8. (★★) 若$□ ABCD$的周长为$28\ cm$，$△ ABC$的周长为$17\ cm$，则$AC$的长为【 】

A.$5.5\ cm$
B.$3\ cm$
C.$4\ cm$
D.$11\ cm$

B

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC。
∵平行四边形ABCD的周长为28 cm，∴AB+BC+CD+AD=28 cm，即2(AB+BC)=28 cm，∴AB+BC=14 cm。
∵△ABC的周长为17 cm，即AB+BC+AC=17 cm，∴AC=17 cm - (AB+BC)=17 cm - 14 cm=3 cm。

9. (★★) 从平行四边形的一个锐角的顶点作不过该顶点的两边上的两条高线，若这两条高线的夹角是$135^{\circ}$，则这个平行四边形的锐角的度数是。

【解析】：
本题可根据平行四边形的性质以及四边形内角和定理来求解锐角的度数。
设平行四边形为ABCD，∠ A为锐角，从A点向BC作AE⊥ BC于E，向CD的延长线作AF⊥ CD于F，则$∠ AEC = ∠ AFC = 90^{\circ}$，已知$∠ EAF = 135^{\circ}$。
在四边形AECF中，根据四边形内角和为$360^{\circ}$，可得$∠ C=360^{\circ}-∠ AEC - ∠ AFC - ∠ EAF = 360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ}$。

10. (★★) 如图，在$□ ABCD$中，点$E$，$F$在对角线$BD$上，$AE⊥AD$于点$A$，$CF⊥BC$于点$C$。
求证：(1)$△ EAD≌△ FCB$；
(2)$AE// CF$。

(1) ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD//BC，∴∠ADE=∠CBF。
∵AE⊥AD，CF⊥BC，∴∠EAD=∠FCB=90°。
在△EAD和△FCB中，
∠EAD=∠FCB，
AD=BC，
∠ADE=∠CBF，
∴△EAD≌△FCB（ASA）。
(2) 由(1)知△EAD≌△FCB，∴∠AED=∠CFB。
∵∠AED+∠AEB=180°，∠CFB+∠CFD=180°，
∴∠AEB=∠CFD，
∴AE//CF（内错角相等，两直线平行）。

11. (★★) 在$□ ABCD$中，$∠A:∠B:∠C:∠D$的值可以是【 】

A.$1:2:3:4$
B.$1:2:2:1$
C.$1:1:2:2$
D.$2:1:2:1$

D

在平行四边形中，相对的两个角的角度相等，即$∠A=∠C$，$∠B=∠D$。
且，平行四边形的相邻角互补，即$∠A+∠B=180°$，
这说明$∠A$和$∠B$的比例和不能等于1（除非都是$90°$），且$∠A:∠B:∠C:∠D$的比值需要满足两个相对角相等的条件。
A. $1:2:3:4$：这里$∠A$不等于$∠C$，$∠B$不等于$∠D$，不满足平行四边形的性质。
B. $1:2:2:1$：这里$∠A$等于$∠D$（如果按顺序对应的话），但$∠A$不等于$∠C$，不满足平行四边形的性质。
C. $1:1:2:2$：这里如果$∠A$对应比例中的1，$∠C$对应比例中的2，则$∠A$不等于$∠C$，不满足平行四边形的性质；
如果$∠A$对应比例中的第一个1，而另一个1对应的是$∠D$（即把比例看作$∠A:∠B:∠C:∠D = 1:1:2:2$中的第一个和第四个为一对相对角），
那么虽然$∠A$等于它自己（相对角），但$∠B$却等于$∠C$（如果按这种对应，$∠B$和$∠C$都应该是2），这又违反了平行四边形的另一性质——相邻角互补（因为此时$∠A$和$∠B$相等，无法互补）。
D. $2:1:2:1$：这里$∠A$等于$∠C$，$∠B$等于$∠D$，且它们的比例和满足相邻角互补的条件（即如果$∠A$是$2x$，$∠B$是$x$，那么$2x+x=180°$，$x=60°$，这是一个有效的解），满足平行四边形的性质。

