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1. 正方形的内角和是()
A.$180^{\circ}$
B.$270^{\circ}$
C.$360^{\circ}$
D.$540^{\circ}$
A.$180^{\circ}$
B.$270^{\circ}$
C.$360^{\circ}$
D.$540^{\circ}$
答案
C
解析
正方形的四个内角均为直角，每个内角为$90^{\circ}$，因此内角和为$4 × 90^{\circ} = 360^{\circ}$。
另外，正方形属于四边形，根据多边形内角和公式$(n-2) × 180^{\circ}$，当$n=4$时，内角和为$(4-2) × 180^{\circ} = 360^{\circ}$。
另外，正方形属于四边形，根据多边形内角和公式$(n-2) × 180^{\circ}$，当$n=4$时，内角和为$(4-2) × 180^{\circ} = 360^{\circ}$。
2. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$∠ A = 80^{\circ}$，$∠ D = 110^{\circ}$，与 $∠α$ 相邻的外角是 $70^{\circ}$，则 $∠β$ 的度数是()
A.$50^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$70^{\circ}$
D.$80^{\circ}$
A.$50^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$70^{\circ}$
D.$80^{\circ}$
答案
B
解析
因为与∠α相邻的外角是70°，所以∠α=180°-70°=110°。四边形内角和为(4-2)×180°=360°，则∠β=360°-∠A-∠D-∠α=360°-80°-110°-110°=60°。
3. 四边形具有不稳定性，从数学角度看不稳定性主要体现在()
A.内角可发生变化
B.边长发生变化
C.周长发生变化
D.内角和发生变化
A.内角可发生变化
B.边长发生变化
C.周长发生变化
D.内角和发生变化
答案
A
解析
四边形的不稳定性是指其形状容易发生改变，这种形状的改变并不是由于边长的变化，因为在不改变边长的情况下，四边形的形状仍然可以改变，这种改变会导致四边形的内角发生变化，而四边形的内角和是固定的，始终为$360$度，周长的变化需要边长的改变，所以不稳定性体现的是内角可发生变化。
4. 如图，将三角形纸片 $ABC$ 剪掉一角得四边形 $BCDE$，设 $△ ABC$ 内角和的度数与四边形 $BCDE$ 外角和的度数分别为 $α$，$β$，则下列说法正确的是()
A.$α-β = 0^{\circ}$
B.$2α-β = 0^{\circ}$
C.$α - 2β = 0^{\circ}$
D.无法比较 $α$ 与 $β$ 的大小
A.$α-β = 0^{\circ}$
B.$2α-β = 0^{\circ}$
C.$α - 2β = 0^{\circ}$
D.无法比较 $α$ 与 $β$ 的大小
答案
B
解析
因为三角形内角和α=180°，任意四边形外角和β=360°，所以2α=360°=β，即2α-β=0°。
5. 已知四边形 $ABCD$ 的边长如图所示，当 $△ ABC$ 为等腰三角形时，对角线 $AC$ 的长为()
A.$4$ 或 $6$
B.$5$
C.$4$
D.$6$
A.$4$ 或 $6$
B.$5$
C.$4$
D.$6$
答案
C
解析
在△ABC中，已知AB=4，BC=6，当△ABC为等腰三角形时，分两种情况讨论：
1. 若AB=AC，则AC=4。此时在△ADC中，AD=3，CD=3，AC=4，满足3+3＞4，3+4＞3，4-3＜3，能构成三角形。
2. 若AC=BC，则AC=6。此时在△ADC中，AD=3，CD=3，AC=6，3+3=6，不满足三角形三边关系（两边之和需大于第三边），不能构成三角形，故舍去。
综上，AC的长为4。
1. 若AB=AC，则AC=4。此时在△ADC中，AD=3，CD=3，AC=4，满足3+3＞4，3+4＞3，4-3＜3，能构成三角形。
2. 若AC=BC，则AC=6。此时在△ADC中，AD=3，CD=3，AC=6，3+3=6，不满足三角形三边关系（两边之和需大于第三边），不能构成三角形，故舍去。
综上，AC的长为4。
