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1. 有一组邻边相等的
矩形
是正方形；有一个角是直角的菱形
是正方形。答案
1. 矩形 菱形
2. 正方形的对角线长为12 cm，则正方形的周长是
$24\sqrt{2}$ cm
，面积是$72$ cm²
。答案
2. $24\sqrt{2}$ cm $72$ cm²
3. 正方形的面积为49 cm²，则它的边长为
$7$ cm
，对角线长为$7\sqrt{2}$ cm
。答案
3. $7$ cm $7\sqrt{2}$ cm
4. 如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD，CE平分∠ACB交BD于点E，则BE =
$\sqrt{2}-1$
。答案
4. $\sqrt{2}-1$
5. 下列结论：
①正方形具有平行四边形的一切性质；
②正方形具有矩形的一切性质；
③正方形具有菱形的一切性质；
④正方形具有四边形的一切性质。
其中正确的结论有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①正方形具有平行四边形的一切性质；
②正方形具有矩形的一切性质；
③正方形具有菱形的一切性质；
④正方形具有四边形的一切性质。
其中正确的结论有(
D
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
5. D
6. 如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE = BF。求证：EA⊥AF。
答案
6. 证明:
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ $AB = AD$, $∠ABC = ∠D = ∠BAD = 90^{\circ}$,
∴ $∠ABF = 90^{\circ} = ∠D$.
又
∵ $DE = BF$,
∴ $△ABF ≌ △ADE$,
∴ $∠FAB = ∠EAD$.
又 $∠EAD + ∠EAB = 90^{\circ}$,
∴ $∠FAB + ∠EAB = 90^{\circ} = ∠EAF$,
∴ $EA ⊥ AF$.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ $AB = AD$, $∠ABC = ∠D = ∠BAD = 90^{\circ}$,
∴ $∠ABF = 90^{\circ} = ∠D$.
又
∵ $DE = BF$,
∴ $△ABF ≌ △ADE$,
∴ $∠FAB = ∠EAD$.
又 $∠EAD + ∠EAB = 90^{\circ}$,
∴ $∠FAB + ∠EAB = 90^{\circ} = ∠EAF$,
∴ $EA ⊥ AF$.
1. 已知正方形ABCD的周长为16 cm，顺次连接正方形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为
$8\sqrt{2}$
cm，面积为$8$
cm²。答案
1. $8\sqrt{2}$ $8$
2. 如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB = ∠CFD = 90°，AE = CF = 5，BE = DF = 12，则EF的长是
$7\sqrt{2}$
。答案
2. $7\sqrt{2}$
3. 正方形的对角线长为a，则它的对角线的交点到各边的距离是(
A.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}a$
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{4}a$
C.$\dfrac{a}{2}$
D.$2\sqrt{2}a$
B
)A.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}a$
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{4}a$
C.$\dfrac{a}{2}$
D.$2\sqrt{2}a$
答案
3. B
4. 如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于E，F，则阴影部分的面积是
1
。答案
4. 1
5. 如图，已知正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，CE = CF。
(1)求证：△BEC≌△DFC；
(2)若∠BEC = 60°，求∠EFD的度数。
(1)求证：△BEC≌△DFC；
(2)若∠BEC = 60°，求∠EFD的度数。
答案
5. (1)证明:
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ $BC = CD$, $∠BCD = ∠DCF = 90^{\circ}$.
在 $Rt△BCE$ 和 $Rt△DCF$ 中
$\begin{cases} BC = CD, \\ ∠BCD = ∠DCF, \\ CE = CF, \end{cases}$
∴ $Rt△BCE ≌ Rt△DCF(SAS)$.
(2)解:
∵ $Rt△BCE ≌ Rt△DCF$,
∴ $∠BEC = ∠DFC = 60^{\circ}$.
在 $Rt△ECF$ 中 $CE = CF$,
∴ $∠CFE = ∠CEF = \frac{1}{2}(180^{\circ} - 90^{\circ}) = 45^{\circ}$,
∴ $∠EFD = ∠CFD - ∠CFE = 60^{\circ} - 45^{\circ} = 15^{\circ}$.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ $BC = CD$, $∠BCD = ∠DCF = 90^{\circ}$.
在 $Rt△BCE$ 和 $Rt△DCF$ 中
$\begin{cases} BC = CD, \\ ∠BCD = ∠DCF, \\ CE = CF, \end{cases}$
∴ $Rt△BCE ≌ Rt△DCF(SAS)$.
(2)解:
∵ $Rt△BCE ≌ Rt△DCF$,
∴ $∠BEC = ∠DFC = 60^{\circ}$.
在 $Rt△ECF$ 中 $CE = CF$,
∴ $∠CFE = ∠CEF = \frac{1}{2}(180^{\circ} - 90^{\circ}) = 45^{\circ}$,
∴ $∠EFD = ∠CFD - ∠CFE = 60^{\circ} - 45^{\circ} = 15^{\circ}$.
