15. 某小区的两个喷泉 $A$，$B$ 位于小路 $AC$ 的同侧，两个喷泉间的距离 $AB$ 的长为 $250$ m。如图，现要为喷泉铺设供水管道 $AM$，$BM$，已知供水点 $M$ 在小路 $AC$ 上，供水点 $M$ 到 $AB$ 的距离 $MN$ 的长为 $120$ m，$BM$ 的长为 $150$ m。
(1) 求供水点 $M$ 到喷泉 $A$，$B$ 需要铺设的管道总长；
(2) 直接写出喷泉 $B$ 到小路 $AC$ 的最短距离。

(1) 在Rt△MNB中，MN⊥AB，MN=120m，BM=150m，由勾股定理得：
$BN=\sqrt{BM^2-MN^2}=\sqrt{150^2-120^2}=\sqrt{8100}=90(m)$。
∵AB=250m，∴AN=AB-BN=250-90=160(m)。
在Rt△AMN中，由勾股定理得：
$AM=\sqrt{AN^2+MN^2}=\sqrt{160^2+120^2}=\sqrt{40000}=200(m)$。
∴管道总长AM+BM=200+150=350(m)。
(2) 150m。

16. 已知点 $A$ 的坐标为 $(1,-3)$，$∠ OAB = 90^{\circ}$，$OA = AB$。
(1) 如图①，求点 $B$ 的坐标；
(2) 如图②，$AD⊥ y$ 轴，垂足为 $D$，$M$ 为 $OB$ 的中点，求 $DM$ 的长。

(1) $ (4,-2) $；(2) $ \sqrt{2} $。

(1) 设点 $ B $ 的坐标为 $ (x,y) $。
∵ 点 $ A(1,-3) $，$ ∠ OAB = 90° $，
∴ 向量 $ \overrightarrow{AO} = (-1,3) $，向量 $ \overrightarrow{AB} = (x-1,y+3) $。
∵ $ \overrightarrow{AO} ⊥ \overrightarrow{AB} $，
∴ $ (-1)(x-1) + 3(y+3) = 0 $，即 $ -x + 3y + 10 = 0 $，得 $ x = 3y + 10 $。
∵ $ OA = AB $，$ OA = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{10} $，
∴ $ \sqrt{(x-1)^2 + (y+3)^2} = \sqrt{10} $，即 $ (x-1)^2 + (y+3)^2 = 10 $。
将 $ x = 3y + 10 $ 代入上式，得 $ (3y + 9)^2 + (y + 3)^2 = 10 $，
化简得 $ 10(y + 3)^2 = 10 $，解得 $ y = -2 $ 或 $ y = -4 $。
结合图①，取 $ y = -2 $，则 $ x = 3(-2) + 10 = 4 $，
∴ 点 $ B $ 的坐标为 $ (4,-2) $。
(2) ∵ $ AD ⊥ y $ 轴，$ A(1,-3) $，
∴ 垂足 $ D $ 的坐标为 $ (0,-3) $。
由图②及题意，点 $ B $ 的坐标为 $ (-2,-4) $（由旋转方向确定）。
∵ $ M $ 为 $ OB $ 中点，$ O(0,0) $，$ B(-2,-4) $，
∴ $ M $ 的坐标为 $ ( \frac{0 + (-2)}{2}, \frac{0 + (-4)}{2} ) = (-1,-2) $。
∴ $ DM = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (-2 - (-3))^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2} $。

17. 如图，在 $△ ABC$ 中，$AB:BC:CA = 3:4:5$，$△ ABC$ 的周长为 $36$ cm，点 $P$ 从点 $A$ 开始沿 $AB$ 边向点 $B$ 以每秒 $1$ cm 的速度移动；点 $Q$ 从点 $B$ 开始沿 $BC$ 边向点 $C$ 以每秒 $2$ cm 的速度移动，如果 $P$，$Q$ 两点同时出发，则过 $3$ 秒时，$△ BPQ$ 的面积为多少？

∵AB:BC:CA=3:4:5，设AB=3k，BC=4k，CA=5k，
∵△ABC周长为36cm，∴3k+4k+5k=36，解得k=3，
∴AB=9cm，BC=12cm，CA=15cm，
∵AB²+BC²=9²+12²=81+144=225=15²=CA²，∴∠B=90°，
3秒后，AP=1×3=3cm，BP=AB-AP=9-3=6cm，
BQ=2×3=6cm，
∵∠B=90°，∴S△BPQ=1/2×BP×BQ=1/2×6×6=18cm²。
答：18cm²。