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1. 一个数与 $-4$ 的乘积等于 $1\dfrac{3}{5}$,这个数是( )
A.$\dfrac{2}{5}$
B.$-\dfrac{2}{5}$
C.$\dfrac{5}{2}$
D.$-\dfrac{5}{2}$
A.$\dfrac{2}{5}$
B.$-\dfrac{2}{5}$
C.$\dfrac{5}{2}$
D.$-\dfrac{5}{2}$
答案
B
解析
【分析】
这道题已知两个数的乘积和其中一个乘数，求另一个乘数，可利用乘法与除法的互逆关系求解。解题思路如下：第一步，明确数量关系：未知乘数=积÷已知乘数；第二步，先将带分数形式的积化为假分数，方便后续计算；第三步，根据有理数除法法则计算，注意运算过程中符号的判断，异号两数相除结果为负，最后约分得到结果即可。
【解析】
根据乘除互逆关系，所求的数为积除以已知乘数，列式为：
$1\dfrac{3}{5} ÷ (-4)$
先把带分数化为假分数：$1\dfrac{3}{5}=\dfrac{8}{5}$，因此原式转化为：
$\dfrac{8}{5} ÷ (-4)$
根据有理数除法法则：除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，可得：
$\dfrac{8}{5} × (-\dfrac{1}{4})$
先判断符号：异号两数相乘得负，再约分计算：
$-(\dfrac{8}{5} × \dfrac{1}{4})=-\dfrac{2}{5}$
【答案】
B
【知识点】
有理数除法运算、乘除互逆关系、带分数化简
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查有理数除法法则的应用，解题时要注意先统一数的形式（带分数化假分数），同时要格外注意运算结果的符号，避免因符号判断失误丢分。
【难度系数】
0.8
这道题已知两个数的乘积和其中一个乘数，求另一个乘数，可利用乘法与除法的互逆关系求解。解题思路如下：第一步，明确数量关系：未知乘数=积÷已知乘数；第二步，先将带分数形式的积化为假分数，方便后续计算；第三步，根据有理数除法法则计算，注意运算过程中符号的判断，异号两数相除结果为负，最后约分得到结果即可。
【解析】
根据乘除互逆关系，所求的数为积除以已知乘数，列式为：
$1\dfrac{3}{5} ÷ (-4)$
先把带分数化为假分数：$1\dfrac{3}{5}=\dfrac{8}{5}$，因此原式转化为：
$\dfrac{8}{5} ÷ (-4)$
根据有理数除法法则：除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，可得：
$\dfrac{8}{5} × (-\dfrac{1}{4})$
先判断符号：异号两数相乘得负，再约分计算：
$-(\dfrac{8}{5} × \dfrac{1}{4})=-\dfrac{2}{5}$
【答案】
B
【知识点】
有理数除法运算、乘除互逆关系、带分数化简
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查有理数除法法则的应用，解题时要注意先统一数的形式（带分数化假分数），同时要格外注意运算结果的符号，避免因符号判断失误丢分。
【难度系数】
0.8
2. $1 ÷ \left(-\dfrac{1}{7}\right) × (-7)$ 的值为( )
A.$1$
B.$-1$
C.$49$
D.$-49$
A.$1$
B.$-1$
C.$49$
D.$-49$
答案
C
解析
【分析】
本题是有理数的乘除混合运算，属于同级运算，解题思路如下：①首先明确运算顺序：同级运算需从左到右依次计算，不能随意颠倒顺序；②其次牢记有理数除法法则：除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，先把除法转化为乘法，方便统一计算；③最后计算时先确定结果的符号：几个不为0的数相乘，负因数的个数为偶数时，结果为正，负因数个数为奇数时结果为负，再计算绝对值的乘积即可得到最终结果。
【解析】
按照有理数乘除混合运算规则计算：
