14. 如图,透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为 $12\ \mathrm{cm}$,底面周长为 $10\ \mathrm{cm}$,在容器内壁离容器底部 $3\ \mathrm{cm}$ 的点 $B$ 处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿 $3\ \mathrm{cm}$ 的点 $A$ 处,则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程是()


A.$13\ \mathrm{cm}$
B.$2\sqrt{61}\ \mathrm{cm}$
C.$\sqrt{61}\ \mathrm{cm}$
D.$2\sqrt{34}\ \mathrm{cm}$

14.A

【解析】
将圆柱形容器的侧面展开，作点A关于容器上沿的对称点A'，连接A'B，A'B的长度即为蚂蚁爬行的最短路程。
由题意得：
展开图中水平方向的距离为底面周长的一半，即$\frac{10}{2}=5\ \mathrm{cm}$；
A'到B的垂直距离为$12 - 3 + 3 = 12\ \mathrm{cm}$；
根据勾股定理，$A'B=\sqrt{5^2 + 12^2}=13\ \mathrm{cm}$，即蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程是13cm。
【答案】
A
【知识点】
最短路径问题，勾股定理，圆柱侧面展开
【点评】
本题考查立体图形中的最短路径求解，关键是将圆柱侧面展开为平面图形，利用对称点转化路径，结合勾股定理计算，考查空间想象能力与转化思想的应用。
【难度系数】
0.4

15. 图①是过圆柱体木块底面的一条弦 $AD$,沿母线 $AB$ 剖开后得到的柱体,剖面是矩形 $ABCD$, $O$ 为原圆柱体木块底面的圆心,图②是该柱体的主视图和俯视图.请你根据图中标注的数据解决以下问题:
(1)求弦 $AD$ 的长度;
(2)求这个柱体的表面积.(结果可保留 $π$ 和根号)
]

15.解:(1)如图,过点O作OM⊥AD于点M,连结OD,则△OMD是直角三角形.
由题意可得OD=36÷2=18(cm),OM=27 - 18=9(cm),
∴MD=9√3(cm),
∴AD=2MD=18√3(cm).

(2)如图,连结OA.由(1)可得∠MOD=60°,则∠AOD=120°,
∴上、下底面的面积之和为2[((360 - 120)π×18²)/360 + (1/2)×18√3×9]=(432π+162√3)cm²,
侧面积为18√3×40 + ((360 - 120)π×18)/180×40=(720√3+960π)cm².
∵432π+162√3+720√3+960π=(1392π+882√3)cm²,
∴这个柱体的表面积为(1392π+882√3)cm².

【解析】
(1) 过点O作OM⊥AD于点M，连结OD，△OMD为直角三角形。
由题意得OD=36÷2=18(cm)，OM=27-18=9(cm)，
根据勾股定理，$MD=\sqrt{OD^2-OM^2}=\sqrt{18^2-9^2}=9\sqrt{3}(cm)$，
由垂径定理得$AD=2MD=18\sqrt{3}(cm)$。
(2) 连结OA，由(1)可知在Rt△OMD中，$OM=\frac{1}{2}OD$，故∠MOD=60°，则∠AOD=120°。
①计算上下底面的面积之和：
每个底面为扇形加三角形，面积为$\frac{(360-120)π×18^2}{360}+\frac{1}{2}×18\sqrt{3}×9$，
上下底面面积之和为$2×(\frac{240π×324}{360}+81\sqrt{3})=432π+162\sqrt{3}$（cm²）；
②计算侧面积：
侧面积由矩形面积和扇形弧长对应的矩形面积组成，
即$18\sqrt{3}×40+\frac{(360-120)π×18}{180}×40=720\sqrt{3}+960π$（cm²）；
③柱体表面积为上下底面面积之和加侧面积：
$432π+162\sqrt{3}+720\sqrt{3}+960π=1392π+882\sqrt{3}$（cm²）。
【答案】
(1) $AD=18\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$；
(2) 这个柱体的表面积为$(1392π+882\sqrt{3})\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆柱表面积计算
【点评】
本题结合圆柱截面问题，综合考查垂径定理、勾股定理及不规则柱体的表面积计算，需具备一定空间想象能力与几何运算能力，关键是将空间图形转化为平面图形分析计算。
【难度系数】
0.6