23.3 一次函数与方程(组)、不等式
学习目标
1. 体会一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程(组)的关系.
2. 会用一次函数图象解一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组,发展几何直观素养.
知识生成·探究
学习任务一 一次函数与一元一次方程
因为任何一个以 $x$ 为未知数的一元一次方程都可以变形为的形式,所以解一元一次方程,从函数值考虑,相当于在某个一次函数 $y = ax + b$ 的函数值为时,求自变量的值;从函数的图象考虑,相当于已知直线 $y = ax + b$,求它与轴的交点的坐标.
学习任务二 一次函数与一元一次不等式
对于可化为 $ax + b ＞ 0$ 或 $ax + b ＜ 0(a ≠ 0)$的一元一次不等式,在求它的解集时,从函数值考虑,相当于在某个一次函数 $y = ax + b$ 的值时,求自变量的取值范围;从函数的图象考虑,相当于已知直线 $y = ax + b$,确定这条直线上的点的坐标时坐标的取值范围.
学习任务三 一次函数与二元一次方程(组)
1. 一次函数与二元一次方程的关系
由于每个含未知数 $x$ 和 $y$ 的二元一次方程都可以转化为的形式,所以每个这样的方程都对应一个一次函数,于是也对应一条直线.这条直线上每个点的都是这个二元一次方程的解,以这个二元一次方程的解 $(x,y)$ 为的点都在这条直线上.
2. 一次函数与二元一次方程组的关系
一般地,由含有未知数 $x$ 和 $y$ 的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组,都对应两个,于是也对应两条.从“数”的角度看,解这样的方程组相当于求当为何值时相应的两个函数的值相等,以及这个函数值是何值;从“形”的角度看,解这样的方程组相当于确定两条直线的坐标.
知识深化·整合
突破点一 一次函数与一元一次方程

学习任务一
$ax+b=0(a≠0)$ 0 x x 横
学习任务二
大于0或小于0 x 纵 大于0或小于0 横
学习任务三
1.$y=kx+b$（$k,b$是常数，$k≠0$） 坐标($x$,$y$) 坐标
2.一次函数 直线 自变量 交点

【例 1】如图,根据函数 $y = kx + b(k,b$ 是常数,且 $k ≠ 0)$ 的图象,求:
(1) 关于 $x$ 的方程 $kx + b = 0$ 的解;
(2) 式子 $k + b$ 的值;
(3) 关于 $x$ 的方程 $kx + b = -3$ 的解.

解:
【规律方法】
图象法解一元一次方程
(1) 转化:将一元一次方程转化为一次函数;
(2) 画图象:画出一次函数的图象;
(3) 找交点:找出一次函数的图象与 $x$ 轴的交点(或其他交点),其横坐标即为所求一元一次方程的解.

解:(1)$x=2$.
(2)$k+b$的值为$-1$.
(3)$x=-1$.

【解析】
(1) 方程$kx + b = 0$的解是函数$y=kx+b$的图象与$x$轴交点的横坐标，由图可知交点为$(2,0)$，故解为$x=2$。
(2) 由图象可知函数过点$(2,0)$和$(0,-2)$，将$(0,-2)$代入$y=kx+b$得$b=-2$；将$(2,0)$代入$y=kx-2$得$2k-2=0$，解得$k=1$，则$k+b=1+(-2)=-1$。或直接观察图象，当$x=1$时，$y=-1$，即$k+b=-1$。
(3) 方程$kx + b = -3$的解是函数$y=kx+b$中$y=-3$时对应的$x$值，由图可知此时$x=-1$，故解为$x=-1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{x=2}$；
(2) $\boldsymbol{-1}$；
(3) $\boldsymbol{x=-1}$。
【知识点】
一次函数与一元一次方程的关系，一次函数图象性质
【点评】
本题考查一次函数与一元一次方程的联系，利用函数图象求解方程的解，体现了数形结合思想，需掌握函数图象上点的坐标与函数表达式、方程的关系。
【难度系数】
0.7