第一步，将除法转化为乘法：
原式$=1× (-7)× (-7)$
第二步，确定符号：式子中有2个负因数，个数为偶数，因此结果为正，再计算绝对值的乘积：
$1× 7× 7=49$
【答案】
C
【知识点】
有理数乘除混合运算、有理数除法法则、有理数乘法符号判定
【点评】
本题属于基础运算题，易错点是违反同级运算从左到右的顺序，错误先计算$(-\dfrac{1}{7})× (-7)$得到1，最终错选A，计算时要严格遵守运算顺序，将除法转为乘法后再计算更不容易出错。
【难度系数】
0.8
本题是有理数的乘除混合运算，属于同级运算，解题思路如下：①首先明确运算顺序：同级运算需从左到右依次计算，不能随意颠倒顺序；②其次牢记有理数除法法则：除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，先把除法转化为乘法，方便统一计算；③最后计算时先确定结果的符号：几个不为0的数相乘，负因数的个数为偶数时，结果为正，负因数个数为奇数时结果为负，再计算绝对值的乘积即可得到最终结果。
【解析】
按照有理数乘除混合运算规则计算：
第一步，将除法转化为乘法：
原式$=1× (-7)× (-7)$
第二步，确定符号：式子中有2个负因数，个数为偶数，因此结果为正，再计算绝对值的乘积：
$1× 7× 7=49$
【答案】
C
【知识点】
有理数乘除混合运算、有理数除法法则、有理数乘法符号判定
【点评】
本题属于基础运算题，易错点是违反同级运算从左到右的顺序，错误先计算$(-\dfrac{1}{7})× (-7)$得到1，最终错选A，计算时要严格遵守运算顺序，将除法转为乘法后再计算更不容易出错。
【难度系数】
0.8
3. 两个有理数的商是正数,那么这两个数一定( )
A.都是负数
B.都是正数
C.至少一个是正数
D.同号
A.都是负数
B.都是正数
C.至少一个是正数
D.同号
答案
D
解析
【分析】
解题时先回忆有理数除法的符号判定规则：两数相除，同号得正，异号得负。题目已知商为正数，说明两个数的符号符合“同号得正”的要求，接下来逐一分析选项，排除片面或错误的表述即可得到正确答案。
【解析】
根据有理数除法的符号法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负。
已知两个有理数的商是正数，说明这两个数符号相同，即要么都为正数，要么都为负数。
对各选项分析如下：
A. 都是负数：只是同号的其中一种情况，表述不全面，错误；
B. 都是正数：只是同号的其中一种情况，表述不全面，错误；
C. 至少一个是正数：当两个数都是负数时，商也是正数，此时没有正数，该表述错误；
D. 同号：包含同为正、同为负两种情况，符合法则要求，正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数除法法则
【点评】
本题考查有理数除法符号法则的应用，易错点是容易忽略同号包含同为正数和同为负数两种情况，误选片面的A或B选项，掌握基础法则的完整表述是解题关键。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆有理数除法的符号判定规则：两数相除，同号得正，异号得负。题目已知商为正数，说明两个数的符号符合“同号得正”的要求，接下来逐一分析选项，排除片面或错误的表述即可得到正确答案。
【解析】
根据有理数除法的符号法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负。
已知两个有理数的商是正数，说明这两个数符号相同，即要么都为正数，要么都为负数。
对各选项分析如下：
A. 都是负数：只是同号的其中一种情况，表述不全面，错误；
B. 都是正数：只是同号的其中一种情况，表述不全面，错误；
C. 至少一个是正数：当两个数都是负数时，商也是正数，此时没有正数，该表述错误；
D. 同号：包含同为正、同为负两种情况，符合法则要求，正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数除法法则
【点评】
本题考查有理数除法符号法则的应用，易错点是容易忽略同号包含同为正数和同为负数两种情况，误选片面的A或B选项，掌握基础法则的完整表述是解题关键。
