1. 直接写出分解因式的结果：
(1)$x^{2}-4=$.
(2)$-25a^{2}+9b^{2}=$.
(3)$a^{3}-9a=$.
(4)$x-xy^{2}=$.

1.(1)$(x+2)(x-2)$
(2)$(3b+5a)(3b-5a)$
(3)$a(a+3)(a-3)$
(4)$x(1+y)(1-y)$

【解析】
(1) 观察式子$x^2 - 4$，它符合平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$的形式，其中$a=x$，$b=2$，因此分解结果为$(x+2)(x-2)$。
(2) 先将原式变形为$9b^2 - 25a^2$，即$(3b)^2 - (5a)^2$，再利用平方差公式分解，得到$(3b+5a)(3b-5a)$。
(3) 先提取公因式$a$，得到$a(a^2 - 9)$，然后对$a^2 - 9$利用平方差公式继续分解，最终结果为$a(a+3)(a-3)$。
(4) 先提取公因式$x$，得到$x(1 - y^2)$，再对$1 - y^2$利用平方差公式分解，最终结果为$x(1+y)(1-y)$。
【答案】
(1)$(x+2)(x-2)$
(2)$(3b+5a)(3b-5a)$
(3)$a(a+3)(a-3)$
(4)$x(1+y)(1-y)$
【知识点】
提取公因式法分解因式、平方差公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题需遵循“先提公因式，再用公式”的步骤，注意式子变形时的符号处理，是对因式分解基本方法的直接考查。
【难度系数】
0.9

2. 下列各式中不能用平方差公式分解的是()

A.$-a^{2}+b^{2}$
B.$49x^{2}y^{2}-m^{2}$
C.$-x^{2}-y^{2}$
D.$16m^{4}-25n^{2}$

2.C

【解析】
平方差公式分解因式的形式为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，即多项式需是两个平方项的差。
选项A：$-a^2 + b^2 = b^2 - a^2$，是两个平方项的差，能用平方差公式分解；
选项B：$49x^2y^2 - m^2=(7xy)^2 - m^2$，是两个平方项的差，能用平方差公式分解；
选项C：$-x^2 - y^2=-(x^2 + y^2)$，是两个平方项的和的相反数，不符合平方差公式的结构，不能用平方差公式分解；
选项D：$16m^4 - 25n^2=(4m^2)^2 - (5n)^2$，是两个平方项的差，能用平方差公式分解。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式分解因式
【点评】
本题考查平方差公式分解因式的应用，关键是掌握平方差公式的结构特征：多项式为两个数（或式）的平方的差，判断时需注意观察式子是否符合该结构。
【难度系数】
0.8

3. 把$-16+a^{2}$分解因式，结果是()

A.$(a+8)×(a-8)$
B.$(a+4)×(a-4)$
C.$(a+2)×(a-2)$
D.$(a-4)^{2}$

3.B

【解析】
首先将原式变形为标准平方差形式：$-16+a^{2}=a^{2}-16=a^{2}-4^{2}$，根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$，可得$a^{2}-4^{2}=(a+4)(a-4)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式因式分解
【点评】
本题考查平方差公式在因式分解中的应用，解题关键是先将式子整理为标准的平方差形式，再进行分解，属于基础题型。
【难度系数】
0.9

4. 边长为$a$的正方形，边长减少$b$以后所得较小正方形的面积比原来正方形的面积减少了()

A.$b^{2}$
B.$b^{2}+2ab$
C.$2ab$
D.$b(2a - b)$

4.D

【解析】
原来正方形的面积为$a^2$，边长减少$b$后所得正方形的边长为$a-b$，面积为$(a-b)^2$。
面积减少量为：
$a^2 - (a-b)^2 = a^2 - (a^2 - 2ab + b^2) = 2ab - b^2 = b(2a - b)$，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
正方形面积公式、整式的化简运算
【点评】
本题主要考查正方形面积公式的应用及整式的化简运算，解题关键是正确展开完全平方公式并进行整式的加减运算，注意运算过程中的符号变化。
【难度系数】
0.8

5. 计算$105^{2}-95^{2}$的结果为()

A.$1000$
B.$1980$
C.$2000$
D.$4000$

5.C

【解析】
本题可利用平方差公式进行简便计算，平方差公式为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。
将$a=105$，$b=95$代入公式：
$\begin{aligned}105^2 - 95^2&=(105+95)(105-95)\\&=200×10\\&=2000\end{aligned}$
因此结果为2000，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式的应用
【点评】
本题主要考查平方差公式的简便运算，利用公式可避免直接计算较大数的平方，简化运算过程，提升计算效率。
【难度系数】
0.8

6. 把下列各式分解因式：
(1)$a^{2}-b^{2}$.
(2)$9x^{2}-1$.
(3)$n^{2}m^{2}-16a^{2}$.

6.(1)$(a+b)(a-b)$
(2)$(3x+1)(3x-1)$
(3)$(mn+4a)(mn-4a)$

【解析】
本题可运用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$进行因式分解：
(1) 对于$a^2 - b^2$，直接匹配平方差公式形式，分解得$(a+b)(a-b)$；
(2) 先将$9x^2$转化为$(3x)^2$，$1$转化为$1^2$，再利用平方差公式分解，得$(3x+1)(3x-1)$；
(3) 先将$n^2m^2$转化为$(mn)^2$，$16a^2$转化为$(4a)^2$，再利用平方差公式分解，得$(mn+4a)(mn-4a)$。
【答案】
(1)$(a+b)(a-b)$
(2)$(3x+1)(3x-1)$
(3)$(mn+4a)(mn-4a)$
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题为基础因式分解题，主要考查平方差公式的应用，解题关键是准确将原式转化为平方差的形式，熟练掌握公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9

7. 若$m^{2}-n^{2}=6$，且$m - n = 2$，则$m + n=$；若$m - n = 2$，$m + n = 5$，则$m^{2}-n^{2}$的值为；已知$y = 2x$，则$4x^{2}-y^{2}$的值是.

7.3 10 0

【解析】
1. 对于第一个空，根据平方差公式$m^2 - n^2=(m - n)(m + n)$，已知$m^2 - n^2=6$，$m - n=2$，代入得$6=2(m + n)$，解得$m + n=3$；
2. 对于第二个空，根据平方差公式$m^2 - n^2=(m - n)(m + n)$，将$m - n=2$，$m + n=5$代入，得$m^2 - n^2=2×5=10$；
3. 对于第三个空，将$y=2x$代入$4x^2 - y^2$，变形为$(2x)^2 - y^2=(2x - y)(2x + y)$，因为$y=2x$，所以$2x - y=0$，则$4x^2 - y^2=0×(2x + y)=0$。
【答案】
3；10；0
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题考查平方差公式的灵活运用，需熟练掌握公式的结构特征，通过公式变形代入已知条件即可求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.9