【例 2】如图, 8 个边长为 1 的小正方形按照如图所示的方式放置在平面直角坐标系中, 直线 $ l $ 经过小正方形的顶点 $ P $ 和 $ Q $, 则直线 $ l $ 的函数解析式为 ()


A.$ y = x + 1 $
B.$ y = \frac{1}{2}x + 1 $
C.$ y = 2x + 1 $
D.$ y = \frac{1}{4}x + 1 $

【例2】D

【解析】
根据图形确定点的坐标：由图可知，$P(0,1)$，$Q(4,2)$。
设直线$l$的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$P(0,1)$代入解析式，得$b=1$；
把$Q(4,2)$和$b=1$代入解析式，得$2=4k+1$，解得$k=\frac{1}{4}$。
因此直线$l$的函数解析式为$y=\frac{1}{4}x+1$。
【答案】
D
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题考查一次函数解析式的确定，核心是利用待定系数法，通过图形获取直线上两点的坐标是解题关键，需熟练掌握待定系数法的应用步骤。
【难度系数】
0.7

【例 3】若点 $ A(x_1, y_1) $ 和 $ B(x_2, y_2) $ 都在一次函数 $ y = (k - 1)x + 2 $ ( $ k $ 为常数) 的图象上, 且当 $ x_1 ＜ x_2 $ 时, $ y_1 ＞ y_2 $, 则 $ k $ 的值可能是 ()

A.0
B.1
C.2
D.3

【例3】A

【解析】
因为当 $ x_1 ＜ x_2 $ 时，$ y_1 ＞ y_2 $，所以一次函数 $ y = (k - 1)x + 2 $ 中y随x的增大而减小，因此一次项系数 $ k - 1 ＜ 0 $，解得 $ k ＜ 1 $。
分析选项：
A. $ 0 ＜ 1 $，符合条件；
B. $ 1 = 1 $，此时函数为常函数 $ y=2 $，不符合y随x增大而减小的要求；
C. $ 2 ＞ 1 $，不符合；
D. $ 3 ＞ 1 $，不符合。
所以k的值可能是0。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的单调性
【点评】
本题考查一次函数的性质，关键是根据函数的增减性判断一次项系数的符号，进而确定k的取值范围，再结合选项得出正确答案。
【难度系数】
0.7

【例 4】已知一次函数 $ y = (2m - 3)x + 2 - n $ 满足下列条件, 分别求出 $ m, n $ 的取值范围.
(1) $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小.
(2) 函数图象与 $ y $ 轴的交点在 $ x $ 轴的上方.
(3) 函数图象经过第一、第三、第四象限.

【例4】解：(1)$ m ＜ \dfrac{3}{2} $，$ n $可取一切实数。
(2)$ m ≠ \dfrac{3}{2} $，$ n ＜ 2 $。(3)$ m ＞ \dfrac{3}{2} $，$ n ＞ 2 $。

【解析】
(1) 对于一次函数$y=(2m - 3)x + 2 - n$，当$y$随$x$的增大而减小时，一次项系数小于0，即：
$2m - 3 ＜ 0$，
解得$m ＜ \dfrac{3}{2}$，此时常数项不影响函数的增减性，故$n$可取一切实数。
(2) 函数图象与$y$轴的交点在$x$轴上方，首先函数需为一次函数，因此一次项系数不为0：
$2m - 3 ≠ 0$，解得$m ≠ \dfrac{3}{2}$；
当$x=0$时，$y=2 - n$，交点在$x$轴上方即$y＞0$，所以：
$2 - n ＞ 0$，解得$n ＜ 2$。
(3) 函数图象经过第一、第三、第四象限，需满足一次项系数大于0（保证过一、三象限），常数项小于0（保证与y轴负半轴相交，进而过第四象限）：
$\begin{cases}2m - 3 ＞ 0 \\ 2 - n ＜ 0\end{cases}$
解第一个不等式得$m ＞ \dfrac{3}{2}$，解第二个不等式得$n ＞ 2$。
【答案】
(1) $m ＜ \dfrac{3}{2}$，$n$可取一切实数；
(2) $m ≠ \dfrac{3}{2}$，$n ＜ 2$；
(3) $m ＞ \dfrac{3}{2}$，$n ＞ 2$
【知识点】
一次函数的增减性、一次函数的图象性质、一次函数与坐标轴交点
【点评】
本题考查一次函数系数与图象、性质的对应关系，需准确掌握不同条件下一次项系数和常数项的取值要求，注意函数为一次函数的前提条件，避免遗漏限制条件。
【难度系数】
0.7

【例 5】已知直线 $ y = x + b $ 和 $ y = ax - 3 $ 交于点 $ P(2, 1) $, 则关于 $ x, y $ 的方程组 $ \begin{cases}x - y = -b, \\ ax - y = 3\end{cases}$ 的解是 ( )

