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6. 如图，四边形$BCDF$是平行四边形，已知$∠ A=40^{\circ}$，$∠ ABF=30^{\circ}$，则$∠ CDE=$.
答案
110°
解析
在△ABF中，∠A=40°，∠ABF=30°，所以∠AFB=180°-40°-30°=110°。因为四边形BCDF是平行四边形，所以BF//CD，故∠CDE=∠AFB=110°。
7. 如图，▱$ABCD$的对角线$AC$和$BD$相交于点$O$，$EF$过点$O$与$AD$、$BC$相交于点$E$、$F$，若$AB=5$，$BC=6$，$OF=2$，那么四边形$ABFE$的周长是.
答案
15
解析
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$OA=OC$，$AB=CD=5$，$AD=BC=6$。
∵$AD// BC$，∴$∠OAE=∠OCF$。
在$△ AOE$和$△ COF$中，
$\begin{cases} ∠OAE=∠OCF \\ OA=OC \\ ∠AOE=∠COF \end{cases}$，
∴$△ AOE≌△ COF(ASA)$，∴$OE=OF=2$，$AE=CF$。
∵$EF=OE+OF=4$，
四边形$ABFE$的周长$=AB+BF+EF+AE=AB+(BF+CF)+EF=AB+BC+EF=5+6+4=15$。
8. 如图，在▱$ABCD$中，$∠ A+∠ C=100^{\circ}$，平行四边形的周长是$40\mathrm{cm}$，且$AB-BC=6\mathrm{cm}$，求平行四边形各边的长和各内角的度数.
答案
在▱$ABCD$中：
1. 内角计算：
因为平行四边形对角相等，所以$∠A=∠C$。
已知$∠A + ∠C = 100^{\circ}$，则$2∠A = 100^{\circ}$，解得$∠A = ∠C = 50^{\circ}$。
因为平行四边形邻角互补，所以$∠B = ∠D = 180^{\circ} - ∠A = 130^{\circ}$。
2. 边长计算：
设$BC = x\ \mathrm{cm}$，则$AB = (x + 6)\ \mathrm{cm}$。
平行四边形周长为$2(AB + BC) = 40\ \mathrm{cm}$，即$2[(x + 6) + x] = 40$。
化简得$2(2x + 6) = 40$，$4x + 12 = 40$，$4x = 28$，解得$x = 7$。
所以$BC = 7\ \mathrm{cm}$，$AB = 7 + 6 = 13\ \mathrm{cm}$。
因为平行四边形对边相等，所以$AD = BC = 7\ \mathrm{cm}$，$CD = AB = 13\ \mathrm{cm}$。
结论：各边长为$AB = CD = 13\ \mathrm{cm}$，$AD = BC = 7\ \mathrm{cm}$；各内角度数为$∠A = ∠C = 50^{\circ}$，$∠B = ∠D = 130^{\circ}$。
1. 内角计算：
因为平行四边形对角相等，所以$∠A=∠C$。
已知$∠A + ∠C = 100^{\circ}$，则$2∠A = 100^{\circ}$，解得$∠A = ∠C = 50^{\circ}$。
因为平行四边形邻角互补，所以$∠B = ∠D = 180^{\circ} - ∠A = 130^{\circ}$。
2. 边长计算：
设$BC = x\ \mathrm{cm}$，则$AB = (x + 6)\ \mathrm{cm}$。
平行四边形周长为$2(AB + BC) = 40\ \mathrm{cm}$，即$2[(x + 6) + x] = 40$。
化简得$2(2x + 6) = 40$，$4x + 12 = 40$，$4x = 28$，解得$x = 7$。
所以$BC = 7\ \mathrm{cm}$，$AB = 7 + 6 = 13\ \mathrm{cm}$。
因为平行四边形对边相等，所以$AD = BC = 7\ \mathrm{cm}$，$CD = AB = 13\ \mathrm{cm}$。
结论：各边长为$AB = CD = 13\ \mathrm{cm}$，$AD = BC = 7\ \mathrm{cm}$；各内角度数为$∠A = ∠C = 50^{\circ}$，$∠B = ∠D = 130^{\circ}$。
9. 如图，在▱$ABCD$中，$∠ ABC$的平分线交$AD$于点$E$，$∠ BCD$的平分线交$AD$于点$F$，交$BE$于点$G$.
