角平分线:一般地,从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫作这个角的______.

如图所示, $ OC $ 平分 $ \angle AOB $, 则 $ \angle AOC = $______ $ = $______ $ \angle AOB $, $ \angle AOB = $______ $ \angle AOC = $______ $ \angle BOC $.

平分线　∠BOC　$\frac{1}{2}$　2　2

【分析】
本题考查角平分线的基础概念与相关倍分关系，解题思路如下：首先回忆角平分线的定义内容，对应填写第一个概念空；再结合图形中OC平分∠AOB的条件，根据角平分线的性质，明确被平分后的两个小角大小相等，且均为原大角的二分之一，反过来原大角是每个小角的2倍，依次填写后续的角关系空即可。
【解析】
根据角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线，因此第一个空填“平分线”。
已知OC平分∠AOB，说明OC将∠AOB分成两个相等的角，即∠AOC和∠BOC相等，因此∠AOC=∠BOC；两个相等的小角之和等于大角∠AOB，因此每个小角都是大角的$\frac{1}{2}$，即∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB；反过来，大角∠AOB就是每个小角的2倍，即∠AOB=2∠AOC=2∠BOC。
【答案】
平分线　∠BOC　$\frac{1}{2}$　2　2
【知识点】
角平分线的定义；角的倍分关系
【点评】
本题属于基础概念题，核心是对角平分线定义的识记与简单应用，熟练掌握该定义是解决后续角的运算类题目的基础，难度较低。
【难度系数】
0.9

【例 1】如图所示,已知 $ O $ 为直线 $ AB $ 上一点,过点 $ O $ 向直线 $ AB $ 上方引三条射线 $ OC $, $ OD $, $ OE $, 且 $ OC $ 平分 $ \angle AOD $, $ \angle 2 = 3 \angle 1 $, $ \angle COE = 75° $, 求 $ \angle 2 $ 的度数.

解法一:因为OC平分∠AOD,　所以∠COD=∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOD.　因为∠AOD=180°−∠BOD,　所以∠COD=$\frac{1}{2}$(180°−∠BOD)=90°−$\frac{1}{2}$(∠1+∠2).因为∠2=3∠1,　所以∠COD=90°−$\frac{1}{2}$(∠1+3∠1)=90°−2∠1.　因为∠1+∠COD=∠COE=75°,　所以∠COD=75°−∠1.　所以90°−2∠1=75°−∠1.　所以∠1=15°.　所以∠2=3∠1=45°.　解法二:因为∠2=3∠1,　所以设∠1=x,则∠2=3x.　因为OC平分∠AOD，　所以∠COD=∠AOC.　因为∠AOC+∠COD+∠1+∠2=180°.　所以2∠COD+4x=180°,　所以∠COD=90°−2x.　因为∠COE=75°,　所以∠COD+∠1=75°,　即90°−2x+x=75°.　解得x=15°,　所以∠2=3x=45°.

【分析】
解题时先梳理已知条件：①O在直线AB上，可得∠AOB为平角，度数是180°；②OC平分∠AOD，说明∠AOC=∠COD；③∠2=3∠1，④∠COE=75°（即∠COD+∠1=75°）。我们可以用方程思想简化计算，先设∠1的度数为x，用含x的式子表示出∠2和∠COD，再根据角度的等量关系建立方程，解方程求出x后就能得到∠2的度数。
【解析】
我们用设未知数的方法求解：
设$∠ 1 = x$，
$\because ∠ 2 = 3∠ 1$，$\therefore ∠ 2 = 3x$，
$\because OC$平分$∠ AOD$，$\therefore ∠ COD = ∠ AOC$，
$\because$点O在直线AB上，$\therefore ∠ AOB = 180°$，即$∠ AOC + ∠ COD + ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$，
代入得：$2∠ COD + x + 3x = 180°$，
整理得$∠ COD = 90° - 2x$，
又$\because ∠ COE = ∠ COD + ∠ 1 = 75°$，
将$∠ COD = 90° - 2x$、$∠ 1 = x$代入得：$90° - 2x + x = 75°$，
解得$x = 15°$，
$\therefore ∠ 2 = 3x = 3×15° = 45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
平角的定义；角平分线的性质；角的和差计算
【点评】
本题是角度计算的常规题型，将角平分线、平角的性质与方程思想结合，解题的关键是准确梳理各个角之间的数量关系，建立正确的等量式求解，能很好地锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7

(1) 角平分线是一条在角内部的射线, 不是线段, 也不是直线;
(2) 角平分线把角分成相等的两个角, 它常与角的和差关系联系在一起, 从而进行角的计算.

