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15. 你能求$(x - 1)(x^{2025} + x^{2024} + x^{2023} + ··· + x + 1)$的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手，先分别观察下列各式的值：
①$(x - 1)(x + 1) = x^{2} - 1$；
②$(x - 1)(x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1$；
③$(x - 1)(x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{4} - 1$；
…
由此我们可以得到$(x - 1)(x^{2025} + x^{2024} + x^{2023} + ··· + x + 1) =$
请你利用上面的结论，再完成下面两题的计算：
(1)$(-2)^{99} + (-2)^{98} + (-2)^{97} + ··· + (-2) + 1$.
(2)若$x^{3} + x^{2} + x + 1 = 0$，求$x^{2024}$的值.
①$(x - 1)(x + 1) = x^{2} - 1$；
②$(x - 1)(x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1$；
③$(x - 1)(x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{4} - 1$；
…
由此我们可以得到$(x - 1)(x^{2025} + x^{2024} + x^{2023} + ··· + x + 1) =$
$ x ^ { 2026 } - 1 $
.请你利用上面的结论，再完成下面两题的计算：
(1)$(-2)^{99} + (-2)^{98} + (-2)^{97} + ··· + (-2) + 1$.
(2)若$x^{3} + x^{2} + x + 1 = 0$，求$x^{2024}$的值.
答案
15. $ x ^ { 2026 } - 1 $
(1) 原式 $ = ( - 2 - 1 ) × \frac { ( - 2 ) ^ { 99 } + ( - 2 ) ^ { 98 } + ··· + ( - 2 ) + 1 } { - 3 } = \frac { ( - 2 ) ^ { 100 } - 1 } { - 3 } = \frac { 1 - 2 ^ { 100 } } { 3 } $
(2) $ \because ( x - 1 ) ( x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + x + 1 ) = x ^ { 4 } - 1 $，$ x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + x + 1 = 0 $，$ \therefore x ^ { 4 } = 1 $，$ \therefore x ^ { 2024 } = ( x ^ { 4 } ) ^ { 506 } = 1 $
(1) 原式 $ = ( - 2 - 1 ) × \frac { ( - 2 ) ^ { 99 } + ( - 2 ) ^ { 98 } + ··· + ( - 2 ) + 1 } { - 3 } = \frac { ( - 2 ) ^ { 100 } - 1 } { - 3 } = \frac { 1 - 2 ^ { 100 } } { 3 } $
(2) $ \because ( x - 1 ) ( x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + x + 1 ) = x ^ { 4 } - 1 $，$ x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + x + 1 = 0 $，$ \therefore x ^ { 4 } = 1 $，$ \therefore x ^ { 2024 } = ( x ^ { 4 } ) ^ { 506 } = 1 $
解析
【解析】
1. 观察已知等式：
①$(x - 1)(x + 1) = x^{2} - 1$；
②$(x - 1)(x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1$；
③$(x - 1)(x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{4} - 1$；
可归纳得出规律：$(x - 1)(x^n + x^{n-1} + \dots + x + 1) = x^{n+1} - 1$，因此当$n=2025$时，$(x - 1)(x^{2025} + x^{2024} + \dots + x + 1) = x^{2026} - 1$。
2. 计算(1)：
根据上述规律，$(-2 - 1)[(-2)^{99} + (-2)^{98} + \dots + (-2) + 1] = (-2)^{100} - 1$，
则原式$=\frac{(-2)^{100} - 1}{-2 - 1}=\frac{2^{100} - 1}{-3}=\frac{1 - 2^{100}}{3}$。
3. 计算(2)：
由规律可知$(x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1) = x^4 - 1$，
因为$x^3 + x^2 + x + 1 = 0$，所以$x^4 - 1 = 0$，即$x^4 = 1$，
则$x^{2024}=(x^4)^{506}=1^{506}=1$。
【答案】
$x^{2026}-1$
(1) $\boldsymbol{\frac{1 - 2^{100}}{3}}$
(2) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
多项式乘法规律、幂的乘方运算、整体代入法
【点评】
本题通过从简单情形归纳出多项式乘法的一般规律，考查了归纳推理能力，同时要求运用规律解决幂的运算问题，需灵活运用整体思想，有效提升知识迁移与综合应用能力。
【难度系数】
0.6
1. 观察已知等式：
①$(x - 1)(x + 1) = x^{2} - 1$；
②$(x - 1)(x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1$；
③$(x - 1)(x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{4} - 1$；
可归纳得出规律：$(x - 1)(x^n + x^{n-1} + \dots + x + 1) = x^{n+1} - 1$，因此当$n=2025$时，$(x - 1)(x^{2025} + x^{2024} + \dots + x + 1) = x^{2026} - 1$。
2. 计算(1)：
根据上述规律，$(-2 - 1)[(-2)^{99} + (-2)^{98} + \dots + (-2) + 1] = (-2)^{100} - 1$，
则原式$=\frac{(-2)^{100} - 1}{-2 - 1}=\frac{2^{100} - 1}{-3}=\frac{1 - 2^{100}}{3}$。
3. 计算(2)：
由规律可知$(x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1) = x^4 - 1$，
因为$x^3 + x^2 + x + 1 = 0$，所以$x^4 - 1 = 0$，即$x^4 = 1$，
则$x^{2024}=(x^4)^{506}=1^{506}=1$。
【答案】
$x^{2026}-1$
(1) $\boldsymbol{\frac{1 - 2^{100}}{3}}$
(2) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
多项式乘法规律、幂的乘方运算、整体代入法
【点评】
本题通过从简单情形归纳出多项式乘法的一般规律，考查了归纳推理能力，同时要求运用规律解决幂的运算问题，需灵活运用整体思想，有效提升知识迁移与综合应用能力。
【难度系数】
0.6