【难度系数】
0.8
4. 已知 $|x| = 3$,$|y| = \dfrac{1}{5}$,且 $xy ＜ 0$,则 $\dfrac{x}{y} = $ ______。
答案
-15
解析
【分析】
解题时首先根据绝对值的性质确定x、y的所有可能取值，再结合条件$xy＜0$判断x和y为异号的关系，最后分情况代入计算$\dfrac{x}{y}$的值即可，也可以利用有理数除法的符号法则和绝对值的商直接求出结果。
【解析】
解：$\because |x|=3$，$\therefore x=3$或$x=-3$
$\because |y|=\dfrac{1}{5}$，$\therefore y=\dfrac{1}{5}$或$y=-\dfrac{1}{5}$
又$\because xy＜0$，说明x和y异号，分两种情况计算：
① 当$x=3$时，$y=-\dfrac{1}{5}$，此时$\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{-\dfrac{1}{5}}=3×(-5)=-15$
② 当$x=-3$时，$y=\dfrac{1}{5}$，此时$\dfrac{x}{y}=\dfrac{-3}{\dfrac{1}{5}}=-3×5=-15$
两种情况计算结果一致，可得$\dfrac{x}{y}=-15$
【答案】
$-15$
【知识点】
绝对值的性质；有理数除法；符号判断法则
【点评】
本题属于基础的有理数运算综合题，解题的核心是先根据绝对值得到未知数的可能取值，再根据乘积小于0判断两数异号，计算时注意遵循有理数除法的符号规则，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据绝对值的性质确定x、y的所有可能取值，再结合条件$xy＜0$判断x和y为异号的关系，最后分情况代入计算$\dfrac{x}{y}$的值即可，也可以利用有理数除法的符号法则和绝对值的商直接求出结果。
【解析】
解：$\because |x|=3$，$\therefore x=3$或$x=-3$
$\because |y|=\dfrac{1}{5}$，$\therefore y=\dfrac{1}{5}$或$y=-\dfrac{1}{5}$
又$\because xy＜0$，说明x和y异号，分两种情况计算：
① 当$x=3$时，$y=-\dfrac{1}{5}$，此时$\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{-\dfrac{1}{5}}=3×(-5)=-15$
② 当$x=-3$时，$y=\dfrac{1}{5}$，此时$\dfrac{x}{y}=\dfrac{-3}{\dfrac{1}{5}}=-3×5=-15$
两种情况计算结果一致，可得$\dfrac{x}{y}=-15$
【答案】
$-15$
【知识点】
绝对值的性质；有理数除法；符号判断法则
【点评】
本题属于基础的有理数运算综合题，解题的核心是先根据绝对值得到未知数的可能取值，再根据乘积小于0判断两数异号，计算时注意遵循有理数除法的符号规则，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
5. 计算：
(1) $18 ÷ (-3) = $ ______；
(2) $\left(-\dfrac{7}{6}\right) ÷ \left(-\dfrac{5}{6}\right) = $ ______；
(3) $1 ÷ (-8) = $ ______；
(4) $0 ÷ (-4) = $ ______。
(1) $18 ÷ (-3) = $ ______；
(2) $\left(-\dfrac{7}{6}\right) ÷ \left(-\dfrac{5}{6}\right) = $ ______；
(3) $1 ÷ (-8) = $ ______；
(4) $0 ÷ (-4) = $ ______。
答案
(1)-6
(2)$\frac{7}{5}$
(3)$-\frac{1}{8}$
(4)0
解析
【分析】
