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9. (★★) 求下列各式中 $ x $ 的值：
(1) $ x^{2}=36 $；
(2) $ x^{2}-81=0 $；
(3) $ 16x^{2}=49 $；
(4) $ (x - 1)^{2}-0.64=0 $.
(1) $ x^{2}=36 $；
(2) $ x^{2}-81=0 $；
(3) $ 16x^{2}=49 $；
(4) $ (x - 1)^{2}-0.64=0 $.
答案
(1)
由$x^{2}=36$，根据平方根的定义，若$x^{2}=a(a≥0)$，则$x=\pm\sqrt{a}$，
所以$x = \pm\sqrt{36}=\pm 6$。
(2)
由$x^{2}-81 = 0$，移项可得$x^{2}=81$，
根据平方根的定义，$x=\pm\sqrt{81}=\pm 9$。
(3)
由$16x^{2}=49$，两边同时除以$16$得$x^{2}=\frac{49}{16}$，
根据平方根的定义，$x=\pm\sqrt{\frac{49}{16}}=\pm\frac{7}{4}$。
(4)
由$(x - 1)^{2}-0.64 = 0$，移项可得$(x - 1)^{2}=0.64$，
根据平方根的定义，$x - 1=\pm\sqrt{0.64}=\pm 0.8$，
当$x - 1 = 0.8$时，$x=1 + 0.8=1.8$；
当$x - 1=-0.8$时，$x=1-0.8 = 0.2$。
所以$x=1.8$或$x = 0.2$。
由$x^{2}=36$，根据平方根的定义，若$x^{2}=a(a≥0)$，则$x=\pm\sqrt{a}$，
所以$x = \pm\sqrt{36}=\pm 6$。
(2)
由$x^{2}-81 = 0$，移项可得$x^{2}=81$，
根据平方根的定义，$x=\pm\sqrt{81}=\pm 9$。
(3)
由$16x^{2}=49$，两边同时除以$16$得$x^{2}=\frac{49}{16}$，
根据平方根的定义，$x=\pm\sqrt{\frac{49}{16}}=\pm\frac{7}{4}$。
(4)
由$(x - 1)^{2}-0.64 = 0$，移项可得$(x - 1)^{2}=0.64$，
根据平方根的定义，$x - 1=\pm\sqrt{0.64}=\pm 0.8$，
当$x - 1 = 0.8$时，$x=1 + 0.8=1.8$；
当$x - 1=-0.8$时，$x=1-0.8 = 0.2$。
所以$x=1.8$或$x = 0.2$。
10. (★) 下列各数没有平方根的是【 】
A.$-4^{2}$
B.$(-4)^{2}$
C.$(-1)^{2}$
D.$\sqrt{(-2)^{2}}$
A.$-4^{2}$
B.$(-4)^{2}$
C.$(-1)^{2}$
D.$\sqrt{(-2)^{2}}$
答案
A
解析
负数没有平方根，因此需要判断各选项的值是否为负数。
A. $ -4^2 = -16 $，是负数，没有平方根。
B. $ (-4)^2 = 16 $，是正数，有平方根。
C. $ (-1)^2 = 1 $，是正数，有平方根。
D. $ \sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2 $，是正数，有平方根。
A. $ -4^2 = -16 $，是负数，没有平方根。
B. $ (-4)^2 = 16 $，是正数，有平方根。
C. $ (-1)^2 = 1 $，是正数，有平方根。
D. $ \sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2 $，是正数，有平方根。
11. (★) 7 的平方根记为【 】
A.$\sqrt{7}$
B.±7
C.±$\sqrt{7}$
D.-$\sqrt{7}$
A.$\sqrt{7}$
B.±7
C.±$\sqrt{7}$
D.-$\sqrt{7}$
答案
C
解析
根据平方根的定义，若一个数$x$的平方等于$a$，即$x^2 = a$，那么这个数$x$叫做$a$的平方根。
因为$(\pm\sqrt{7})^2 = 7$，所以$7$的平方根是$\pm\sqrt{7}$。
因为$(\pm\sqrt{7})^2 = 7$，所以$7$的平方根是$\pm\sqrt{7}$。
12. (★) 有下列说法：① 0.25 的平方根是 0.5；② 只有正数才有平方根；③ $(-\frac{2}{5})^{2}$ 的平方根是 ±$\frac{2}{5}$；④ -7 是 -49 的一个平方根. 其中正确的有【 】
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
A
解析
①$ 0.25$的平方根是$\pm0.5$，而不是$0.5$，所以①错误。
②$0$的平方根是$0$，所以②错误。
③$(-\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$， $\frac{4}{25}$的平方根是$\pm\frac{2}{5}$，所以③正确。
④负数没有平方根，所以④错误。
只有③正确，所以正确的有$1$个。
②$0$的平方根是$0$，所以②错误。
③$(-\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$， $\frac{4}{25}$的平方根是$\pm\frac{2}{5}$，所以③正确。
④负数没有平方根，所以④错误。
只有③正确，所以正确的有$1$个。
13. (★) 如果一个正数的平方根是 $ m $，$ n $，那么 $ 3m + 3n - 5 = $ .