A.$ \begin{cases}x = -1, \\ y = -2\end{cases} $
B.$ \begin{cases}x = 2, \\ y = 1\end{cases} $
C.$ \begin{cases}x = 1, \\ y = 2\end{cases} $
D.$ \begin{cases}x = -2, \\ y = 1\end{cases} $

【例5】B

【解析】
已知直线$y = x + b$和$y = ax - 3$交于点$P(2, 1)$，根据一次函数与二元一次方程组的关系，两条直线的交点坐标就是对应二元一次方程组的解。
将方程组$\begin{cases}x - y = -b \\ ax - y = 3\end{cases}$变形可得$\begin{cases}y = x + b \\ y = ax - 3\end{cases}$，与两直线对应的方程组一致，因此该方程组的解为$\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题主要考查一次函数与二元一次方程组的联系，明确两条直线的交点坐标就是对应二元一次方程组的解是解题关键，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

【例 6】如图, 若一次函数 $ y = kx + b $ ( $ k, b $ 为常数, 且 $ k ≠ 0 $) 的图象经过点 $ A(1, 2), B(2, 0) $, 则关于 $ x $ 的不等式 $ kx + b ＜ 2 $ 的解集为 ()


A.$ x ＞ 1 $
B.$ x ＜ 1 $
C.$ x ＞ 2 $
D.$ x ＜ 0 $

【例6】A

【解析】
已知一次函数$y=kx+b$的图象经过点$A(1,2)$，由图象可知该一次函数的函数值$y$随$x$的增大而减小。
不等式$kx+b＜2$即$y＜2$，结合函数图象可得，当$y＜2$时，对应的$x$的取值范围是$x＞1$。
【答案】
A
【知识点】
一次函数与一元一次不等式，一次函数的增减性
【点评】
本题考查利用一次函数图象求解一元一次不等式，解题关键是结合一次函数的增减性与已知点的坐标，确定函数值小于某一数值时自变量的取值范围。
【难度系数】
0.8

【例 7】 “端午节” 是我国的传统节日, 民间历来有吃粽子的习俗. 某单位计划在端午节前购买某品牌的粽子发放给员工. 经询价, 已知甲、乙两超市都以 80 元/盒的价格销售该品牌粽子, 并且同时在做促销活动.
甲超市: 办理本超市会员卡 (卡费 200 元), 商品全部打七折销售.
乙超市: 购买同种商品超过一定数量后, 超过的部分打折销售.
活动期间, 若该单位购买此品牌粽子 $ x $ 盒, 在甲、乙超市所需总费用分别为 $ y_1 $ 元、 $ y_2 $ 元, $ y_2 $ 与 $ x $ 之间的函数图象如图所示, 回答下列问题:
(1) 分别求出 $ y_1, y_2 $ 与 $ x (x ≥ 40) $ 之间的函数解析式;
(2) 若该单位准备购买 100 盒粽子, 你认为在哪家超市购买更划算?

【例7】解：(1)$ y_{1} = 56x + 200(x ≥ 40) $。
$ y_{2} = 50x + 1200(x ≥ 40) $。
(2)选择甲超市购买更划算。

【解析】
(1) 对于甲超市：
已知卡费200元，粽子80元/盒打七折，每盒实际花费$80×0.7=56$元，因此总费用$y_1$与$x$的函数解析式为：
$y_1 = 56x + 200(x ≥ 40)$。
对于乙超市：
当$x ≥ 40$时，设$y_2 = kx + b$，将点$A(40, 3200)$、$B(80, 5200)$代入解析式：
$\begin{cases}40k + b = 3200 \\ 80k + b = 5200\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得：$40k = 2000$，解得$k = 50$，
将$k=50$代入$40k + b = 3200$，得$40×50 + b = 3200$，解得$b = 1200$，
因此$y_2 = 50x + 1200(x ≥ 40)$。
(2) 当$x=100$时：
在甲超市的费用$y_1 = 56×100 + 200 = 5800$元，
在乙超市的费用$y_2 = 50×100 + 1200 = 6200$元，
因为$5800 ＜ 6200$，所以选择甲超市购买更划算。
【答案】
(1) $y_1 = 56x + 200(x ≥ 40)$；$y_2 = 50x + 1200(x ≥ 40)$
(2) 选择甲超市购买更划算
【知识点】
一次函数实际应用，一次函数解析式求解
【点评】
本题考查一次函数在实际购物场景中的应用，需根据不同超市的促销规则建立函数模型，通过代入求值比较费用高低，关键是准确分析促销方案并正确求解一次函数解析式。
【难度系数】
0.6