17. 如图,正方形$ABCD$的边长为 3,点$E$在$CD$上,点$G$在$CB$的延长线上,$DE = BG = 2$,$GE$交$BD$于点$H$,则$HE$的长为.

以B为原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
正方形ABCD边长为3，故各点坐标：B(0,0)，C(3,0)，D(3,3)，A(0,3)。
∵DE=2，CD=3，∴E在CD上，E(3,3-2)=(3,1)。
∵BG=2，G在CB延长线上，∴G(-2,0)。
设直线GE的解析式为y=kx+b，将G(-2,0)，E(3,1)代入：
$\begin{cases} -2k+b=0 \\ 3k+b=1 \end{cases}$，解得$k=\frac{1}{5}$，$b=\frac{2}{5}$，∴直线GE：$y=\frac{1}{5}x+\frac{2}{5}$。
BD为正方形对角线，B(0,0)，D(3,3)，其解析式为y=x。
联立$\begin{cases} y=x \\ y=\frac{1}{5}x+\frac{2}{5} \end{cases}$，解得$x=\frac{1}{2}$，$y=\frac{1}{2}$，∴H($\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$)。
HE=$\sqrt{(3-\frac{1}{2})^2+(1-\frac{1}{2})^2}=\sqrt{(\frac{5}{2})^2+(\frac{1}{2})^2}=\sqrt{\frac{25}{4}+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{26}{4}}=\frac{\sqrt{26}}{2}$。
$\frac{\sqrt{26}}{2}$

18. 在平面直角坐标系中,对于点$P(x,y)$,$Q(x,y')$,若满足$y' = \begin{cases}-y(x ≥ -1),\\y(x ＜ -1),\end{cases}$则称点$Q$为点$P$的理想点,如点$(2,3)$为点$(2,-3)$的理想点,而点$(-2,3)$的理想点就是点$(-2,3)$.已知$P$为直线$y = -2x - 2$上一点,点$P$的理想点为点$Q(x,y')$.当$-4 ≤ x ≤ k$时,$0 ≤ y' ≤ 6$,则$k$的取值范围是 ______ .

$-4 ≤ k ≤ 2$

当$-4 ≤ x ≤ k$时，点$Q(x,y')$的$y'$需满足$0 ≤ y' ≤ 6$。点$P(x,y)$在直线$y=-2x-2$上，故$y=-2x-2$，点$Q$的$y'$分两种情况：
情况1：$x ＜ -1$时，$y' = y = -2x - 2$
此时$y' = -2x - 2$是减函数。
当$x = -4$时，$y' = -2(-4) - 2 = 6$；
当$x \to -1^-$时，$y' \to -2(-1) - 2 = 0$。
故$x \in [-4, -1)$时，$y' \in (0, 6]$，满足$0 ≤ y' ≤ 6$。
情况2：$x ≥ -1$时，$y' = -y = 2x + 2$
此时$y' = 2x + 2$是增函数。
当$x = -1$时，$y' = 2(-1) + 2 = 0$；
要使$y' ≤ 6$，则$2x + 2 ≤ 6 ⇒ x ≤ 2$。
故$x \in [-1, 2]$时，$y' \in [0, 6]$，满足$0 ≤ y' ≤ 6$。
综合分析
当$-4 ≤ k ≤ 2$时，$-4 ≤ x ≤ k$包含$x ＜ -1$和$x ≥ -1$的部分，且$y'$均满足$0 ≤ y' ≤ 6$。若$k ＞ 2$，则$x ＞ 2$时$y' = 2x + 2 ＞ 6$，不满足；若$k ＜ -4$，$x$范围不存在。

19. (本小题 12 分)解方程.
(1) $x^{2} - 4x - 7 = 0$;
(2) $3x(2x + 1) = 4x + 2$.

(1)
解：对于方程$x^{2} - 4x - 7 = 0$，
移项得$x^{2} - 4x = 7$，
配方得$x^{2} - 4x + 4 = 7 + 4$，
即$(x - 2)^{2}=11$，
开方得$x - 2=\pm\sqrt{11}$，
解得$x_{1}=2 + \sqrt{11}$，$x_{2}=2 - \sqrt{11}$。
(2)
解：对于方程$3x(2x + 1) = 4x + 2$，
将右边变形为$3x(2x + 1)-2(2x + 1)=0$，
因式分解得$(2x + 1)(3x - 2)=0$，
则$2x + 1 = 0$或$3x - 2 = 0$，
由$2x + 1 = 0$得$x_{1}=-\frac{1}{2}$，
由$3x - 2 = 0$得$x_{2}=\frac{2}{3}$。