答案
因为一个正数的平方根是$m$，$n$，根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，所以$m + n = 0$。
则$3m + 3n - 5 = 3(m + n) - 5 = 3×0 - 5 = -5$。
-5
则$3m + 3n - 5 = 3(m + n) - 5 = 3×0 - 5 = -5$。
-5
14. (★★) 如果 $\sqrt{a}$ 的平方根为 ±3，那么 $ a = $ .
答案
因为$\sqrt{a}$的平方根为$\pm3$，所以$\sqrt{a}=(\pm3)^2=9$，则$a=9^2=81$。
81
81
15. (★★) 若一个正数 $ x $ 的两个平方根是 $ a + 1 $ 和 $ a - 3 $，则 $ x = $ .
答案
由题意，一个正数$x$的两个平方根是$a + 1$和$a - 3$，
根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，即：
$a + 1 + a - 3 = 0$
$2a - 2 = 0$
$a = 1$
将$a = 1$代入$a + 1$，得到其中一个平方根为$2$，
因此，正数$x$为该平方根的平方，即：
$x = 2^2 = 4$
故答案为：$4$。
根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，即：
$a + 1 + a - 3 = 0$
$2a - 2 = 0$
$a = 1$
将$a = 1$代入$a + 1$，得到其中一个平方根为$2$，
因此，正数$x$为该平方根的平方，即：
$x = 2^2 = 4$
故答案为：$4$。
16. (★★) 下列各数有平方根吗？如果有，请分别求出它们的平方根；如果没有，请说明理由.
(1) 0.49；
(2) -64；
(3) 0；
(4) $(-0.1)^{2}$.
(1) 0.49；
(2) -64；
(3) 0；
(4) $(-0.1)^{2}$.
答案
(1) 有平方根。因为$(±0.7)^2 = 0.49$，所以0.49的平方根是$±0.7$。
(2) 没有平方根。因为负数没有平方根，-64是负数。
(3) 有平方根。因为$0^2 = 0$，所以0的平方根是0。
(4) 有平方根。$(-0.1)^2 = 0.01$，因为$(±0.1)^2 = 0.01$，所以$(-0.1)^2$的平方根是$±0.1$。
(2) 没有平方根。因为负数没有平方根，-64是负数。
(3) 有平方根。因为$0^2 = 0$，所以0的平方根是0。
(4) 有平方根。$(-0.1)^2 = 0.01$，因为$(±0.1)^2 = 0.01$，所以$(-0.1)^2$的平方根是$±0.1$。
17. (★★) 求下列各式中 $ x $ 的值：
(1) $ x^{2}-49=0 $；
(2) $ 2x^{2}=32 $；
(3) $ (x - 1)^{2}-9=0 $.
(1) $ x^{2}-49=0 $；
(2) $ 2x^{2}=32 $；
(3) $ (x - 1)^{2}-9=0 $.