解决这组有理数除法计算题，核心要牢记有理数除法的运算规则：①符号判定：两数相除，同号得正，异号得负；②运算方法：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，再把绝对值相除；③特殊规则：0除以任何一个不等于0的数，都得0。逐个计算时，先判断结果的符号，再计算绝对值的结果即可。
【解析】
(1) 18与-3是异号两数相除，结果为负，再计算绝对值的商：$18÷3=6$，因此$18 ÷ (-3) = -6$；
(2) 两个负数相除，同号得正，再将除法转化为乘倒数计算：$(-\dfrac{7}{6}) ÷ (-\dfrac{5}{6})=\dfrac{7}{6}×\dfrac{6}{5}=\dfrac{7}{5}$；
(3) 1与-8是异号两数相除，结果为负，再计算绝对值的商：$1÷8=\dfrac{1}{8}$，因此$1 ÷ (-8) = -\dfrac{1}{8}$；
(4) 根据0的除法性质，0除以任意非0数都得0，因此$0 ÷ (-4) = 0$。
【答案】
(1)-6；(2)$\dfrac{7}{5}$；(3)$-\dfrac{1}{8}$；(4)0
【知识点】
有理数除法法则，倒数运算，0的除法规则
【点评】
本题是有理数除法的基础运算题，重点考察除法运算中的符号判断、除法转乘法的转化方法，以及0的特殊运算规则，计算时要先定符号再算绝对值，避免因符号判断失误失分。
【难度系数】
0.85
解决这组有理数除法计算题，核心要牢记有理数除法的运算规则：①符号判定：两数相除，同号得正，异号得负；②运算方法：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，再把绝对值相除；③特殊规则：0除以任何一个不等于0的数，都得0。逐个计算时，先判断结果的符号，再计算绝对值的结果即可。
【解析】
(1) 18与-3是异号两数相除，结果为负，再计算绝对值的商：$18÷3=6$，因此$18 ÷ (-3) = -6$；
(2) 两个负数相除，同号得正，再将除法转化为乘倒数计算：$(-\dfrac{7}{6}) ÷ (-\dfrac{5}{6})=\dfrac{7}{6}×\dfrac{6}{5}=\dfrac{7}{5}$；
(3) 1与-8是异号两数相除，结果为负，再计算绝对值的商：$1÷8=\dfrac{1}{8}$，因此$1 ÷ (-8) = -\dfrac{1}{8}$；
(4) 根据0的除法性质，0除以任意非0数都得0，因此$0 ÷ (-4) = 0$。
【答案】
(1)-6；(2)$\dfrac{7}{5}$；(3)$-\dfrac{1}{8}$；(4)0
【知识点】
有理数除法法则，倒数运算，0的除法规则
【点评】
本题是有理数除法的基础运算题，重点考察除法运算中的符号判断、除法转乘法的转化方法，以及0的特殊运算规则，计算时要先定符号再算绝对值，避免因符号判断失误失分。
【难度系数】
0.85
6. 小丽有 $5$ 张写着不同数字的卡片,请你按要求抽出卡片,完成下列各问题：
$\boxed{-3}$ $\boxed{-5}$ $\boxed{0}$ $\boxed{+3}$ $\boxed{+\dfrac{1}{4}}$
(1) 从中取出 $3$ 张卡片,如何抽取,才能使这 $3$ 张卡片上的数字先相乘再相除的结果最大？最大值是多少？
(2) 从中取出 $3$ 张卡片,如何抽取,才能使这 $3$ 张卡片上的数字先相除再相乘的结果最小？最小值是多少？
$\boxed{-3}$ $\boxed{-5}$ $\boxed{0}$ $\boxed{+3}$ $\boxed{+\dfrac{1}{4}}$
(1) 从中取出 $3$ 张卡片,如何抽取,才能使这 $3$ 张卡片上的数字先相乘再相除的结果最大？最大值是多少？
(2) 从中取出 $3$ 张卡片,如何抽取,才能使这 $3$ 张卡片上的数字先相除再相乘的结果最小？最小值是多少？
答案
解:
(1)抽取-3,-5,$+\frac{1}{4}$,最大值为$(-3)×(-5)÷\frac{1}{4}=60$.
(2)抽取+3,-5,$+\frac{1}{4}$,最小值为$(-5)÷\frac{1}{4}×3=-60$或$(+3)÷\left(+\frac{1}{4}\right)×(-5)=-60$.
