【例 2】计算:
(1) $ 13° 24' 15'' × 5 = $______ $ ° $______ $ ' $______ $ '' $;
(2) $ 58° 34' 16'' ÷ 4 = $______ $ ° $______ $ ' $______ $ '' $.

(1)67　1　15　
(2)14　38　34

【分析】
度分秒的运算遵循60进制规则，解决这类题的思路是：①乘法运算：从最低单位（秒）开始依次乘乘数，每满60就向上一级单位进1；②除法运算：从最高单位（度）开始依次除以除数，除不尽的余数乘60转化为下一级单位，与原有下一级单位相加后继续除，直到计算到秒单位即可。
【解析】
(1) 计算$13° 24' 15'' × 5$：
第一步：分别计算各单位乘5的结果：
$13°×5=65°$，$24'×5=120'$，$15''×5=75''$
第二步：按60进制进位：
$75''=60''+15''=1'15''$，将1'进位到分位，此时分位总和为$120'+1'=121'$
$121'=2×60'+1'=2°1'$，将2°进位到度位，此时度位总和为$65°+2°=67°$
最终结果为$67°1'15''$。
(2) 计算$58° 34' 16'' ÷ 4$：
第一步：先算度的除法：
$58°÷4=14°$余$2°$，将余数$2°$转化为分：$2°=2×60'=120'$
第二步：计算分的除法：
分位总和为$120'+34'=154'$，$154'÷4=38'$余$2'$，将余数$2'$转化为秒：$2'=2×60''=120''$
第三步：计算秒的除法：
秒位总和为$120''+16''=136''$，$136''÷4=34''$
最终结果为$14°38'34''$。
【答案】
(1)67；1；15
(2)14；38；34
【知识点】
度分秒的换算；度分秒的乘法运算；度分秒的除法运算
【点评】
本题重点考查度分秒的乘除运算，核心是熟练掌握度分秒60进制的换算规则，计算时注意乘法要从低位算起满60进位，除法从高位算起余数转下级单位再运算，细心计算即可避免错误。
【难度系数】
0.8

3. 计算并填空:
(1) $ 40° 26' + 30° 30' 30'' ÷ 6 = $______;
(2) $ 13° 53' × 3 - 32° 5' 31'' = $______.

(1)45°31′5″　
(2)9°33′29″

【分析】
角度运算遵循有理数四则运算顺序，先算乘除后算加减，且度、分、秒为60进制，即1°=60′，1′=60″。解题时：做除法从高一级单位开始除，余数转下一级单位继续除；做乘法从低一级单位开始乘，满60向上一级进1；做减法时同单位不够减，向上一级借1当60再计算。第(1)题先计算除法，再计算加法；第(2)题先计算乘法，再计算减法。
【解析】
(1) 先计算除法：$30°30'30''÷6$
$30°÷6=5°$，$30'÷6=5'$，$30''÷6=5''$，因此除法结果为$5°5'5''$。
再计算加法：$40°26'+5°5'5''$
度相加：$40°+5°=45°$，分相加：$26'+5'=31'$，秒为$5''$，因此结果为$45°31'5''$。
(2) 先计算乘法：$13°53'×3$
$53'×3=159'=2°39'$，$13°×3=39°$，加进位的$2°$得$41°$，因此乘法结果为$41°39'$，统一单位改写为$41°38'60''$方便后续减法计算。
再计算减法：$41°38'60''-32°5'31''$
度相减：$41°-32°=9°$，分相减：$38'-5'=33'$，秒相减：$60''-31''=29''$，因此结果为$9°33'29''$。
【答案】
(1)$45°31′5″$；(2)$9°33′29″$
【知识点】
度分秒换算；角的加减运算；角的乘除运算
【点评】
本题重点考查度分秒的四则运算，核心是掌握度分秒的60进制规则，运算时严格遵循先乘除后加减的顺序，注意进位、借位的转换要求，即可准确解题。
【难度系数】
0.7

4. 计算:
(1) $ 48° 39' + 67° 31' - 21° 17' $;
(2) $ 23° 53' × 3 - 107° 43' ÷ 5 $.