正确

【分析】
这道题考查角平分线的基本概念与应用，我们可以结合角平分线的定义依次判断两个表述是否正确：第一步先回忆角平分线的定义，判断第一个表述中角平分线的线型是否正确；第二步再结合角平分线的作用，判断第二个表述关于角计算的描述是否正确。
【解析】
我们分别验证两个表述：
(1) 根据角平分线的定义：从角的顶点出发，将角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线，因此它是位于角内部的射线，既不是线段也不是直线，该表述正确；
(2) 角平分线将一个角分成两个相等的小角，因此存在“原角=2倍小角”“小角=原角÷2”的和差倍分关系，在角的计算中经常结合这类关系运算，该表述正确。
综上两个表述均正确。
【答案】
正确
【知识点】
1.角平分线的定义 2.角的和差运算
【点评】
本题属于基础概念判断题，核心是准确理解角平分线的定义，要注意角平分线是射线，不要和三角形的角平分线（线段）混淆，学习基础概念时要明确概念的本质属性。
【难度系数】
0.9

1. 如图所示, $ OC $ 是 $ \angle AOB $ 的平分线, $ OD $ 是 $ \angle BOC $ 的平分线. 若 $ \angle AOB = 120° $, 则 $ \angle AOD $ 的度数为( )


A.$ 30° $
B.$ 50° $
C.$ 60° $
D.$ 90° $

D

【分析】
解题时先从已知条件入手，首先回忆角平分线的定义：角平分线会把一个角分成两个相等的角。第一步先根据OC是∠AOB的平分线，结合∠AOB=120°，算出∠AOC和∠BOC的度数；第二步再根据OD是∠BOC的平分线，算出∠COD的度数；最后观察图形可知∠AOD由∠AOC和∠COD组成，将两个角的度数相加就能得到∠AOD的度数。
【解析】
解：
∵OC是∠AOB的平分线，∠AOB=120°
∴$∠ AOC = ∠ BOC = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2}×120°=60°$
又
∵OD是∠BOC的平分线
∴$∠ COD = \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2}×60°=30°$
∴$∠ AOD = ∠ AOC + ∠ COD = 60°+30°=90°$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题是基础类题型，重点考查对角平分线定义的理解和角的和差运算能力，解题的关键是借助角平分线的性质逐步求出对应角的度数，结合图形中角的组成关系即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85

2. 把一副三角尺按如图所示的方式拼在一起,其中 $ B $, $ C $, $ D $ 三点在同一直线上, $ CM $ 平分 $ \angle ACB $, $ CN $ 平分 $ \angle DCE $, 求 $ \angle MCN $ 的度数.

解:因为CM平分∠ACB,CN平分∠DCE，∠ACB=45°,∠DCE=60°,　所以∠MCB=$\frac{1}{2}$∠ACB=22.5°,　∠DCN=$\frac{1}{2}$∠DCE=30°.　所以∠MCN=180°−∠MCB−∠DCN 　=180°−22.5°−30°　=127.5°.

【分析】
解题时首先回忆常用三角尺的固定角度，可知等腰直角三角尺的锐角$∠ ACB=45°$，含$30°$角的直角三角尺的$60°$锐角$∠ DCE=60°$；再结合角平分线的性质，可算出$∠ MCB$和$∠ DCN$的度数；最后因为$B$、$C$、$D$三点共线，$∠ BCD$是平角为$180°$，用平角减去$∠ MCB$和$∠ DCN$的度数，即可得到$∠ MCN$的度数。
【解析】
解：根据三角尺的固有角度，得$∠ ACB=45°$，$∠ DCE=60°$。
$\because CM$平分$∠ ACB$，$CN$平分$∠ DCE$，
$\therefore ∠ MCB=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×45°=22.5°$，
$∠ DCN=\frac{1}{2}∠ DCE=\frac{1}{2}×60°=30°$。
又$\because B$、$C$、$D$三点在同一直线上，$∠ BCD$为平角，即$∠ BCD=180°$，
$\therefore ∠ MCN=180°-∠ MCB-∠ DCN=180°-22.5°-30°=127.5°$。
【答案】
$127.5°$
【知识点】
角平分线的定义；平角的性质；角度计算
【点评】
本题结合三角尺的固有角度考查角的相关计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，理清所求角与已知角之间的和差关系，是角计算类的基础题型。
【难度系数】
0.8