三、解答题（共69分）
18. （8分）如图，延长$□ ABCD$的边$AD$到$F$，使$DF=DC$，延长$CB$到点$E$，使$BE=BA$，分别连接$AE$和$CF$。
求证：$AE=CF$。

18. 证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD = BC$，$AB = CD$，$AD // BC$，
∴$AF // EC$.
∵$DF = DC$，$BE = BA$，
∴$BE = DF$，
∴$BE + BC = DF + AD$，
∴$AF = EC$，
∴四边形$AECF$是平行四边形，
∴$AE = CF$.

19. （8分）如图，点$C$是$AB$的中点，$AD=CE$，$CD=BE$。
（1）求证：$△ ADC≌△ CEB$；
（2）连接$DE$，求证：四边形$CBED$是平行四边形。

19. 证明：(1)
∵点$C$是$AB$的中点，
∴$AC = BC$，
∵$AD = CE$，$CD = BE$，
∴$△ ADC ≌ △ CEB (SSS)$.
(2)如图，
∵$△ ADC ≌ △ CEB$，
∴$∠ ACD = ∠ CBE$，
∴$CD // BE$，
又
∵$CD = BE$，
∴四边形$CBED$是平行四边形.

20. （9分）如图，在四边形$ABCD$中，$AB// CD$，点$E$，$F$在对角线$AC$上，且$∠ ABF=∠ CDE$，$AE=CF$。
（1）求证：$△ ABF≌△ CDE$。
（2）当四边形$ABCD$满足什么条件时，四边形$BFDE$是菱形？为什么？

20. (1)证明：
∵$AB // CD$，
∴$∠ BAC = ∠ DCA$.
∵$AE = CF$，
∴$AE + EF = CF + EF$，即$AF = CE$.
在$△ ABF$和$△ CDE$中，$∠ BAF = ∠ DCE$，$∠ ABF = ∠ CDE$，$AF = CE$，
∴$△ ABF ≌ △ CDE (AAS)$.
(2)解：当四边形$ABCD$满足$AB = AD$时，四边形$BFDE$是菱形. 理由如下：连接$BD$交$AC$于点$O$，如图.
由(1)得$△ ABF ≌ △ CDE$，
∴$AB = CD$，$BF = DE$，$∠ AFB = ∠ CED$，
∴$BF // DE$，
∴四边形$BFDE$是平行四边形.
∵$AB // CD$，$AB = CD$，
∴四边形$ABCD$是平行四边形. 又
∵$AB = AD$，
∴平行四边形$ABCD$是菱形，
∴$BD ⊥ AC$，
∴四边形$BFDE$是菱形.

21. （10分）如图，在矩形$ABCD$中，$M$，$N$分别是边$AD$，$BC$的中点，$E$，$F$分别是线段$BM$，$CM$的中点。
（1）求证：$△ ABM≌△ DCM$；
（2）判断四边形$MENF$是什么特殊四边形，并证明你的结论。

21. (1)证明：
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$∠ A = ∠ D = 90°$，$AB = DC$，
∵$M$是$AD$的中点，
∴$AM = DM$，
∴$△ ABM ≌ △ DCM (SAS)$.
(2)解：四边形$MENF$是菱形.
证明：由(1)知$△ ABM ≌ △ DCM$，
∴$BM = CM$.
∵$E$，$F$分别是线段$BM$，$CM$的中点，
∴$ME = BE = \dfrac{1}{2}BM$，$MF = CF = \dfrac{1}{2}CM$，
∴$ME = MF$.
∵$N$是$BC$的中点，
∴$EN$，$FN$均是$△ BCM$的中位线，
∴$EN = \dfrac{1}{2}CM$，$FN = \dfrac{1}{2}BM$，
∴$EN = FN = ME = MF$，
∴四边形$MENF$是菱形.