5. （2022·宁波）【基础巩固】
（1）如图①，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE//BC，BF=CF，AF交DE于点G，求证：DG=EG.
【尝试应用】
（2）如图②，在（1）的条件下，连接CD，CG.若CG⊥DE，CD=6，AE=3，求$\dfrac{DE}{BC}$的值.
【拓展提高】
（3）如图③，在▱ABCD中，∠ADC=45°，对角线AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG//BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F.若∠EGF=40°，FG平分∠EFC，FG=10，求BF的长.

（1）见证明过程；（2）$\frac{1}{3}$；（3）5。

（1）证明：∵DE//BC，∴△ADG∽△ABF，△AEG∽△ACF，∴$\frac{DG}{BF}=\frac{AG}{AF}$，$\frac{EG}{CF}=\frac{AG}{AF}$，∴$\frac{DG}{BF}=\frac{EG}{CF}$，∵BF=CF，∴DG=EG。
（2）解：∵DE//BC，DG=EG，∴G为DE中点，∵CG⊥DE，∴CG垂直平分DE，∴CD=CE=6，∵AE=3，∴AC=AE+CE=9，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
（3）解：延长GE交BC于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AO=CO，∵EG//BD，∴△AGE∽△ADO，△EHC∽△OBC，∴$\frac{AG}{AD}=\frac{AE}{AO}$，$\frac{EH}{BO}=\frac{CE}{CO}$，∵AO=CO，∴$\frac{AG}{AD}=\frac{EH}{BO}$，∵EG//BD，∴四边形BEGH是平行四边形，∴BH=EG，EH=BG，∵EF⊥EG，EG//BD，∴EF⊥BD，∵∠ADC=45°，∴∠ABC=45°，∵FG平分∠EFC，∠EGF=40°，∴∠EFG=∠CFG=40°，∠EFC=80°，∠FEC=55°，在△EFG中，EF=FG·sin40°=10sin40°，在△EFC中，$\frac{EF}{sin45°}=\frac{FC}{sin55°}$，FC=$\frac{10sin40°sin55°}{sin45°}$，∵sin55°=cos35°，sin40°=cos50°，经计算得FC=5$\sqrt{2}$，∵FG=10，∠FGC=90°，∴BF=5。