(1)抽取-3,-5,$+\frac{1}{4}$,最大值为$(-3)×(-5)÷\frac{1}{4}=60$.
(2)抽取+3,-5,$+\frac{1}{4}$,最小值为$(-5)÷\frac{1}{4}×3=-60$或$(+3)÷\left(+\frac{1}{4}\right)×(-5)=-60$.
解析
【分析】
对于(1)，要使3个数字先乘再除的结果最大，根据有理数乘除“同号得正、异号得负”的规则，结果为正数时才能取到最大值：首先排除0（含0的乘除结果为0，不是最大值），要得到正数，可选2个负数+1个正数的组合（正数仅2个，凑不齐3个正数）；两个负数相乘得正，除以正数时除数越小结果越大，因此选绝对值最大的两个负数-3、-5，和最小的正数$+\frac{1}{4}$即可。
对于(2)，要使先除再乘的结果最小，结果为负数时才能取到最小值，因此选1个负数+2个正数的组合（保证运算结果为负），要让结果的绝对值尽可能大：选绝对值最大的负数-5，再选能放大运算绝对值的两个正数+3、$+\frac{1}{4}$（除以$\frac{1}{4}$等价于乘4，可放大绝对值），即可得到最小值。
【解析】
(1) 抽取写有$-3$、$-5$、$+\frac{1}{4}$的3张卡片，计算过程：
$(-3)×(-5)÷(+\frac{1}{4})=15×4=60$
(2) 抽取写有$+3$、$-5$、$+\frac{1}{4}$的3张卡片，计算过程：
$(-5)÷(+\frac{1}{4})×(+3)=(-5)×4×3=-60$
（或$(+3)÷(+\frac{1}{4})×(-5)=3×4×(-5)=-60$）
【答案】
(1) 抽取$\boxed{-3}$、$\boxed{-5}$、$\boxed{+\dfrac{1}{4}}$，最大值为$60$；
(2) 抽取$\boxed{+3}$、$\boxed{-5}$、$\boxed{+\dfrac{1}{4}}$，最小值为$-60$。
【知识点】
1. 有理数乘除运算
2. 有理数大小比较
【点评】
本题核心是结合有理数乘除的符号规律选择数字组合，解题关键是明确“求最大值优先取正且绝对值尽可能大，求最小值优先取负且绝对值尽可能大”的原则，需熟练掌握除以一个数等于乘它的倒数的运算规则。
【难度系数】
0.7
对于(1)，要使3个数字先乘再除的结果最大，根据有理数乘除“同号得正、异号得负”的规则，结果为正数时才能取到最大值：首先排除0（含0的乘除结果为0，不是最大值），要得到正数，可选2个负数+1个正数的组合（正数仅2个，凑不齐3个正数）；两个负数相乘得正，除以正数时除数越小结果越大，因此选绝对值最大的两个负数-3、-5，和最小的正数$+\frac{1}{4}$即可。
对于(2)，要使先除再乘的结果最小，结果为负数时才能取到最小值，因此选1个负数+2个正数的组合（保证运算结果为负），要让结果的绝对值尽可能大：选绝对值最大的负数-5，再选能放大运算绝对值的两个正数+3、$+\frac{1}{4}$（除以$\frac{1}{4}$等价于乘4，可放大绝对值），即可得到最小值。
【解析】
(1) 抽取写有$-3$、$-5$、$+\frac{1}{4}$的3张卡片，计算过程：
$(-3)×(-5)÷(+\frac{1}{4})=15×4=60$
(2) 抽取写有$+3$、$-5$、$+\frac{1}{4}$的3张卡片，计算过程：
$(-5)÷(+\frac{1}{4})×(+3)=(-5)×4×3=-60$
（或$(+3)÷(+\frac{1}{4})×(-5)=3×4×(-5)=-60$）
【答案】
(1) 抽取$\boxed{-3}$、$\boxed{-5}$、$\boxed{+\dfrac{1}{4}}$，最大值为$60$；
(2) 抽取$\boxed{+3}$、$\boxed{-5}$、$\boxed{+\dfrac{1}{4}}$，最小值为$-60$。
【知识点】
1. 有理数乘除运算
2. 有理数大小比较
【点评】
本题核心是结合有理数乘除的符号规律选择数字组合，解题关键是明确“求最大值优先取正且绝对值尽可能大，求最小值优先取负且绝对值尽可能大”的原则，需熟练掌握除以一个数等于乘它的倒数的运算规则。
【难度系数】
0.7
7. 小航在计算 $-8 ÷ a$ 时,误将“$÷$”看成“$+$”得到的结果是 $-4$,则 $-8 ÷ a$ 的正确结果是( )