12. (★★) 如图，在$□ ABCD$中，$∠B = 120^{\circ}$，延长$AD$至点$F$，延长$CD$至点$E$，连接$EF$，则$∠E + ∠F$的度数为【 】

A.$30^{\circ}$
B.$50^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$120^{\circ}$

C

在$□ABCD$中，$∠B=120^{\circ}$，则$∠ADC=∠B=120^{\circ}$（平行四边形对角相等）。$∠EDF=∠ADC=120^{\circ}$（对顶角相等）。在$△ EDF$中，$∠E + ∠F = 180^{\circ} - ∠EDF = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$。

13. (★★) 如图，在$□ ABCD$中，过对角线$BD$上一点$P$作$EF// BC$，$GH// AB$，且$CG = 2BG$，若$S_{△ BPG} = 1$，则$S_{□ AEPH}$的值为。

4

设$BG=a$，则$CG=2a$，$BC=3a$。
∵$GH// AB$，$EF// BC$，∴四边形$EBGP$、$PFCG$、$AEPH$、$PHDF$均为平行四边形。
∵$△BPG$是$□EBGP$的对角线分得的三角形，∴$S_{□EBGP}=2S_{△BPG}=2×1=2$。
∵$BG=a$，$CG=2a$，且$□EBGP$与$□PFCG$等高，∴$S_{□PFCG}=2S_{□EBGP}=4$。
∵$GH// AB$，∴$△BPG∽ △BDC$，相似比为$\frac{BG}{BC}=\frac{1}{3}$，面积比为$\frac{1}{9}$，则$S_{△BDC}=9S_{△BPG}=9$，故$S_{□ABCD}=2S_{△BDC}=18$。
设$S_{□AEPH}=S$，$□AEPH$与$□PHDF$等高，底之比为$AH:HD=BG:GC=1:2$，∴$S_{□PHDF}=2S$。
由$S_{□ABCD}=S+2+4+2S=18$，得$3S=12$，$S=4$。

14. (★★) 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$AE⊥BD$于点$E$，若$∠EAD = 60^{\circ}$，$AE = 2\ cm$，$AC + BD = 14\ cm$，则$△ OBC$的周长为【 】

A.$11\ cm$
B.$14\ cm$
C.$16\ cm$
D.$18\ cm$

A

在$□ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，则$AO=OC$，$BO=OD$，$AD=BC$。
$\because AC + BD = 14\ cm$，$\therefore 2(OC + OB)=14\ cm$，即$OC + OB=7\ cm$。
$\because AE⊥ BD$，$∠ EAD = 60^{\circ}$，$\therefore ∠ AED = 90^{\circ}$，$∠ ADE=30^{\circ}$。
在$Rt△ AED$中，$∠ ADE=30^{\circ}$，$AE = 2\ cm$，$\therefore AD=2AE=4\ cm$，故$BC=AD=4\ cm$。
$△ OBC$的周长为$OB + OC + BC=7\ cm + 4\ cm=11\ cm$。

15. (★★) 如图，在$□ ABCD$中，$EF$过对角线的交点$O$，如果$AB = 4\ cm$，$AD = 3\ cm$，$OF = 1\ cm$，那么$EF$的长为，四边形$BCFE$的周长为。

2cm；9cm

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB=CD=4cm，AD=BC=3cm，AB//CD，
∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，
在△AOE和△COF中，
$\{\begin{array}{l} ∠OAE=∠OCF\\ ∠OEA=∠OFC\\ OA=OC\end{array} $，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF=1cm，
∴EF=OE+OF=2cm；
∵△AOE≌△COF，
∴CF=AE，
∴四边形BCFE的周长=BC+CF+EF+BE=BC+（AE+BE）+EF=BC+AB+EF=3+4+2=9cm。