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一、填空题
1. 如图，四边形 $ABCD$ 中，$AB = \sqrt{13}$，$BC = 4$，将四边形 $ABCD$ 沿 $AE$ 翻折后，点 $B$ 恰好与点 $C$ 重合，则折痕 $AE$ 的长为。
1. 如图，四边形 $ABCD$ 中，$AB = \sqrt{13}$，$BC = 4$，将四边形 $ABCD$ 沿 $AE$ 翻折后，点 $B$ 恰好与点 $C$ 重合，则折痕 $AE$ 的长为。
答案
3
解析
由翻折性质知，AE垂直平分BC，故E为BC中点，BE=BC/2=2，且∠AEB=90°。在Rt△ABE中，AB=√13，BE=2，由勾股定理得AE=√(AB²-BE²)=√(13-4)=3。
2. 若一个直角三角形的一条直角边长是 $7$ cm，另一条直角边比斜边短 $1$ cm，则斜边的长是 cm。
答案
25
解析
设斜边的长为 $ x $ cm，则另一条直角边的长为 $ (x - 1) $ cm。根据勾股定理，得 $ 7^2 + (x - 1)^2 = x^2 $。展开可得 $ 49 + x^2 - 2x + 1 = x^2 $，化简得 $ 50 - 2x = 0 $，解得 $ x = 25 $。
3. 一个三角形的三边长 $a$，$b$，$c$ 满足 $|a + b - 50|+\sqrt{a - b - 32}+(c - 40)^2 = 0$，则这个三角形最长边上的高为。
答案
$\frac{360}{41}$
解析
由题意得：$\begin{cases}a + b - 50 = 0 \\ a - b - 32 = 0 \\ c - 40 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 41 \\ b = 9 \\ c = 40\end{cases}$。
因为$9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681 = 41^2$，所以该三角形为直角三角形，最长边为41。
设最长边上的高为$h$，则面积$S = \frac{1}{2}×9×40 = \frac{1}{2}×41×h$，解得$h = \frac{360}{41}$。
因为$9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681 = 41^2$，所以该三角形为直角三角形，最长边为41。
设最长边上的高为$h$，则面积$S = \frac{1}{2}×9×40 = \frac{1}{2}×41×h$，解得$h = \frac{360}{41}$。
4. 如图，在平面直角坐标系中，$A(4,0)$，$B(0,3)$，以点 $A$ 为圆心，$AB$ 长为半径画弧，交 $x$ 轴的负半轴于点 $C$，则点 $C$ 的坐标为。
答案
$(-1,0)$
解析
因为点$A(4,0)$，$B(0,3)$，所以$OA=4$，$OB=3$。在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$。因为以点$A$为圆心，$AB$长为半径画弧，交$x$轴负半轴于点$C$，所以$AC=AB=5$。又因为点$A$在$x$轴上，所以$OC=AC - OA=5 - 4=1$，且点$C$在$x$轴负半轴，故点$C$的坐标为$(-1,0)$。
5. 如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为 $12$ cm，底面周长为 $10$ cm，在容器内壁离容器底部 $3$ cm 的点 $B$ 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿 $3$ cm 的点 $A$ 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径的长是。
答案
13
解析
将圆柱形容器侧面展开，蚂蚁在容器外壁离上沿3cm，饭粒在容器内壁离底部3cm。蚂蚁需经顶部或底部开口进入内壁，竖直距离为3cm+9cm=12cm，水平距离为底面周长一半5cm。由勾股定理得最短路径长为√(12²+5²)=13cm。
6. 把两个同样大小的含 $45^{\circ}$ 角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点 $A$，且另三个锐角顶点 $B$，$C$，$D$ 在同一直线上。若 $AB = \sqrt{2}$，则 $CD =$。
答案
√3 - 1
解析
∵两个三角尺为同样大小的含45°角的等腰直角三角尺，∴△ABC和△AED均为等腰直角三角形，∠BAC=∠E=90°，AB=AC，AE=ED。
∵AB=√2，∴AC=AB=√2，在Rt△ABC中，BC=√(AB²+AC²)=√(2+2)=2。
过A作AF⊥BC于F，等腰直角三角形斜边上的高等于斜边一半，∴AF=BF=FC=1。
另一个三角尺中，AE=ED=√2（与AB等长），则AD=√(AE²+ED²)=√(2+2)=2。
设CD=x，∵B、C、D共线，∴FD=FC+CD=1+x。
在Rt△AFD中，AF²+FD²=AD²，即1²+(1+x)²=2²，解得x=√3-1（负值舍去）。
∵AB=√2，∴AC=AB=√2，在Rt△ABC中，BC=√(AB²+AC²)=√(2+2)=2。
过A作AF⊥BC于F，等腰直角三角形斜边上的高等于斜边一半，∴AF=BF=FC=1。
另一个三角尺中，AE=ED=√2（与AB等长），则AD=√(AE²+ED²)=√(2+2)=2。
设CD=x，∵B、C、D共线，∴FD=FC+CD=1+x。
在Rt△AFD中，AF²+FD²=AD²，即1²+(1+x)²=2²，解得x=√3-1（负值舍去）。
二、选择题
7. 已知 $Rt△ ABC$ 的三边长为 $a$，$4$，$5$，则 $a$ 的值是()
A.$3$
B.$\sqrt{41}$