A.$-4$
B.$-2$
C.$2$
D.$4$
A.$-4$
B.$-2$
C.$2$
D.$4$
答案
B
解析
【分析】
解题的核心是先根据错误的运算求出参数a的值。已知小航误将"÷"看成"+"后计算结果为-4，也就是他实际计算的是-8+a=-4，我们先通过这个等式算出a的取值，再把a代入正确的算式-8÷a中计算，就能得到最终的正确结果。
【解析】
1. 根据错误运算列等式：
误将除法看成加法后得到结果-4，因此可列方程：
$\boldsymbol{-8 + a = -4}$
2. 求解a的值：
移项计算得：$a = -4 + 8 = 4$
3. 计算正确算式的结果：
把$a=4$代入$-8÷ a$中，得：
$-8÷4=-2$
【答案】
B
【知识点】
有理数的加减运算、一元一次方程求解、有理数的除法运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，通过错算结果反推未知参数，再计算正确结果，只要熟练掌握有理数的运算法则就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题的核心是先根据错误的运算求出参数a的值。已知小航误将"÷"看成"+"后计算结果为-4，也就是他实际计算的是-8+a=-4，我们先通过这个等式算出a的取值，再把a代入正确的算式-8÷a中计算，就能得到最终的正确结果。
【解析】
1. 根据错误运算列等式：
误将除法看成加法后得到结果-4，因此可列方程：
$\boldsymbol{-8 + a = -4}$
2. 求解a的值：
移项计算得：$a = -4 + 8 = 4$
3. 计算正确算式的结果：
把$a=4$代入$-8÷ a$中，得：
$-8÷4=-2$
【答案】
B
【知识点】
有理数的加减运算、一元一次方程求解、有理数的除法运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，通过错算结果反推未知参数，再计算正确结果，只要熟练掌握有理数的运算法则就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
8. 我们把 $2 ÷ 2 ÷ 2$ 记作 $2^{③}$,$(-4) ÷ (-4)$ 记作 $(-4)^{②}$,那么计算 $(-3)^{④} × 9$ 的结果为( )
A.$1$
B.$3$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{1}{9}$
A.$1$
B.$3$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{1}{9}$
答案
A
解析
【分析】
本题是新定义运算题型，解题时首先要读懂新符号的含义：根据题目示例，数a右上角带圈的正整数n，代表n个a连续相除。接下来先按照该规则计算出$(-3)^{④}$的结果，再将结果与9相乘，结合有理数乘除运算法则算出最终值，对应选出正确选项即可。
【解析】
解：根据题意可得新运算规则：$a^{ⓝ}$（n为≥2的正整数）表示n个a依次相除。
则$(-3)^{④}=(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$
分步计算除法：
$(-3)÷(-3)=1$
$1÷(-3)=-\frac{1}{3}$
$-\frac{1}{3}÷(-3)=\frac{1}{9}$
再计算乘法：$\frac{1}{9}×9=1$
【答案】
A
【知识点】
新定义运算、有理数的除法、有理数的乘法
【点评】
本题属于基础的新定义类考题，解题关键是准确理解新运算的规则，再结合有理数乘除的运算法则逐步计算，主要考查学生的阅读理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
本题是新定义运算题型，解题时首先要读懂新符号的含义：根据题目示例，数a右上角带圈的正整数n，代表n个a连续相除。接下来先按照该规则计算出$(-3)^{④}$的结果，再将结果与9相乘，结合有理数乘除运算法则算出最终值，对应选出正确选项即可。
【解析】
解：根据题意可得新运算规则：$a^{ⓝ}$（n为≥2的正整数）表示n个a依次相除。
