例 1 (1)从四边形的一个顶点出发，可以画 1 条对角线，它把四边形分成了个三角形；四边形共有条对角线.
(2)从五边形的一个顶点出发，可以画条对角线，它把五边形分成了个三角形；五边形共有条对角线.
(3)猜想：从 n 边形(n≥4)的一个顶点出发可以画条对角线，它们把 n 边形分成了个三角形；n 边形共有条对角线.

(1)
从四边形的一个顶点出发，因不能向自身和相邻两个顶点连线，所以可以画$4 - 3= 1$条对角线；
它把四边形分成了$2$个三角形；
每个顶点有$4 - 3 = 1$条对角线，$n=\frac{4×1}{2}=2$条（每条对角线重复计算一次），所以四边形共有$2$条对角线。
(2)
从五边形的一个顶点出发，不能向自身和相邻两个顶点连线，所以可以画$5 - 3 = 2$条对角线；
它把五边形分成了$3$个三角形；
每个顶点有$5 - 3 = 2$条对角线，$n=\frac{5×2}{2}=5$条（每条对角线重复计算一次），所以五边形共有$5$条对角线。
(3)
从$n$边形$(n≥4)$的一个顶点出发，不能向自身和相邻两个顶点连线，所以可以画$(n - 3)$条对角线；
它们把$n$边形分成了$(n - 2)$个三角形；
每个顶点有$(n - 3)$条对角线，$n=\frac{n(n - 3)}{2}$条（每条对角线重复计算一次），所以$n$边形共有$\frac{n(n - 3)}{2}$条对角线。
故答案依次为：(1)$2$；$2$；(2)$2$；$3$；$5$；(3)$(n - 3)$；$(n - 2)$；$\frac{n(n - 3)}{2}$。

变式训练 下列命题中正确的是()
A.各角都相等的多边形为正多边形
B.各边都相等的多边形为正多边形
C.经过 n 边形(n≥4)的一个顶点可作(n - 3)条对角线
D.各角都相等或各边都相等的多边形为正多边形

C

A. 各角都相等的多边形不一定是正多边形，例如矩形各角相等，但边不一定相等，所以A选项错误；
B. 各边都相等的多边形不一定是正多边形，例如菱形各边相等，但角不一定相等，所以B选项错误；
C. 对于$n$边形，从一个顶点出发，与其相邻的顶点有$2$个（即前一个和后一个），再加上自身，总共有$3$个顶点不能形成对角线，
因此可以形成的对角线数量为$n - 3$，所以C选项正确；
D. 各角都相等或各边都相等的多边形不一定是正多边形，需要同时满足各角相等和各边相等才是正多边形，所以D选项错误。

例 2 两个多边形的边数之比是 1:2，内角和度数的和为 1440°，求这两个多边形的边数.

设这两个多边形的边数分别为$n$和$2n$。
根据多边形内角和公式：$(k - 2)×180°$（其中$k$为多边形边数），可得：
$(n - 2)×180° + (2n - 2)×180° = 1440°$
化简得：
$(n - 2 + 2n - 2)×180° = 1440°$
$(3n - 4)×180° = 1440°$
$3n - 4 = 1440°÷180°$
$3n - 4 = 8$
$3n = 12$
$n = 4$
则$2n = 8$
答：这两个多边形的边数分别为4和8。

变式训练 如图，一个多边形纸片的内角和为 1620°，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为()
A.12
B.11
C.10
D.9

A

设原多边形边数为n，由多边形内角和公式得(n-2)×180°=1620°，解得n=11。图示剪法为从多边形一个顶点出发剪去一个内角，新多边形边数比原多边形多1，故新多边形边数为12。

例 3 一个多边形的内角和比它的外角和的 6 倍多 180°，求这个多边形的边数.

设这个多边形的边数为$n$。
根据多边形内角和公式，内角和为$(n - 2)×180°$，多边形外角和为$360°$。
由题意可得方程：$(n - 2)×180° = 6×360° + 180°$
化简方程：$(n - 2)×180° = 2160° + 180°$
$(n - 2)×180° = 2340°$
两边同时除以$180°$：$n - 2 = 13$
解得：$n = 15$
答：这个多边形的边数为$15$。

变式训练 如图，小明从正八边形(各边相等，各内角也相等)草地的一边 AB 上一点 S 出发，步行一周回到原地. 在步行的过程中，小明转过的角度的和是()

A.0°
B.45°
C.180°
D.360°

D

小明在正八边形草地中绕行一周，由于每次转到一条新边时，他的身体相对于前一条边都会转过一个外角。正八边形有8条边，因此小明绕行一周转过的角度之和就是该正八边形的外角和。根据多边形的外角和定理，任意多边形的外角和为$360°$。

1. 过正多边形的一个顶点处有 15 条对角线，则该正多边形的边数是()

A.15
B.16
C.17
D.18

D

正$n$边形从一个顶点出发能引出$(n - 3)$条对角线，已知过正多边形一个顶点有$15$条对角线，则可得方程$n - 3 = 15$，解得$n=18$。

2. C₆₀是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它最初发现于天文学领域，由英国、美国科学家探明和勾画出其碳分子结构，它的发现使人类了解到一个全新的碳世界. 如图是 C₆₀的分子结构图，它具有 60 个顶点和 32 个面，其中 12 个为正五边形，20 个为正六边形，其中正六边形的每一个内角的度数是()


A.60°
B.72°
C.108°
D.120°

D

正六边形的内角和为$(6-2)×180^{\circ}=720^{\circ}$，每个内角的度数为$720^{\circ}÷6=120^{\circ}$。