6. 如图，$AE$，$DE$ 分别是四边形 $ABCD$ 的外角 $∠ NAD$，$∠ MDA$ 的平分线，若 $∠ B = 90^{\circ}$，$∠ E = 60^{\circ}$，则 $∠ C$ 的度数为。
答案
150°
解析
设∠NAD=2α，∠MDA=2β。因为AE，DE分别是∠NAD，∠MDA的平分线，所以∠DAE=α，∠ADE=β。在△ADE中，∠E=60°，由三角形内角和得α+β+60°=180°，则α+β=120°。
∠NAD是∠BAD的外角，故∠BAD=180°-2α；∠MDA是∠ADC的外角，故∠ADC=180°-2β。
四边形ABCD内角和为360°，即∠BAD+∠B+∠C+∠ADC=360°。已知∠B=90°，代入得(180°-2α)+90°+∠C+(180°-2β)=360°，化简得360°-2(α+β)+∠C=270°。
将α+β=120°代入，得360°-2×120°+∠C=270°，解得∠C=150°。
∠NAD是∠BAD的外角，故∠BAD=180°-2α；∠MDA是∠ADC的外角，故∠ADC=180°-2β。
四边形ABCD内角和为360°，即∠BAD+∠B+∠C+∠ADC=360°。已知∠B=90°，代入得(180°-2α)+90°+∠C+(180°-2β)=360°，化简得360°-2(α+β)+∠C=270°。
将α+β=120°代入，得360°-2×120°+∠C=270°，解得∠C=150°。
7. 如图，在四边形纸片 $ABCD$ 中，$AB// CD$，将纸片沿 $EF$ 折叠，点 $A$，$D$ 分别落在 $A'$，$D'$ 处，且 $A'D'$ 经过点 $B$，$FD'$ 交 $BC$ 于点 $G$，连接 $EG$，$EG$ 平分 $∠ BEF$。若 $EG// A'D'$，$∠ A+∠ DFE = 125^{\circ}$，则 $∠ CFE$ 的度数是。
答案
70
解析
设∠CFE = x。
∵AB//CD，∴∠BEF + ∠CFE = 180°（同旁内角互补），则∠BEF = 180° - x。
∵EG平分∠BEF，∴∠FEG = 1/2∠BEF = (180° - x)/2。
∵EG//A'D'，∴∠FEG = ∠A'EF（内错角相等）。
由折叠性质，∠AEF = ∠A'EF = (180° - x)/2。
∵AB//CD，∴∠AEF = ∠DFE（内错角相等），则∠DFE = (180° - x)/2。
已知∠A + ∠DFE = 125°，∴∠A = 125° - ∠DFE = 125° - (180° - x)/2。
在△A'EB中，∠A' = ∠A，∠A'EB = ∠BEF - ∠A'EF = (180° - x) - (180° - x)/2 = (180° - x)/2，∠A'BE = ∠BEG = (180° - x)/2（EG//A'D'，同位角相等）。
由三角形内角和定理：∠A' + ∠A'EB + ∠A'BE = 180°，即[125° - (180° - x)/2] + (180° - x)/2 + (180° - x)/2 = 180°。
化简得：125° + (180° - x)/2 = 180°，解得x = 70°。
∵AB//CD，∴∠BEF + ∠CFE = 180°（同旁内角互补），则∠BEF = 180° - x。
∵EG平分∠BEF，∴∠FEG = 1/2∠BEF = (180° - x)/2。
∵EG//A'D'，∴∠FEG = ∠A'EF（内错角相等）。
由折叠性质，∠AEF = ∠A'EF = (180° - x)/2。
∵AB//CD，∴∠AEF = ∠DFE（内错角相等），则∠DFE = (180° - x)/2。
已知∠A + ∠DFE = 125°，∴∠A = 125° - ∠DFE = 125° - (180° - x)/2。
在△A'EB中，∠A' = ∠A，∠A'EB = ∠BEF - ∠A'EF = (180° - x) - (180° - x)/2 = (180° - x)/2，∠A'BE = ∠BEG = (180° - x)/2（EG//A'D'，同位角相等）。
由三角形内角和定理：∠A' + ∠A'EB + ∠A'BE = 180°，即[125° - (180° - x)/2] + (180° - x)/2 + (180° - x)/2 = 180°。
化简得：125° + (180° - x)/2 = 180°，解得x = 70°。
8. 将一个正方形桌面砍下一个角后，桌子剩下的角的个数是。
答案
3或4或5
解析
当沿对角线砍时，剩下3个角；当沿一个角的顶点和对边上一点砍时，剩下4个角；当沿相邻两边上的点砍时，剩下5个角。故剩下角的个数为3或4或5。