则$(-3)^{④}=(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$
分步计算除法：
$(-3)÷(-3)=1$
$1÷(-3)=-\frac{1}{3}$
$-\frac{1}{3}÷(-3)=\frac{1}{9}$
再计算乘法：$\frac{1}{9}×9=1$
【答案】
A
【知识点】
新定义运算、有理数的除法、有理数的乘法
【点评】
本题属于基础的新定义类考题，解题关键是准确理解新运算的规则，再结合有理数乘除的运算法则逐步计算，主要考查学生的阅读理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
9. 已知 $a$,$b$ 互为倒数,$|x| = 2$,$|y| = 3$,且 $\dfrac{x}{y} ＜ 0$,求 $ab ÷ 2x × \dfrac{1}{y}$ 的值。
答案
解:因为$|x|=2$,$|y|=3$,所以$x=\pm2$,$y=\pm3$.因为$\frac{x}{y}＜0$,所以x与y异号.所以$x=2$,$y=-3$或$x=-2$,$y=3$.因为a,b互为倒数,所以$ab=1$.①当$x=2$,$y=-3$时,$ab÷2x×\frac{1}{y}=1÷4×\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{1}{12}$;②当$x=-2$,$y=3$时,$ab÷2x×\frac{1}{y}=1÷(-4)×\frac{1}{3}=-\frac{1}{12}$.综上,$ab÷2x×\frac{1}{y}$的值为$-\frac{1}{12}$.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先根据倒数的定义可得ab=1；再结合绝对值的性质推出x、y的所有可能取值；接着根据$\dfrac{x}{y}＜0$可知x与y异号，筛选出x、y的有效取值组合；最后将ab的值和两组x、y的值分别代入待求式，按照有理数乘除的运算规则从左到右计算，即可得到结果。
【解析】
解：
∵$|x|=2$，$|y|=3$，
∴$x=\pm2$，$y=\pm3$。
∵$\dfrac{x}{y}＜0$，
∴x与y异号，即$x=2,y=-3$或$x=-2,y=3$。
∵a，b互为倒数，
∴$ab=1$。
①当$x=2$，$y=-3$时：
$ab ÷ 2x × \dfrac{1}{y}=1÷(2×2)×(-\dfrac{1}{3})=1÷4×(-\dfrac{1}{3})=-\dfrac{1}{12}$；
②当$x=-2$，$y=3$时：
$ab ÷ 2x × \dfrac{1}{y}=1÷[2×(-2)]×\dfrac{1}{3}=1÷(-4)×\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{12}$。
综上，$ab ÷ 2x × \dfrac{1}{y}$的值为$-\dfrac{1}{12}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{12}$
【知识点】
倒数的性质；绝对值的性质；有理数乘除运算
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是结合已知条件准确确定各参数的取值，需要注意分类讨论思想的运用，计算时要严格遵循运算顺序，尤其要注意符号的判断，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手，首先根据倒数的定义可得ab=1；再结合绝对值的性质推出x、y的所有可能取值；接着根据$\dfrac{x}{y}＜0$可知x与y异号，筛选出x、y的有效取值组合；最后将ab的值和两组x、y的值分别代入待求式，按照有理数乘除的运算规则从左到右计算，即可得到结果。
【解析】
解：
∵$|x|=2$，$|y|=3$，
∴$x=\pm2$，$y=\pm3$。
∵$\dfrac{x}{y}＜0$，
∴x与y异号，即$x=2,y=-3$或$x=-2,y=3$。
∵a，b互为倒数，
∴$ab=1$。
①当$x=2$，$y=-3$时：
