 - 4\\4k + b - k - b &= -3\\3k &= -3\\k &= -1\end{aligned}$
将$k = -1$代入$k + b = 4$可得：
$\begin{aligned}-1 + b &= 4\\b &= 5\end{aligned}$
所以此一次函数的解析式为$y = -x + 5$。
### （2）求$△ POQ$的面积
在$y = -x + 5$中，令$y = 0$，可得$0 = -x + 5$，解得$x = 5$，所以点$A$的坐标为$(5,0)$。
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ah$（其中$a$为底，$h$为高），可得：
$S_{△ POA} = \frac{1}{2}×5×4 = 10$
$S_{△ AOQ} = \frac{1}{2}×5×1 = \frac{5}{2}$
则$S_{△ POQ} = S_{△ POA} - S_{△ AOQ} = 10 - \frac{5}{2} = \frac{15}{2}$。
### （3）求点$M$的坐标及$MP + MQ$的最小值
作$Q$点关于$x$轴的对称点$Q'(4,-1)$，连接$PQ'$交$x$轴于点$M$，此时$MP + MQ$的值最小。
设直线$PQ'$的解析式为$y = mx + n$（$m≠0$），将$P(1,4)$，$Q'(4,-1)$代入解析式可得方程组$\begin{cases}m + n = 4 \\ 4m + n = -1 \end{cases}$，解方程组：
用$4m + n = -1$减去$m + n = 4$消去$n$可得：
$\begin{aligned}(4m + n) - (m + n) &= -1 - 4\\4m + n - m - n &= -5\\3m &= -5\\m &= -\frac{5}{3}\end{aligned}$
将$m = -\frac{5}{3}$代入$m + n = 4$可得：
$\begin{aligned}-\frac{5}{3} + n &= 4\\n &= 4 + \frac{5}{3}\\n &= \frac{17}{3}\end{aligned}$
所以直线$PQ'$的解析式为$y = -\frac{5}{3}x + \frac{17}{3}$。
在$y = -\frac{5}{3}x + \frac{17}{3}$中，令$y = 0$，可得$0 = -\frac{5}{3}x + \frac{17}{3}$，解得$x = \frac{17}{5}$，所以点$M$的坐标为$(\frac{17}{5},0)$。
根据两点间距离公式$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，可得：
$PQ' = \sqrt{(4 - 1)^2 + (-1 - 4)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$
即$MP + MQ$的最小值为$\sqrt{34}$。
综上，答案依次为：（1）$y = -x + 5$；（2）$\frac{15}{2}$；（3）$M(\frac{17}{5},0)$，$\sqrt{34}$。