解:
(1)48°39′+67°31′−21°17′　=116°10′−21°17′　=94°53′.　
(2)23°53′×3−107°43′÷5 　=71°39′−21°32′36″　=50°6′24″.

【分析】
度分秒的运算遵循60进制规则：$1°=60'$，$1'=60''$。解答本题时：
(1) 加减混合运算按从左到右顺序计算，先算加法，同单位相加，分位满60向度位进1；再算减法，分位不够减时从度位借1当60再减。
(2) 含乘除的混合运算先算乘除、再算减法：乘法分别给度、分乘乘数，分位满60向度位进1；除法从高位到低位依次计算，余数换算为下一级单位后继续除，最后减法不够减时借位换算再计算。
【解析】
(1) 先计算加法：
$48°39' + 67°31' = (48°+67°)+(39'+31') = 115°+70' = 116°10'$
再计算减法：
$116°10' - 21°17' = 115°70' - 21°17' = 94°53'$
(2) 先计算乘法：
$23°53' × 3 = (23°×3)+(53'×3) = 69°+159' = 71°39'$
再计算除法：
$107°43' ÷5$：度位$107°÷5=21°$余$2°$，$2°$换算为$120'$，分位共$120'+43'=163'$；$163'÷5=32'$余$3'$，$3'$换算为$180''$，$180''÷5=36''$，得$21°32'36''$
最后计算减法：
$71°39' - 21°32'36'' = 71°38'60'' - 21°32'36'' = 50°6'24''$
【答案】
(1) $\boxed{94°53'}$；(2) $\boxed{50°6'24''}$
【知识点】
度分秒换算，度分秒加减运算，度分秒乘除运算
【点评】
本题重点考查度分秒的四则运算，解题核心是熟练掌握度分秒60进制的换算规则，计算时注意进位、借位的处理，运算顺序和整数四则运算一致，细心换算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7

1. 把一副三角板按如图所示的方式拼在一起, 作 $ \angle ABE $ 的平分线 $ BM $, 则 $ \angle EBM $ 的度数是( )


A.$ 30° $
B.$ 90° $
C.$ 60° $
D.$ 75° $

C

【分析】
解题时首先要回忆一副三角板各内角的固定度数，先找到组成∠ABE的两个角的度数，求和得到∠ABE的总度数，再根据角平分线的定义：角平分线会把一个角分成两个大小相等的角，用∠ABE的度数除以2即可求出∠EBM的度数。
【解析】
解：根据三角板的角度特征，可知∠ABC=90°，∠CBE=30°，因此：
$∠ ABE = ∠ ABC + ∠ CBE = 90° + 30° = 120°$
因为BM是$∠ ABE$的平分线，根据角平分线的定义可得：
$∠ EBM = \frac{1}{2}∠ ABE = \frac{1}{2} × 120° = 60°$
【答案】
C
【知识点】
三角板角度特征，角平分线的定义，角度运算
【点评】
本题属于基础角度计算类题目，核心是熟悉三角板的固定角度，能正确识别图中角的组成，熟练运用角平分线的性质即可求解。
【难度系数】
0.8

2. 如图所示, $ OB $ 平分 $ \angle AOC $, 下列结论错误的是( )


A.$ \angle AOB = \angle BOC $
B.$ \angle COD + \frac{1}{2} \angle AOC = \angle BOD $
C.$ \angle AOD - \angle BOC = \angle BOD $
D.$ \angle BOC + \angle AOD = 2 \angle BOD $