C.$3$ 或 $\sqrt{41}$
D.$9$ 或 $41$
7. 已知 $Rt△ ABC$ 的三边长为 $a$，$4$，$5$，则 $a$ 的值是()
A.$3$
B.$\sqrt{41}$
C.$3$ 或 $\sqrt{41}$
D.$9$ 或 $41$
答案
C
解析
在Rt△ABC中，已知两边长为4和5，需分两种情况讨论：
1. 当5为斜边时，根据勾股定理，$a^2 + 4^2 = 5^2$，解得$a^2 = 25 - 16 = 9$，$a = 3$（$a ＞ 0$）；
2. 当a为斜边时，根据勾股定理，$4^2 + 5^2 = a^2$，解得$a^2 = 16 + 25 = 41$，$a = \sqrt{41}$（$a ＞ 0$）。
综上，a的值为3或$\sqrt{41}$。
1. 当5为斜边时，根据勾股定理，$a^2 + 4^2 = 5^2$，解得$a^2 = 25 - 16 = 9$，$a = 3$（$a ＞ 0$）；
2. 当a为斜边时，根据勾股定理，$4^2 + 5^2 = a^2$，解得$a^2 = 16 + 25 = 41$，$a = \sqrt{41}$（$a ＞ 0$）。
综上，a的值为3或$\sqrt{41}$。
8. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为 $1$，则网格上的 $△ ABC$ 中，边长为无理数的边数有()
A.$0$ 条
B.$1$ 条
C.$2$ 条
D.$3$ 条
A.$0$ 条
B.$1$ 条
C.$2$ 条
D.$3$ 条
答案
D
解析
以点A为原点建立直角坐标系，A(0,4)，B(1,0)，C(5,2)。
AB：$\sqrt{(1-0)^2+(0-4)^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}$（无理数）；
BC：$\sqrt{(5-1)^2+(2-0)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$（无理数）；
AC：$\sqrt{(5-0)^2+(2-4)^2}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}$（无理数）。
边长为无理数的边数有3条。
AB：$\sqrt{(1-0)^2+(0-4)^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}$（无理数）；
BC：$\sqrt{(5-1)^2+(2-0)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$（无理数）；
AC：$\sqrt{(5-0)^2+(2-4)^2}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}$（无理数）。
边长为无理数的边数有3条。
9. 如图，点 $O$ 是长方形 $ABCD$ 的中心，$E$ 是 $AB$ 上的点，折叠后，点 $B$ 恰好与点 $O$ 重合。若 $BC = 3$，则折痕 $CE$ 的长为()
A.$2\sqrt{3}$
B.$\frac{3}{2}\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}$
D.$6$
A.$2\sqrt{3}$
B.$\frac{3}{2}\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}$
D.$6$
答案
A
解析
设长方形ABCD中，AB=y，BC=3，O为中心，折叠后B与O重合，故△CBE≌△COE，得CB=CO=3。
∵O是AC中点，∴AC=2CO=6。
在Rt△ABC中，AC²=AB²+BC²，即6²=y²+3²，解得y=3√3。
设BE=OE=x，则AE=AB-BE=3√3 - x。
O点坐标为(3√3/2, 3/2)，E点坐标为(3√3 - x, 0)。
由OE=BE=x，得√[(3√3/2 - (3√3 - x))² + (3/2 - 0)²]=x，
化简得√[(x - 3√3/2)² + 9/4]=x，平方后解得x=√3。
在Rt△CBE中，CE²=BC²+BE²=3²+(√3)²=12，故CE=2√3。
∵O是AC中点，∴AC=2CO=6。
在Rt△ABC中，AC²=AB²+BC²，即6²=y²+3²，解得y=3√3。
设BE=OE=x，则AE=AB-BE=3√3 - x。
O点坐标为(3√3/2, 3/2)，E点坐标为(3√3 - x, 0)。
由OE=BE=x，得√[(3√3/2 - (3√3 - x))² + (3/2 - 0)²]=x，
化简得√[(x - 3√3/2)² + 9/4]=x，平方后解得x=√3。
在Rt△CBE中，CE²=BC²+BE²=3²+(√3)²=12，故CE=2√3。
10. 如图，一艘轮船位于灯塔 $P$ 的北偏东 $60^{\circ}$ 方向，与灯塔 $P$ 的距离为 $30$ 海里的 $A$ 处。轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 $P$ 的南偏东 $30^{\circ}$ 方向上的 $B$ 处，则此时轮船所在位置 $B$ 处与灯塔 $P$ 之间的距离为()
A.$60$ 海里
B.$45$ 海里
C.$20\sqrt{3}$ 海里
D.$30\sqrt{3}$ 海里
A.$60$ 海里
B.$45$ 海里
C.$20\sqrt{3}$ 海里
D.$30\sqrt{3}$ 海里
答案
D
解析
过点P作PC⊥AB于点C。由题意得∠APC=60°，∠BPC=30°，PA=30海里。在Rt△APC中，cos∠APC=PC/PA，即cos60°=PC/30，解得PC=15海里。在Rt△BPC中，cos∠BPC=PC/PB，即cos30°=15/PB，解得PB=15/(√3/2)=10√3×√3=30√3海里。