$ab ÷ 2x × \dfrac{1}{y}=1÷(2×2)×(-\dfrac{1}{3})=1÷4×(-\dfrac{1}{3})=-\dfrac{1}{12}$；
②当$x=-2$，$y=3$时：
$ab ÷ 2x × \dfrac{1}{y}=1÷[2×(-2)]×\dfrac{1}{3}=1÷(-4)×\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{12}$。
综上，$ab ÷ 2x × \dfrac{1}{y}$的值为$-\dfrac{1}{12}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{12}$
【知识点】
倒数的性质；绝对值的性质；有理数乘除运算
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是结合已知条件准确确定各参数的取值，需要注意分类讨论思想的运用，计算时要严格遵循运算顺序，尤其要注意符号的判断，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.7
10. 已知整数 $a$,$b$ 满足 $a = -4$,$a + b ＜ 0$,$ab ＜ 0$,则 $\dfrac{a}{b} = $ ______。
答案
-4,-2或$-\frac{4}{3}$ 解析:因为$ab＜0$,
解析
【分析】
解题时先从已知的符号条件$ab＜0$入手，可判断$a$、$b$异号，结合已知$a=-4$为负数，就能确定$b$是正整数；再根据$a+b＜0$的条件，代入$a$的值可求出$b$的取值范围，结合$b$是正整数的限制，得到$b$的所有可能取值，最后分别代入计算$\dfrac{a}{b}$的值即可。
【解析】
解：$\because ab＜0$，
$\therefore a$与$b$异号，
又$\because a=-4＜0$，
$\therefore b$是正整数，
$\because a+b＜0$，
$\therefore -4 + b ＜ 0$，解得$b ＜ 4$，
$\because b$为小于4的正整数，
$\therefore b$的取值为1、2、3，
当$b=1$时，$\dfrac{a}{b}=\dfrac{-4}{1}=-4$；
当$b=2$时，$\dfrac{a}{b}=\dfrac{-4}{2}=-2$；
当$b=3$时，$\dfrac{a}{b}=\dfrac{-4}{3}=-\dfrac{4}{3}$。
【答案】
$-4$、$-2$或$-\dfrac{4}{3}$
【知识点】
有理数乘法符号法则；不等式简单应用；有理数除法运算
【点评】
本题围绕有理数运算的符号判断展开，结合不等式约束确定未知整数的取值范围，解题时要注意整数的限制条件，避免漏解，能有效锻炼分类讨论的思维。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的符号条件$ab＜0$入手，可判断$a$、$b$异号，结合已知$a=-4$为负数，就能确定$b$是正整数；再根据$a+b＜0$的条件，代入$a$的值可求出$b$的取值范围，结合$b$是正整数的限制，得到$b$的所有可能取值，最后分别代入计算$\dfrac{a}{b}$的值即可。
【解析】
解：$\because ab＜0$，
$\therefore a$与$b$异号，
又$\because a=-4＜0$，
$\therefore b$是正整数，
$\because a+b＜0$，
$\therefore -4 + b ＜ 0$，解得$b ＜ 4$，
$\because b$为小于4的正整数，
$\therefore b$的取值为1、2、3，
当$b=1$时，$\dfrac{a}{b}=\dfrac{-4}{1}=-4$；
当$b=2$时，$\dfrac{a}{b}=\dfrac{-4}{2}=-2$；
当$b=3$时，$\dfrac{a}{b}=\dfrac{-4}{3}=-\dfrac{4}{3}$。
【答案】
$-4$、$-2$或$-\dfrac{4}{3}$
【知识点】
有理数乘法符号法则；不等式简单应用；有理数除法运算
【点评】
本题围绕有理数运算的符号判断展开，结合不等式约束确定未知整数的取值范围，解题时要注意整数的限制条件，避免漏解，能有效锻炼分类讨论的思维。
【难度系数】
0.7
