19. (本小题 10 分)如图,在平面直角坐标系中,已知点 $ A(2,-3) $,$ B(-3,0) $.将线段 $ AO $ 平移至线段 $ BC $ 的位置,点 $ A $ 的对应点是 $ B $,点 $ O $ 的对应点是 $ C $,连接 $ OC $.若在 $ y $ 轴上存在一点 $ P $,使得三角形 $ COP $ 的面积是三角形 $ OBC $ 面积的 2 倍,求点 $ P $ 的坐标.

(0,18/5)或(0,-18/5)

∵线段AO平移至BC，A(2,-3)对应B(-3,0)，
∴平移向量为(-3-2, 0-(-3))=(-5,3)。
∵O(0,0)对应点C，∴C(0-5, 0+3)=(-5,3)。
计算△OBC面积：
O(0,0)，B(-3,0)，OB=3（x轴上距离），C(-5,3)到x轴距离为3（纵坐标绝对值），
∴S△OBC=1/2×3×3=9/2。
设P(0,p)（y轴上点），△COP面积=2×S△OBC=9。
O(0,0)，C(-5,3)，P(0,p)，以OP为底（长度|p|），C到y轴距离5（横坐标绝对值）为高，
∴S△COP=1/2×|p|×5=5|p|/2=9，解得|p|=18/5，p=±18/5。

20. (本小题 10 分)如图,在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,已知点 $ A(0,2) $,$ B(3,0) $,$ C(3,4) $.
(1) 求四边形 $ AOBC $ 的面积.
(2) 是否存在点 $ P(x,-\dfrac{1}{2}x) $,使三角形 $ AOP $ 的面积是四边形 $ AOBC $ 面积的 2 倍? 若存在,求出点 $ P $ 的坐标;若不存在,请说明理由.

(1) 9
(2) 存在

(1) 已知点 $ A(0,2) $, $ B(3,0) $, $ C(3,4) $，四边形 $ AOBC $ 为直角梯形，$ S_{AOBC} = \frac{1}{2} × (OA + BC) × OB$，
其中，$ OA = 2 $，$ OB = 3 $，$ BC = 4 $，
所以，$ S_{AOBC} = \frac{1}{2} × (2 + 4) × 3 = 9 $。
(2) 假设存在点 $ P(x, -\dfrac{1}{2}x) $，使 $ S_{AOP} = 2 × S_{AOBC} = 18 $，
$ S_{AOP} = \frac{1}{2} × OA × |x| = \frac{1}{2} × 2 × |x| = |x| $，
所以，$|x = 18,$
即$x = 18$或$x = -18,$
因此，存在两个点 $ P $ 满足条件，坐标分别为 $ P(18, -9) $ 和 $ P(-18, 9) $。