D

【分析】
首先根据角平分线的定义，由OB平分∠AOC可得$∠ AOB = ∠ BOC = \frac{1}{2}∠ AOC$。要判断四个结论哪个错误，只需将每个选项中的角利用角的和差关系拆分，再代入上述等量关系验证是否成立即可。
【解析】
已知OB平分∠AOC，根据角平分线的定义可得：$∠ AOB = ∠ BOC = \frac{1}{2}∠ AOC$。
逐一分析选项：
选项A：由角平分线定义直接可得$∠ AOB = ∠ BOC$，结论正确，不符合题意。
选项B：$∠ BOD = ∠ BOC + ∠ COD$，将$∠ BOC = \frac{1}{2}∠ AOC$代入，可得$∠ BOD = ∠ COD + \frac{1}{2}∠ AOC$，结论正确，不符合题意。
选项C：$∠ AOD - ∠ BOC = ∠ AOD - ∠ AOB$（替换$∠ BOC=∠ AOB$），而$∠ AOD - ∠ AOB = ∠ BOD$，结论正确，不符合题意。
选项D：将$∠ AOD$拆分为$∠ AOB + ∠ BOD$，代入左边得：$∠ BOC + ∠ AOD = ∠ BOC + ∠ AOB + ∠ BOD$，再替换$∠ AOB=∠ BOC$，左边$= 2∠ BOC + ∠ BOD$，和右边$2∠ BOD$不一定相等，结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题重点考查角平分线的性质和角的和差运算，解题核心是借助角平分线得到等角，再通过角的拆分、等量替换验证结论，熟练掌握角的和差转化是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.7

3. 如图所示, $ OC $ 是 $ \angle AOB $ 的平分线, $ \angle BOD = \frac{1}{3} \angle COD $, $ \angle BOD = 15° $, 则 $ \angle AOD $ 等于( )


A.$ 45° $
B.$ 55° $
C.$ 65° $
D.$ 75° $

D

【分析】
解题时先从已知的∠BOD与∠COD的数量关系入手，先计算出∠COD的度数，再通过角的和差关系求出∠BOC的度数；结合OC是∠AOB的平分线的性质，得到∠AOC与∠BOC相等，最后将∠AOC和∠COD相加即可得到∠AOD的度数。
【解析】
解：
∵ $∠ BOD = \frac{1}{3}∠ COD$，且$∠ BOD = 15°$，
∴ $∠ COD = 3∠ BOD = 3×15° = 45°$，
∴ $∠ BOC = ∠ COD - ∠ BOD = 45° - 15° = 30°$，
又
∵ OC是$∠ AOB$的平分线，
∴ $∠ AOC = ∠ BOC = 30°$，
∴ $∠ AOD = ∠ AOC + ∠ COD = 30° + 45° = 75°$。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是理清图中各个角之间的数量关系，结合角平分线的性质逐步推导计算，熟练掌握角的基本运算规则即可快速解答。
【难度系数】
0.8

4. 如图所示, 点 $ A $, $ B $ 在同一条直线上, 射线 $ OD $ 和射线 $ OE $ 分别平分 $ \angle AOC $ 和 $ \angle BOC $. 若 $ \angle COD = 62° $, 则 $ \angle BOE = $______.

28°

【分析】
解题时首先从已知条件入手：①点A、B在同一直线上，可得平角∠AOB=180°，即∠AOC与∠BOC之和为180°；②OD平分∠AOC，说明∠AOC是∠COD的2倍，结合已知∠COD=62°可先求出∠AOC的度数；③再用平角180°减去∠AOC得到∠BOC的度数；最后根据OE平分∠BOC，可得∠BOE是∠BOC的一半，计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵点A、O、B在同一条直线上
∴∠AOB = 180°，即∠AOC + ∠BOC = 180°
∵OD平分∠AOC
∴∠AOC = 2∠COD
已知∠COD=62°，代入得：
∠AOC = 2×62° = 124°
∴∠BOC = 180° - ∠AOC = 180° - 124° = 56°
又
∵OE平分∠BOC
∴∠BOE = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×56° = 28°
【答案】
28°
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，角度计算
【点评】
本题是角的计算的基础题，解题核心是熟练运用平角的度数和角平分线的倍分关系，理清图中各个角之间的和差、倍分关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8