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5. 我们知道，四边形内角和为 $360^{\circ}$，若某个四边形有一组对角互补，则另一组对角也必然互补. 因此，我们把有一组对角满足互补关系的四边形称为“双补四边形”. 例如：在四边形 $PQRS$ 中，若 $∠ P + ∠ R = 180^{\circ}$(或 $∠ Q + ∠ S = 180^{\circ}$)，则称四边形 $PQRS$ 为“双补四边形”。
(1)已知四边形 $EFGH$ 是“双补四边形”。①若 $∠ E:∠ F:∠ G = 7:4:2$，则 $∠ H =$；②如图 1，若 $∠ F = 90^{\circ}$，$FG = 8$，$GH = \sqrt{93}$，$EH = \sqrt{7}$，则 $EF =$。
(2)如图 2，在四边形 $EFGH$ 中，$FH$ 平分 $∠ EFG$，$EH = GH$。求证：四边形 $EFGH$ 是“双补四边形”。
(3)如图 3，四边形 $EFGH$ 是“双补四边形”，$EF = FG$，点 $M$，$N$ 分别在边 $EH$，$GH$ 上，且满足 $EM + GN = MN$。试探究 $∠ MFN$ 和 $∠ H$ 之间满足的数量关系，并证明你的结论。
(1)已知四边形 $EFGH$ 是“双补四边形”。①若 $∠ E:∠ F:∠ G = 7:4:2$，则 $∠ H =$；②如图 1，若 $∠ F = 90^{\circ}$，$FG = 8$，$GH = \sqrt{93}$，$EH = \sqrt{7}$，则 $EF =$。
(2)如图 2，在四边形 $EFGH$ 中，$FH$ 平分 $∠ EFG$，$EH = GH$。求证：四边形 $EFGH$ 是“双补四边形”。
(3)如图 3，四边形 $EFGH$ 是“双补四边形”，$EF = FG$，点 $M$，$N$ 分别在边 $EH$，$GH$ 上，且满足 $EM + GN = MN$。试探究 $∠ MFN$ 和 $∠ H$ 之间满足的数量关系，并证明你的结论。
答案
(1)①100
②6
(2)证明：在FG上截取FM=FE，连接HM。
∵FH平分∠EFG，∴∠EFH=∠MFH。
在△EFH和△MFH中，
$\{\begin{array}{l} FE=FM \\ ∠EFH=∠MFH \\ FH=FH \end{array} $
∴△EFH≌△MFH(SAS)。
∴EH=MH，∠E=∠FMH。
∵EH=GH，∴MH=GH。
∴∠GMH=∠G。
∵∠FMH+∠GMH=180°，∴∠E+∠G=180°。
∴四边形EFGH是“双补四边形”。
(3)∠MFN=90°-$\frac{1}{2}$∠H。
证明：延长GN至M'，使GM'=EM，连接FM'。
∵四边形EFGH是“双补四边形”，∴∠E+∠FGH=180°。
∵∠FGH+∠FGM'=180°，∴∠E=∠FGM'。
在△EFM和△GFM'中，
$\{\begin{array}{l} EF=FG \\ ∠E=∠FGM' \\ EM=GM' \end{array} $
∴△EFM≌△GFM'(SAS)。
∴FM=FM'，∠EFM=∠GFM'。
∵EM+GN=MN，GM'=EM，∴M'N=MN。
在△FMN和△FM'N中，
$\{\begin{array}{l} FM=FM' \\ MN=M'N \\ FN=FN \end{array} $
∴△FMN≌△FM'N(SSS)。
∴∠MFN=∠M'FN。
∵∠EFG=∠EFM+∠MFN+∠NFG=∠GFM'+∠MFN+∠NFG=∠MFN+∠M'FN=2∠MFN。
∵四边形EFGH是“双补四边形”，∠E+∠FGH=180°，
∴∠EFG+∠H=360°-(∠E+∠FGH)=180°。
∴2∠MFN=180°-∠H，即∠MFN=90°-$\frac{1}{2}$∠H。
②6
(2)证明：在FG上截取FM=FE，连接HM。
∵FH平分∠EFG，∴∠EFH=∠MFH。
在△EFH和△MFH中，
$\{\begin{array}{l} FE=FM \\ ∠EFH=∠MFH \\ FH=FH \end{array} $
∴△EFH≌△MFH(SAS)。
∴EH=MH，∠E=∠FMH。
∵EH=GH，∴MH=GH。
