26. (本小题 13 分)在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,点 $ P $ 坐标为 $ (x,y) $,且 $ x - 2a = -1 $,$ 2y + b = 6 $,其中 $ a $,$ b $ 为实数.
(1) 若 $ a = 3 $,则点 $ P $ 到 $ y $ 轴的距离为.
(2) 已知实数 $ a $,$ b $ 满足 $ 4a - b = 4 $.
① 若 $ x < 0 $,试探究点 $ P(x,y) $ 在哪个象限? 说明理由.
② 若点 $ Q(-2,0) $,$ △ OPQ $ 的面积为 5,求点 $ P $ 的坐标.
(1) 若 $ a = 3 $,则点 $ P $ 到 $ y $ 轴的距离为.
(2) 已知实数 $ a $,$ b $ 满足 $ 4a - b = 4 $.
① 若 $ x < 0 $,试探究点 $ P(x,y) $ 在哪个象限? 说明理由.
② 若点 $ Q(-2,0) $,$ △ OPQ $ 的面积为 5,求点 $ P $ 的坐标.
答案
(1)$5$
(2)①第二象限
②$P(-1,5)$或$(9,-5)$
(2)①第二象限
②$P(-1,5)$或$(9,-5)$
解析
(1)已知$a = 3$,由$x - 2a = -1$,可得$x=-1 + 2×3=5$。
点$P$到$y$轴的距离为$\vert x\vert$,所以点$P$到$y$轴的距离为$5$。
(2)①因为$4a - b = 4$,所以$b = 4a - 4$。
由$2y + b = 6$,可得$2y+4a - 4 = 6$,$y=\frac{10 - 4a}{2}=5 - 2a$。
由$x - 2a = -1$,得$x = 2a - 1$。
因为$x<0$,即$2a - 1<0$,$2a<1$,$a<\frac{1}{2}$。
$y=5 - 2a$,因为$a<\frac{1}{2}$,所以$-2a> - 1$,$5-2a>4>0$。
所以点$P(x,y)$的横坐标$x<0$,纵坐标$y>0$,点$P$在第二象限。
②已知$Q(-2,0)$,$O(0,0)$,则$△ OPQ$中$OQ$边上的高为$\vert y\vert$,$OQ = 2$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$,可得$S_{△ OPQ}=\frac{1}{2}×2×\vert y\vert = 5$,即$\vert y\vert = 5$。
当$y = 5$时,$5 - 2a = 5$,$2a = 0$,$a = 0$,则$x = 2×0 - 1=-1$,$P(-1,5)$。
当$y=-5$时,$5 - 2a=-5$,$-2a=-10$,$a = 5$,则$x = 2×5 - 1 = 9$,$P(9,-5)$。
点$P$到$y$轴的距离为$\vert x\vert$,所以点$P$到$y$轴的距离为$5$。
(2)①因为$4a - b = 4$,所以$b = 4a - 4$。
由$2y + b = 6$,可得$2y+4a - 4 = 6$,$y=\frac{10 - 4a}{2}=5 - 2a$。
由$x - 2a = -1$,得$x = 2a - 1$。
因为$x<0$,即$2a - 1<0$,$2a<1$,$a<\frac{1}{2}$。
$y=5 - 2a$,因为$a<\frac{1}{2}$,所以$-2a> - 1$,$5-2a>4>0$。
所以点$P(x,y)$的横坐标$x<0$,纵坐标$y>0$,点$P$在第二象限。
②已知$Q(-2,0)$,$O(0,0)$,则$△ OPQ$中$OQ$边上的高为$\vert y\vert$,$OQ = 2$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$,可得$S_{△ OPQ}=\frac{1}{2}×2×\vert y\vert = 5$,即$\vert y\vert = 5$。
当$y = 5$时,$5 - 2a = 5$,$2a = 0$,$a = 0$,则$x = 2×0 - 1=-1$,$P(-1,5)$。
当$y=-5$时,$5 - 2a=-5$,$-2a=-10$,$a = 5$,则$x = 2×5 - 1 = 9$,$P(9,-5)$。
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