8. 已知射线 OA,由点 O 引射线 OB,OC,∠AOB = 72°,∠BOC = 36°,则∠AOC 的度数是( )

A.36°
B.108°
C.72°或 36°
D.36°或 108°

D

【分析】
本题未明确射线OC与∠AOB的位置关系，因此需要分两种情况讨论：①射线OC在∠AOB的内部；②射线OC在∠AOB的外部，再结合角的和差关系分别计算∠AOC的度数即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当射线OC在∠AOB内部时：
根据角的差的关系，$∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC$，代入数值得$∠ AOC = 72° - 36° = 36°$；
2. 当射线OC在∠AOB外部时：
根据角的和的关系，$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC$，代入数值得$∠ AOC = 72° + 36° = 108°$。
综上，$∠ AOC$的度数是$36°$或$108°$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
角的和差运算，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略射线OC位置的不确定性，只考虑其中一种情况导致漏解，解题时要结合题意全面分析所有可能的位置关系。
【难度系数】
0.7

9. (2025·西安)如图所示,已知∠AOB = 140°,∠COD = 60°,且∠AOC = ∠BOD,求∠AOD 的度数。

解:因为∠AOB=140°,∠COD=60°,所以∠AOB-∠COD=140°-60°=80°,即∠AOD+∠BOC=80°.因为∠AOC=∠BOD,即∠AOD+∠COD=∠COD+∠BOC,所以∠AOD=∠BOC.所以2∠AOD=80°.所以∠AOD=40°.

【分析】
解题时先从已知的∠AOB和∠COD的度数入手：首先分析∠AOB的组成，它是由∠AOD、∠COD、∠BOC三部分组成的，因此用∠AOB减去∠COD就能得到∠AOD与∠BOC的度数和。接下来利用已知条件∠AOC=∠BOD，观察这两个角的组成：∠AOC=∠AOD+∠COD，∠BOD=∠BOC+∠COD，两个角都包含公共的∠COD，两边同时减去∠COD就能推导出∠AOD=∠BOC。最后结合前面得到的两个角的和，就能求出∠AOD的度数。
【解析】
解：
∵ ∠AOB = 140°，∠COD = 60°
∴ ∠AOB - ∠COD = 140° - 60° = 80°，即∠AOD + ∠BOC = 80°
又
∵ ∠AOC = ∠BOD
且∠AOC = ∠AOD + ∠COD，∠BOD = ∠BOC + ∠COD
∴ ∠AOD + ∠COD = ∠BOC + ∠COD
两边同时减去∠COD，可得∠AOD = ∠BOC
∴ 2∠AOD = 80°
∴ ∠AOD = 40°
【答案】
40°
【知识点】
角的和差运算；等量代换
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，解题核心是理清图中各个角的组成关系，通过拆分角度找到等量关系，消去公共角即可快速求解，能够有效巩固角的和差相关运算能力。
【难度系数】
0.8

10. 如图所示,将两块直角三角板的直角顶点 C 叠放在一起。
(1)当∠DCE = 15°时,求∠ACB 的度数；
(2)猜想∠ACB 与∠DCE 的数量关系,并说明理由；
(3)将三角板 ACD 绕点 C 逆时针旋转一周,请求出∠ACE 为多少度时,∠ECD = 2∠ACB。

解:
(1)因为∠DCE=15°,∠ACE+∠DCE=90°,所以∠ACE=75°.所以∠ACB=∠ACE+∠BCE=75°+90°=165°.
(2)∠ACB+∠DCE=180°.理由如下:因为∠ACE+∠DCE=90°,∠BCD+∠DCE=90°,所以(∠ACE+∠DCE+∠BCD)+∠DCE=180°.因为∠ACB=∠ACE+∠DCE+∠BCD,所以∠ACB+∠DCE=180°.
(3)当∠ECD=2∠ACB时,∠ACD+∠ECD+∠BCE+∠ACB=360°,因为∠ACD=∠BCE=90°,所以∠ECD+∠ACB=180°.因为∠ECD=2∠ACB,所以∠ECD=120°,∠ACB=60°.所以∠ACE=∠ACD+∠ECD=90°+120°=210°.或∠ACE=∠ECD-∠ACD=120°-90°=30°.所以当∠ACE为210°或30°时,∠ECD=2∠ACB.

【分析】
(1) 首先明确两块直角三角板的∠ACD、∠BCE均为90°，已知∠DCE=15°，先通过∠ACE=∠ACD-∠DCE求出∠ACE的度数，再利用∠ACB=∠ACE+∠BCE即可算出结果。
(2) 要推导∠ACB和∠DCE的数量关系，观察可得∠ACE+∠DCE=90°，∠BCD+∠DCE=90°，将两个等式相加，结合∠ACB=∠ACE+∠DCE+∠BCD，即可得出二者的数量关系。
(3) 先利用第(2)问得到的∠ACB+∠DCE=180°，结合题设∠ECD=2∠ACB，列方程求出∠ECD和∠ACB的度数，再考虑三角板绕点C旋转一周的两种位置情况，分别计算∠ACE的度数，注意不要漏解。
【解析】
(1) 由题意得$∠ ACD=∠ BCE=90°$，
∵$∠ DCE=15°$，$∠ ACE+∠ DCE=∠ ACD=90°$，
∴$∠ ACE=90°-15°=75°$，
∴$∠ ACB=∠ ACE+∠ BCE=75°+90°=165°$。
(2) 猜想$∠ ACB+∠ DCE=180°$，理由如下：
∵$∠ ACE+∠ DCE=∠ ACD=90°$，$∠ BCD+∠ DCE=∠ BCE=90°$，
∴$∠ ACE+∠ DCE+∠ BCD+∠ DCE=90°+90°=180°$，
又
∵$∠ ACB=∠ ACE+∠ DCE+∠ BCD$，
∴$∠ ACB+∠ DCE=180°$。
(3) 由(2)可知$∠ ACB+∠ DCE=180°$，
∵$∠ ECD=2∠ ACB$，
∴代入得$∠ ACB+2∠ ACB=180°$，
解得$∠ ACB=60°$，$∠ ECD=120°$，
分两种情况计算$∠ ACE$：
①当CE在∠ACD内侧附近时，$∠ ACE=∠ ECD-∠ ACD=120°-90°=30°$；
②当CE旋转至∠ACD外侧时，$∠ ACE=∠ ACD+∠ ECD=90°+120°=210°$。
【答案】
(1) $\boxed{165°}$
(2) $\boxed{∠ ACB+∠ DCE=180°}$
(3) $\boxed{30°}$或$\boxed{210°}$
【知识点】
角的和差运算、直角的性质、分类讨论思想
【点评】
本题以直角三角板叠放为背景考查角的计算，解题关键是熟练掌握角的和差关系，第三问需要注意旋转过程的多解性，避免漏解。
【难度系数】
0.6