例 1 梯形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，那么它的四个内角的比 $∠ A:∠ B:∠ C:∠ D$ 可以为()

A.$1:2:4:5$
B.$2:1:5:4$
C.$4:2:1:5$
D.$5:2:4:1$
【思路导析】根据四边形的四个角的和为 $360^{\circ}$，梯形中 $∠ A$ 与 $∠ B$、$∠ C$ 与 $∠ D$ 互补求解。
【请你解答】。

C

因为梯形 $ABCD$ 中 $AD// BC$，所以 $∠A + ∠B = 180^{\circ}$，$∠C + ∠D = 180^{\circ}$，即相邻的两个内角互补，其度数之和相等。设四个内角的度数分别为对应比例份数，计算各选项中前两项之和与后两项之和是否相等：
选项A：$1 + 2 = 3$，$4 + 5 = 9$，$3 ≠ 9$，不符合。
选项B：$2 + 1 = 3$，$5 + 4 = 9$，$3 ≠ 9$，不符合。
选项C：$4 + 2 = 6$，$1 + 5 = 6$，$6 = 6$，符合。
选项D：$5 + 2 = 7$，$4 + 1 = 5$，$7 ≠ 5$，不符合。

例 2 下列命题中正确的有()
①四边形每一个顶点处有一个外角；
②若四边形的一组对角互补，则另一组对角也互补；
③四边形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角；
④四边形的外角和大于三角形的外角和。

A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$3$ 个
D.$4$ 个
【思路导析】根据定义判断即可。
【请你解答】。

A

①四边形每个顶点处有两个外角（对顶角），故①错误；②四边形内角和为360°，若一组对角互补（和为180°），则另一组对角和为360°-180°=180°，即互补，故②正确；③四边形外角与相邻内角互补，与不相邻内角无必然大小关系，故③错误；④任意多边形外角和均为360°，四边形与三角形外角和相等，故④错误。正确的只有②，共1个。

例 3 如图，$∠ A = 34^{\circ}$，把 $△ ABC$ 纸片沿 $DE$ 折叠，当点 $A$ 落在四边形 $BCDE$ 内部时，求 $∠ BEA+∠ CDA$ 的度数。

【探究点拨】由四边形的内角和为 $360^{\circ}$，再结合三角形及四边形角的性质可求解。
【规范解答】$\because∠ A = 34^{\circ}$，
$\therefore∠ B+∠ C = 146^{\circ}$。
由三角形内角和为 $180^{\circ}$，可得
$∠ AED+∠ ADE+∠ A = 180^{\circ}$，
即 $∠ AED+∠ ADE = 180^{\circ}-∠ A$。
同理：$∠ B+∠ C = 180^{\circ}-∠ A$。
由四边形内角和为 $360^{\circ}$，可得
$∠ AED+∠ B+∠ ADE+∠ C+∠ BEA+∠ CDA = 360^{\circ}$，
$\therefore∠ BEA+∠ CDA = 360^{\circ}-(180^{\circ}-∠ A)-(180^{\circ}-∠ A) = 2∠ A = 68^{\circ}$。

$\because ∠ A = 34°$，
$\therefore ∠ B + ∠ C = 180° - ∠ A = 146°$，
由折叠图形和三角形内角和，$∠ AED + ∠ ADE = 180° - ∠ A = 146°$，
由四边形$BCDE$内角和为$360°$，
$∠ B + ∠ C + ∠ BEA + ∠ CDA + ∠ AED + ∠ ADE = 360°$，
$\therefore ∠ BEA + ∠ CDA = 360° - (∠ B + ∠ C) - (∠ AED + ∠ ADE) = 360° - 146° - 146° = 68°$，
综上所述，$∠ BEA + ∠ CDA$的度数为$68°$。

1. 如图，在 $△ ABC$ 中，$E$，$F$ 分别是 $AB$，$AC$ 上的两点，$∠ 1+∠ 2 = 225^{\circ}$，则 $∠ A =$。

45

在四边形$BCEF$中，内角和为$(4-2)×180^{\circ}=360^{\circ}$。已知$∠1+∠2=225^{\circ}$，则$∠B+∠C=360^{\circ}-(∠1+∠2)=360^{\circ}-225^{\circ}=135^{\circ}$。在$△ABC$中，$∠A+∠B+∠C=180^{\circ}$，所以$∠A=180^{\circ}-(∠B+∠C)=180^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ}$。

2. 在四边形 $MNCB$ 中，设 $∠ M = α$，$∠ N = β$，且 $α+β＞180^{\circ}$。四边形 $MNCB$ 的内角 $∠ MBC$ 的平分线 $BP$ 与外角 $∠ NCD$ 的平分线 $CP$ 相交于点 $P$，则 $∠ P$ 的度数为()


A.$\frac{α+β}{2}$
B.$α+β - 90^{\circ}$
C.$\frac{α+β - 180^{\circ}}{2}$
D.$\frac{α+β + 180^{\circ}}{2}$

C

在四边形$MNCB$中，内角和为$360^{\circ}$，则$∠ M + ∠ N + ∠ NCB + ∠ MBC = 360^{\circ}$，即$α + β + ∠ NCB + ∠ MBC = 360^{\circ}$，故$∠ NCB + ∠ MBC = 360^{\circ} - α - β$。
$BP$平分$∠ MBC$，设$∠ PBC = \frac{1}{2}∠ MBC$；$CP$平分外角$∠ NCD$，$∠ NCD = 180^{\circ} - ∠ NCB$，则$∠ PCD = \frac{1}{2}∠ NCD = \frac{1}{2}(180^{\circ} - ∠ NCB)$。
在$△ PBC$中，由外角性质得$∠ PCD = ∠ P + ∠ PBC$，即$∠ P = ∠ PCD - ∠ PBC$。
代入得：$∠ P = \frac{1}{2}(180^{\circ} - ∠ NCB) - \frac{1}{2}∠ MBC = \frac{1}{2}[180^{\circ} - (∠ NCB + ∠ MBC)]$。
将$∠ NCB + ∠ MBC = 360^{\circ} - α - β$代入，得$∠ P = \frac{1}{2}[180^{\circ} - (360^{\circ} - α - β)] = \frac{α + β - 180^{\circ}}{2}$。