19. 提升题 数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究：在 $ \mathrm{Rt}△ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90^{\circ} $，$ ∠ BAC = 30^{\circ} $，点 $ D $ 在直线 $ BC $ 上。将线段 $ AD $ 绕点 $ A $ 顺时针旋转 $ 60^{\circ} $ 得到线段 $ AE $，过点 $ E $ 作 $ EF // BC $，交直线 $ AB $ 于点 $ F $。
(1) 当点 $ D $ 在线段 $ BC $ 上时，如图①，求证：$ BD + EF = AB $。
分析问题：某同学在思考这道题时，想利用 $ AD = AE $ 构造全等三角形，便尝试着在 $ AB $ 上截取 $ AM = EF $，连接 $ DM $，如图①所示，通过证明两个三角形全等，最终证出结论。
请你写出证明过程。
(2) 当点 $ D $ 在线段 $ BC $ 的延长线上时，如图②。当点 $ D $ 在线段 $ CB $ 的延长线上时，如图③。请直接写出线段 $ BD $，$ EF $，$ AB $ 之间的数量关系。

(1) 证明：在$AB$上截取$AM=EF$，连接$DM$。
$\because EF// BC$，$∠ ABC=60°$，$\therefore ∠ AFE=∠ ABC=60°$。
$\because AD$绕点$A$顺时针旋转$60°$得$AE$，$\therefore AD=AE$，$∠ DAE=60°$。
设$∠ BAD=α$，则$∠ BAE=∠ BAC+∠ CAE=30°+(∠ DAE-∠ CAD)=30°+(60°-(30°-α))=60°+α$。
在$△ AEF$中，$∠ AEF=180°-∠ EAF-∠ AFE=180°-(60°+α)-60°=60°-α$。
$\because ∠ DAM=∠ BAD=α$，$AM=EF$，$AD=AE$，
$\therefore △ AEF≌△ DAM(SAS)$，$\therefore ∠ AMD=∠ AFE=60°$，$DM=AF$。
$\because ∠ ABC=60°$，$∠ AMD=60°$，$\therefore △ BDM$是等边三角形，$\therefore BD=BM$。
$\because AB=AM+BM$，$AM=EF$，$BM=BD$，$\therefore AB=EF+BD$，即$BD+EF=AB$。
(2) 图②：$EF-BD=AB$；图③：$BD-EF=AB$。