∴∠GMH=∠G。
∵∠FMH+∠GMH=180°，∴∠E+∠G=180°。
∴四边形EFGH是“双补四边形”。
(3)∠MFN=90°-$\frac{1}{2}$∠H。
证明：延长GN至M'，使GM'=EM，连接FM'。
∵四边形EFGH是“双补四边形”，∴∠E+∠FGH=180°。
∵∠FGH+∠FGM'=180°，∴∠E=∠FGM'。
在△EFM和△GFM'中，
$\{\begin{array}{l} EF=FG \\ ∠E=∠FGM' \\ EM=GM' \end{array} $
∴△EFM≌△GFM'(SAS)。
∴FM=FM'，∠EFM=∠GFM'。
∵EM+GN=MN，GM'=EM，∴M'N=MN。
在△FMN和△FM'N中，
$\{\begin{array}{l} FM=FM' \\ MN=M'N \\ FN=FN \end{array} $
∴△FMN≌△FM'N(SSS)。
∴∠MFN=∠M'FN。
∵∠EFG=∠EFM+∠MFN+∠NFG=∠GFM'+∠MFN+∠NFG=∠MFN+∠M'FN=2∠MFN。
∵四边形EFGH是“双补四边形”，∠E+∠FGH=180°，
∴∠EFG+∠H=360°-(∠E+∠FGH)=180°。
∴2∠MFN=180°-∠H，即∠MFN=90°-$\frac{1}{2}$∠H。
1. 连接多边形的两个顶点的线段叫作多边形的对角线.
答案
不相邻
解析
根据多边形对角线的定义，连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线。
2. 都相等，都相等的多边形叫作正多边形.
答案
各边；各角
解析
根据正多边形的定义，各边都相等，各角都相等的多边形叫作正多边形。
3. 多边形内角和公式：n 边形的内角和等于.
答案
（n - 2）×180°（或$(n - 2)·180^{\circ}$ ） （由于题目是填空形式，这里按特殊格式给出，若按照只填序号类比，可理解为此为规定答案形式）
解析
对于n边形，可以从其中一个顶点出发，画出（n - 3）条对角线，将n边形分割成（n - 2）个三角形，而每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和等于（n - 2）×180°。
4. 多边形的外角和等于.
答案
360°
解析
多边形的外角和定理：任意多边形的外角和都为360°。
证明思路：可以转化为考虑多边形每个顶点处的一个外角，将这些外角相加，通过几何推理得出总和为360°。
根据该定理，直接得出多边形的外角和等于360°。
证明思路：可以转化为考虑多边形每个顶点处的一个外角，将这些外角相加，通过几何推理得出总和为360°。
根据该定理，直接得出多边形的外角和等于360°。
思考
(1)从 n 边形的一个顶点出发可以画多少条对角线？它们把 n 边形分成了多少个三角形？n 边形共有多少条对角线？
(2)如何推出多边形内角和公式？
(3)如何推出多边形外角和公式？它与内角和公式有何区别？
填空
(1)从 n 边形的一个顶点出发可作 2024 条对角线，则 n =.
(2)十二边形的内角和是.
(3)已知一个正多边形的每个外角都等于 40°，则这个正多边形是边形.
(1)从 n 边形的一个顶点出发可以画多少条对角线？它们把 n 边形分成了多少个三角形？n 边形共有多少条对角线？
(2)如何推出多边形内角和公式？
(3)如何推出多边形外角和公式？它与内角和公式有何区别？
填空
(1)从 n 边形的一个顶点出发可作 2024 条对角线，则 n =.
(2)十二边形的内角和是.
(3)已知一个正多边形的每个外角都等于 40°，则这个正多边形是边形.
答案
2027；1800°；九
解析
(1)从n边形一个顶点出发可画(n-3)条对角线，分成(n-2)个三角形，共有n(n-3)/2条对角线；(2)将n边形分割为(n-2)个三角形，内角和为(n-2)×180°；(3)多边形外角和为360°，与边数无关，内角和与边数有关。
填空(1)：n-3=2024，n=2027；(2)(12-2)×180°=1800°；(3)360°÷40°=9。
填空(1)：n-3=2024，n=2027；(2)(12-2)×180°=1800°；(3)360°÷40°=9。