答案
17.(1)
由$x^{2}-49 = 0$，移项可得$x^{2}=49$。
根据平方根的定义，若$x^{2}=a(a≥0)$，则$x=\pm\sqrt{a}$，所以$x = \pm\sqrt{49}=\pm7$。
(2)
由$2x^{2}=32$，两边同时除以$2$，得到$x^{2}=16$。
根据平方根的定义，$x=\pm\sqrt{16}=\pm4$。
(3)
由$(x - 1)^{2}-9 = 0$，移项可得$(x - 1)^{2}=9$。
根据平方根的定义，$x - 1=\pm\sqrt{9}=\pm3$。
当$x - 1 = 3$时，$x=4$；当$x - 1=-3$时，$x=-2$。
综上，答案依次为：(1)$x=\pm7$；(2)$x=\pm4$；(3)$x = 4$或$x=-2$。
由$x^{2}-49 = 0$，移项可得$x^{2}=49$。
根据平方根的定义，若$x^{2}=a(a≥0)$，则$x=\pm\sqrt{a}$，所以$x = \pm\sqrt{49}=\pm7$。
(2)
由$2x^{2}=32$，两边同时除以$2$，得到$x^{2}=16$。
根据平方根的定义，$x=\pm\sqrt{16}=\pm4$。
(3)
由$(x - 1)^{2}-9 = 0$，移项可得$(x - 1)^{2}=9$。
根据平方根的定义，$x - 1=\pm\sqrt{9}=\pm3$。
当$x - 1 = 3$时，$x=4$；当$x - 1=-3$时，$x=-2$。
综上，答案依次为：(1)$x=\pm7$；(2)$x=\pm4$；(3)$x = 4$或$x=-2$。
18. (★★) 若 $ m $，$ n $ 满足 $\sqrt{m - 1} + |n + 15| = 0$，则 $\sqrt{m - n}$ 的平方根是 .
答案
根据题意，有$\sqrt{m - 1} + |n + 15| = 0$。
由于$\sqrt{m - 1}$和$|n + 15|$都是非负数，且它们的和为0，那么它们各自必须为0。
因此，得到以下两个方程：
$\sqrt{m - 1} = 0$，
$|n + 15| = 0$。
从第一个方程，得到$m - 1 = 0$，解得$m = 1$。
从第二个方程，得到$n + 15 = 0$，解得$n = -15$。
将$m$和$n$的值代入$\sqrt{m - n}$，得到：
$\sqrt{m - n} = \sqrt{1 - (-15)} = \sqrt{16} = 4$。
最后，求$\sqrt{m - n}$的平方根，即$\pm \sqrt{4} = \pm 2$。
故答案为：$\pm 2$。
由于$\sqrt{m - 1}$和$|n + 15|$都是非负数，且它们的和为0，那么它们各自必须为0。
因此，得到以下两个方程：
$\sqrt{m - 1} = 0$，
$|n + 15| = 0$。
从第一个方程，得到$m - 1 = 0$，解得$m = 1$。
从第二个方程，得到$n + 15 = 0$，解得$n = -15$。
将$m$和$n$的值代入$\sqrt{m - n}$，得到：
$\sqrt{m - n} = \sqrt{1 - (-15)} = \sqrt{16} = 4$。
最后，求$\sqrt{m - n}$的平方根，即$\pm \sqrt{4} = \pm 2$。
故答案为：$\pm 2$。
19. (★★) 已知正数 $ x $ 的平方根为 $ a $ 和 $ a + b $.
(1) 当 $ b = 6 $ 时，$ x $ 的值为 ；
(2) 若 $ a^{2}x + (a + b)^{2}x = 8 $，求 $ x $ 的值.
第 2 课时
(1) 当 $ b = 6 $ 时，$ x $ 的值为 ；
(2) 若 $ a^{2}x + (a + b)^{2}x = 8 $，求 $ x $ 的值.
第 2 课时
答案
(1)
因为正数$x$的平方根为$a$和$a + b$，所以$a+(a + b)=0$。
当$b = 6$时，$2a+6 = 0$，解得$a=-3$。
那么$x=a^{2}=(-3)^{2}=9$。
(2)
因为正数$x$的平方根为$a$和$a + b$，所以$x = a^{2}=(a + b)^{2}$。
已知$a^{2}x+(a + b)^{2}x = 8$，将$x = a^{2}=(a + b)^{2}$代入可得：
$x· x+x· x = 8$，即$2x^{2}=8$，$x^{2}=4$。
因为$x$是正数，所以$x = 2$。
因为正数$x$的平方根为$a$和$a + b$，所以$a+(a + b)=0$。
当$b = 6$时，$2a+6 = 0$，解得$a=-3$。
那么$x=a^{2}=(-3)^{2}=9$。
(2)
因为正数$x$的平方根为$a$和$a + b$，所以$x = a^{2}=(a + b)^{2}$。
已知$a^{2}x+(a + b)^{2}x = 8$，将$x = a^{2}=(a + b)^{2}$代入可得：
$x· x+x· x = 8$，即$2x^{2}=8$，$x^{2}=4$。
因为$x$是正数，所以$x = 2$。
