22. (10分)某位现代数学家非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形(阴影部分)面积相等(如图)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证。
请根据下图完成这个推论的证明过程。
证明：$S_{矩形NFGD}=S_{△ ADC}-(S_{△ ANF}+S_{△ FGC})$，
$S_{矩形EBMF}=S_{△ ABC}-(\_\_\_\_\_\_+\_\_\_\_\_\_)$。
易知，$S_{△ ADC}=S_{△ ABC}$，$=\_\_\_\_\_\_=$。
可得$S_{矩形NFGD}=S_{矩形EBMF}$。

22. 证明：$S_{矩形NFGD} = S_{△ ADC} - (S_{△ ANF} + S_{△ FGC})$，$S_{矩形EBMF} = S_{△ ABC} - (S_{△ AEF} + S_{△ FMC})$.
易知，$S_{△ ADC} = S_{△ ABC}$，$S_{△ ANF} = S_{△ AEF}$，$S_{△ FGC} = S_{△ FMC}$，可得$S_{矩形NFGD} = S_{矩形EBMF}$. 故答案为$S_{△ AEF}$，$S_{△ FMC}$，$S_{△ ANF}$，$S_{△ AEF}$，$S_{△ FGC}$，$S_{△ FMC}$.

23. （12分）如图，在矩形$ABCD$中，$∠ ABD$，$∠ CDB$的平分线$BE$，$DF$分别交边$AD$，$BC$于点$E$，$F$。
（1）求证：四边形$BEDF$是平行四边形。
（2）当$∠ ABE$为多少度时，四边形$BEDF$是菱形？请说明理由。

23. (1)证明：
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AB // DC$，$AD // BC$，
∴$∠ ABD = ∠ CDB$.
∵$BE$平分$∠ ABD$，$DF$平分$∠ BDC$，
∴$∠ EBD = \dfrac{1}{2} ∠ ABD$，$∠ FDB = \dfrac{1}{2} ∠ BDC$，
∴$∠ EBD = ∠ FDB$，
∴$BE // DF$. 又
∵$AD // BC$，
∴四边形$BEDF$是平行四边形.
(2)解：当$∠ ABE = 30°$时，四边形$BEDF$是菱形. 理由如下：
∵$BE$平分$∠ ABD$，
∴$∠ ABD = 2 ∠ ABE = 60°$，$∠ EBD = ∠ ABE = 30°$，
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$∠ A = 90°$，
∴$∠ EDB = 90° - ∠ ABD = 30°$，
∴$∠ EDB = ∠ EBD = 30°$，
∴$EB = ED$，又
∵四边形$BEDF$是平行四边形，
∴四边形$BEDF$是菱形.

24. （12分）如图，$E$是正方形$ABCD$的对角线$BD$上的点，连接$AE$，$CE$。
（1）求证：$AE=CE$。
（2）若将$△ ABE$沿$AB$翻折后得到$△ ABF$，当点$E$在$BD$的何处时，四边形$AFBE$是正方形？请证明你的结论。

24. (1)证明：
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AB = CB$，$∠ BAD = ∠ ABC = 90°$，$∠ ABE = ∠ CBE = 45°$，
∴$△ ABE ≌ △ CBE (SAS)$，
∴$AE = CE$.
(2)解：点$E$在$BD$的中点时，四边形$AFBE$是正方形.
证明：由折叠的性质，得$∠ F = ∠ AEB$，$AF = AE$，$BF = BE$，
∵$∠ BAD = 90°$，$E$是$BD$的中点，
∴$AE = \dfrac{1}{2}BD = BE = DE$，
∵$AE = CE$，
∴$AE = BE = CE = DE = AF = BF$，
∴四边形$AFBE$是菱形，$E$是正方形$ABCD$对角线的交点，
∴$AE ⊥ BD$，
∴$∠ AEB = 90°$，
∴四边形$AFBE$是正方形.