8. 如图,$AB$ 是半圆 $O$ 的直径,点 $C$,$D$ 将$\overset{\frown}{AB}$分成相等的三段弧,点 $P$ 在$\overset{\frown}{AC}$上,点 $Q$ 在$\overset{\frown}{AB}$上,且$∠APQ=115^{\circ}$,则点 $Q$ 所在的弧是()


A.$\overset{\frown}{AP}$
B.$\overset{\frown}{DB}$
C.$\overset{\frown}{CD}$
D.$\overset{\frown}{PC}$

B

连接AQ，设弧AP的度数为θ（0°＜θ＜60°，因C、D将半圆AB三等分，每段弧60°）。在△APQ中，∠APQ=115°，∠AQP为弧AP所对圆周角，故∠AQP=θ/2；∠PAQ为弧PQ所对圆周角，设弧PQ度数为x，则∠PAQ=x/2。由三角形内角和得：115°+θ/2+x/2=180°，即x+θ=130°。弧AQ=弧AP+弧PQ=θ+x=130°。半圆AB=180°，弧AC=60°，弧CD=60°，弧DB=60°，弧AD=120°，故弧AQ=130°在弧AD（120°）与B（180°）之间，即Q在弧DB上。

9. 如图,$P$ 为正方形 $ABCD$ 内一点,$∠APD=∠ADP=75^{\circ}$,延长 $DP$ 交 $BC$ 于点 $E$.若 $EP=\sqrt{2}$,则正方形 $ABCD$ 的边长为()


A.$\sqrt{6}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}+1$
D.$\sqrt{3}+1$

D

设正方形边长为$a$。在$△ APD$中，$∠ APD = ∠ ADP = 75°$，则$∠ PAD = 180° - 75° - 75° = 30°$，且$AP = AD = a$（等角对等边）。
由正弦定理：$\frac{AP}{\sin ∠ ADP} = \frac{DP}{\sin ∠ PAD}$，即$\frac{a}{\sin 75°} = \frac{DP}{\sin 30°}$，得$DP = \frac{a · \sin 30°}{\sin 75°} = \frac{a}{2\sin 75°}$。
延长$DP$交$BC$于$E$，$∠ CDE = ∠ ADC - ∠ ADP = 90° - 75° = 15°$。在$Rt△ DCE$中，$DE = \frac{CD}{\cos 15°} = \frac{a}{\cos 15°}$，又$\cos 15° = \sin 75°$，故$DE = \frac{a}{\sin 75°}$。
因$DE = DP + EP$，$EP = \sqrt{2}$，则$\frac{a}{\sin 75°} = \frac{a}{2\sin 75°} + \sqrt{2}$，解得$\frac{a}{2\sin 75°} = \sqrt{2}$，即$a = 2\sqrt{2}\sin 75°$。
$\sin 75° = \sin(45° + 30°) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$，代入得$a = 2\sqrt{2} · \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \sqrt{3} + 1$。

10. 在平面直角坐标系 $xOy$ 中,若经过 $x$ 轴上一点 $P$ 的直线 $l$ 与双曲线 $m$ 相交于 $M$,$N$ 两点(点 $M$ 在点 $N$ 的左侧),则把$\frac{PN}{PM}$的值称为直线 $l$ 和双曲线 $m$ 的适配比.已知经过点$P(-3,0)$的直线 $y=x+b$ 与双曲线 $y=\frac{k}{x}(k＜0)$ 的适配比不大于 $2$,则 $k$ 的取值范围是()

A.$-2≤ k＜-1$
B.$-\frac{9}{4}＜k≤ -2$
C.$-\frac{5}{2}＜k≤ -2$
D.$-\frac{9}{4}≤ k≤ -2$

B

1. 直线过点$P(-3,0)$，代入$y=x+b$得$0=-3+b$，则$b=3$，直线方程为$y=x+3$。
2. 联立直线与双曲线方程：$\begin{cases}y=x+3\\y=\frac{k}{x}\end{cases}$，消去$y$得$x^2 + 3x - k = 0$。设两根为$x_1$（$M$横坐标）、$x_2$（$N$横坐标），且$x_1 ＜ x_2 ＜ 0$（因$k＜0$，交点在第二象限）。
3. 由韦达定理：$x_1 + x_2 = -3$，$x_1x_2 = -k$。
4. 适配比$\frac{PN}{PM}=\frac{x_2 + 3}{x_1 + 3}$（$x_1 + 3 ＞ 0$，$x_2 + 3 ＞ 0$），设$t = \frac{PN}{PM}$，则$1 ＜ t ≤ 2$。
5. 令$a = x_1 + 3$，$b = x_2 + 3$，则$a + b = 3$，$b = ta$，解得$a = \frac{3}{1 + t}$，$b = \frac{3t}{1 + t}$。
6. 由$x_1x_2 = (a - 3)(b - 3) = -k$，得$ab = -k$，即$\frac{9t}{(1 + t)^2} = -k$，$k = -\frac{9t}{(1 + t)^2}$。
7. 当$t \in (1, 2]$时，$k$随$t$增大而增大，得$-\frac{9}{4} ＜ k ≤ -2$。