4. （2024·扬州）已知点A，B，M，E，F依次在直线l上，点A，B固定不动，且AB=2，分别以AB，EF为边在直线l同侧作正方形ABCD、正方形EFGH，∠PMN=90°，直角边MP恒过点C，直角边MN恒过点H.
（1）如图①，若BE=10，EF=12，求点M与点B之间的距离；
（2）如图①，若BE=10，当点M在点B，E之间运动时，求HE长的最大值；
（3）如图②，若BF=22，当点E在点B，F之间运动时，点M随之运动，连接CH，O是CH的中点，连接HB，MO，求2OM+HB的最小值.

（1）$4$或$6$；（2）$\frac{25}{2}$；（3）$2\sqrt{221}$。

（1）设直线$l$为$x$轴，$A(0,0)$，$B(2,0)$，则$C(2,2)$。设$M(m,0)$，$E(12,0)$，$H(12,12)$。直线$MP$斜率$k_1=\frac{2}{2-m}$，直线$MN$斜率$k_2=\frac{12}{12-m}$。由$k_1k_2=-1$得$\frac{2}{2-m}·\frac{12}{12-m}=-1$，解得$m=6$或$8$，故$MB=4$或$6$。
（2）设$HE=x$，$E(12,0)$，$H(12,x)$，$M(m,0)$。由$k_1k_2=-1$得$\frac{2}{2-m}·\frac{x}{12-m}=-1$，整理得$x=\frac{-(m-7)^2+25}{2}$。当$m=7$时，$x_{\mathrm{max}}=\frac{25}{2}$。
（3）设$F(24,0)$，$E(e,0)$，$H(e,24-e)$，$M(m,0)$。由$k_1k_2=-1$得$e=m+\frac{48}{m}-2$。$O(\frac{e+2}{2},\frac{26-e}{2})$，$HB=\sqrt{(e-2)^2+(24-e)^2}$，$2OM=\sqrt{(m-\frac{48}{m})^2+(k-28)^2}$（$k=m+\frac{48}{m}$）。转化为求$\sqrt{(k-14)^2+10^2}+\sqrt{(k-15)^2+11^2}$最小值，由几何意义得最小值为$\sqrt{442}$，故$2OM+HB=2\sqrt{221}$。