11. 如图，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$AC = 6$，$BC = 8$，$AD$ 是 $∠ BAC$ 的平分线，若 $P$，$Q$ 分别是 $AD$ 和 $AC$ 上的动点，则 $PC + PQ$ 的最小值是()

A.$\frac{12}{5}$
B.$4$
C.$\frac{24}{5}$
D.$5$

C

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，由勾股定理得AB=10。AD是∠BAC的平分线，作点C关于AD的对称点C'，根据角平分线性质，C'在AB上，且AC'=AC=6。此时PC=PC'，则PC+PQ=PC'+PQ。当C'Q⊥AC时，C'Q为最小值，即点C'到AC的距离。
由面积法，S△ABC=24，AB边上的高为24/5。C'在AB上，AC'=6，S△AC'C=AC'×(C到AB的距离)/2=6×(24/5)/2=72/5。又S△AC'C=AC×h/2=6×h/2=3h，解得h=24/5。故PC+PQ的最小值为24/5。

三、解答题
12. 如图，将长方形 $ABCD$ 沿直线 $AE$ 折叠，顶点 $D$ 恰好落在 $BC$ 边上的点 $F$ 处，已知 $CE = 3$ cm，$AB = 8$ cm，求图中阴影部分的面积。

∵四边形ABCD是长方形，∴AB=CD=8cm，AD=BC，∠B=∠C=90°。
∵CE=3cm，∴DE=CD-CE=8-3=5cm。
由折叠性质得：△ADE≌△AFE，∴EF=DE=5cm，AF=AD。
在Rt△EFC中，CE=3cm，EF=5cm，
由勾股定理得：FC²+CE²=EF²，即FC²+3²=5²，解得FC=4cm。
设BF=xcm，则BC=AD=AF=(x+4)cm。
在Rt△ABF中，AB=8cm，BF=xcm，AF=(x+4)cm，
由勾股定理得：AB²+BF²=AF²，即8²+x²=(x+4)²，
解得x=6，即BF=6cm。
阴影部分面积=S△ABF+S△EFC=1/2×BF×AB + 1/2×FC×CE=1/2×6×8 + 1/2×4×3=24+6=30cm²。
答：阴影部分的面积为30cm²。

13. 如图，四边形 $ABCD$ 的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为 $1$。
(1) $BC =$；
(2) 连接 $BD$，判断 $△ BCD$ 是什么三角形，请说明理由；
(3) 求四边形 $ABCD$ 的面积。

(1)√10
(2)△BCD是等腰直角三角形。理由：由网格得，BC=√(1²+3²)=√10，BD=√(3²+1²)=√10，CD=√(4²+2²)=2√5。∵BC=BD，且BC²+BD²=(√10)²+(√10)²=20=(2√5)²=CD²，∴△BCD是等腰直角三角形。
(3)7

14. 如图，$AB// CD$，$∠ CAB$ 的平分线 $AP$ 交 $CD$ 于点 $M$。
(1) 求证：$△ ACM$ 是等腰三角形；
(2) 作 $CN⊥ AM$，垂足为 $N$，若 $AC = 13$，$AM = 24$，求 $CN$ 的长。

(1) 证明：
∵ $AB // CD$，
∴ $∠ CMA = ∠ MAB$。
∵ $AP$ 平分 $∠ CAB$，
∴ $∠ CAM = ∠ MAB$。
∴ $∠ CAM = ∠ CMA$。
∴ $AC = CM$。
∴ $△ ACM$ 是等腰三角形。
(2) 解：
∵ $CN ⊥ AM$，$△ ACM$ 是等腰三角形，
∴ $N$ 为 $AM$ 中点，$AN = \frac{1}{2}AM = 12$。
在 $\mathrm{Rt}△ ACN$ 中，$AC = 13$，$AN = 12$，
由勾股定理得：$CN = \sqrt{AC^2 - AN^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5$。
∴ $CN$ 的长为 $5$。