（1）求证：$AF=DE$；
（2）若$AD=16$，$EF=12$，请求出▱$ABCD$的周长.
（1）求证：$AF=DE$；
（2）若$AD=16$，$EF=12$，请求出▱$ABCD$的周长.
答案
（1）见证明；（2）60。
解析
（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD，AD=BC。
∵AD//BC，∴∠AEB=∠EBC（内错角相等）。
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE（等角对等边）。
同理，AD//BC，∴∠DFC=∠BCF（内错角相等）。
∵CF平分∠BCD，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠DFC，∴CD=DF（等角对等边）。
∵AB=CD，∴AE=DF。
∴AE-EF=DF-EF，即AF=DE。
（2）设AB=x，由（1）知AE=AB=x，DF=CD=x。
∵AD=16，∴ED=AD-AE=16-x。
由（1）知AF=DE=16-x。
∵AD=AF+EF+ED，EF=12，
∴(16-x)+12+(16-x)=16，
解得x=14。
∴▱ABCD的周长=2(AB+AD)=2×(14+16)=60。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD，AD=BC。
∵AD//BC，∴∠AEB=∠EBC（内错角相等）。
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE（等角对等边）。
同理，AD//BC，∴∠DFC=∠BCF（内错角相等）。
∵CF平分∠BCD，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠DFC，∴CD=DF（等角对等边）。
∵AB=CD，∴AE=DF。
∴AE-EF=DF-EF，即AF=DE。
（2）设AB=x，由（1）知AE=AB=x，DF=CD=x。
∵AD=16，∴ED=AD-AE=16-x。
由（1）知AF=DE=16-x。
∵AD=AF+EF+ED，EF=12，
∴(16-x)+12+(16-x)=16，
解得x=14。
∴▱ABCD的周长=2(AB+AD)=2×(14+16)=60。
10. （推理能力）如图，在▱$ABCD$中，$AB=AE$.若$AE$平分$∠ DAB$.
（1）求证：$△ ABC≌△ EAD$；
（2）若$∠ EAC=25^{\circ}$，求$∠ AED$的度数.
（1）求证：$△ ABC≌△ EAD$；
（2）若$∠ EAC=25^{\circ}$，求$∠ AED$的度数.
答案
（2）35°
解析
（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，∠ABC=∠ADC，AB//CD。
∵AD//BC，∴∠DAE=∠AEB（两直线平行，内错角相等）。
∵AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE（等角对等边）。
∵AB=AE，∴AB=AE=BE，∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE=60°，∴∠DAE=∠BAE=60°。
∵AD//BC，∴∠DAB+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠DAB=2∠BAE=120°，∴∠ABC=60°，∴∠ABC=∠DAE。
在△ABC和△EAD中，
$\{\begin{array}{l} AB=AE \\ ∠ABC=∠DAE \\ BC=AD \end{array} $，
∴△ABC≌△EAD（SAS）。
（2）解：
由（1）知△ABE是等边三角形，∴∠BAE=60°。
∵∠EAC=25°，∴∠BAC=∠BAE - ∠EAC=60° - 25°=35°。
∵△ABC≌△EAD，∴∠AED=∠BAC=35°。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，∠ABC=∠ADC，AB//CD。
∵AD//BC，∴∠DAE=∠AEB（两直线平行，内错角相等）。
∵AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE（等角对等边）。
∵AB=AE，∴AB=AE=BE，∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE=60°，∴∠DAE=∠BAE=60°。
∵AD//BC，∴∠DAB+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠DAB=2∠BAE=120°，∴∠ABC=60°，∴∠ABC=∠DAE。
在△ABC和△EAD中，
$\{\begin{array}{l} AB=AE \\ ∠ABC=∠DAE \\ BC=AD \end{array} $，
∴△ABC≌△EAD（SAS）。
（2）解：
由（1）知△ABE是等边三角形，∴∠BAE=60°。
∵∠EAC=25°，∴∠BAC=∠BAE - ∠EAC=60° - 25°=35°。
∵△ABC≌△EAD，∴∠AED=∠BAC=35°。
