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【典例3】在图中，平行线之间的三个图形的面积相比，正确的是()
A.平行四边形的面积最大
B.三角形的面积最大
C.梯形的面积最大
D.三个图形的面积都相等
解析：设两平行线间的距离为$h$，由图可知，平行四边形的面积为$4h$，三角形的面积为$\frac{1}{2}×8h=4h$，梯形的面积为$\frac{1}{2}(2+6)h=4h$，故三个图形的面积都相等.
A.平行四边形的面积最大
B.三角形的面积最大
C.梯形的面积最大
D.三个图形的面积都相等
解析：设两平行线间的距离为$h$，由图可知，平行四边形的面积为$4h$，三角形的面积为$\frac{1}{2}×8h=4h$，梯形的面积为$\frac{1}{2}(2+6)h=4h$，故三个图形的面积都相等.
答案
D
解析
设两平行线间的距离为$h$。
平行四边形的面积：底为$4$，高为$h$，根据平行四边形面积公式$S = 底×高$，可得其面积为$4h$。
三角形的面积：底为$8$，高为$h$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得其面积为$\frac{1}{2}×8h = 4h$。
梯形的面积：上底为$2$，下底为$6$，高为$h$，根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}(上底 + 下底)×高$，可得其面积为$\frac{1}{2}(2 + 6)h=4h$。
所以三个图形的面积都相等。
平行四边形的面积：底为$4$，高为$h$，根据平行四边形面积公式$S = 底×高$，可得其面积为$4h$。
三角形的面积：底为$8$，高为$h$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得其面积为$\frac{1}{2}×8h = 4h$。
梯形的面积：上底为$2$，下底为$6$，高为$h$，根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}(上底 + 下底)×高$，可得其面积为$\frac{1}{2}(2 + 6)h=4h$。
所以三个图形的面积都相等。
【对点训练】
3. 如图，$P$是▱$ABCD$内一点，且$S_{△ PAB}=6$，$S_{△ PAD}=2$，则阴影部分的面积为.
3. 如图，$P$是▱$ABCD$内一点，且$S_{△ PAB}=6$，$S_{△ PAD}=2$，则阴影部分的面积为.
答案
4
解析
设平行四边形ABCD的面积为S，连接AC。在平行四边形中，S△ABC=S△ADC=S/2。对于内部点P，有S△PAB + S△PCD = S/2，S△PAD + S△PBC = S/2。已知S△PAB=6，S△PAD=2，设S△PCD=y，则S/2=6+y。阴影部分为△PAC，其面积=S△ADC - S△PAD - S△PCD=(S/2)-2 - y=(6+y)-2 - y=4。
1. 如图，在▱$ABCD$中，$EF// AD$，$HN// AB$，则图中的平行四边形(不包括四边形$ABCD$)的个数共有()
A.$9$个
B.$8$个
C.$6$个
D.$4$个
A.$9$个
B.$8$个
C.$6$个
D.$4$个
答案
B
解析
在▱ABCD中，AB//CD，AD//BC。∵EF//AD，HN//AB，∴EF//BC，HN//CD。水平方向有AD、EF、BC三条平行线，竖直方向有AB、HN、CD三条平行线，它们相交形成网格。
单个小平行四边形（相邻平行线围成）：AB-HN与AD-EF、HN-CD与AD-EF、AB-HN与EF-BC、HN-CD与EF-BC，共4个；
两个小平行四边形组合：横向（AD-EF间AB-CD）、（EF-BC间AB-CD）；纵向（AB-HN间AD-BC）、（HN-CD间AD-BC），共4个。
合计4+4=8个（不包括▱ABCD）。
单个小平行四边形（相邻平行线围成）：AB-HN与AD-EF、HN-CD与AD-EF、AB-HN与EF-BC、HN-CD与EF-BC，共4个；
两个小平行四边形组合：横向（AD-EF间AB-CD）、（EF-BC间AB-CD）；纵向（AB-HN间AD-BC）、（HN-CD间AD-BC），共4个。
合计4+4=8个（不包括▱ABCD）。
2. 如图，在▱$ABCD$中，$BE$平分$∠ ABC$交$AD$于点$E$，已知$∠ D=50^{\circ}$，则$∠ AEB$的度数为()
A.$28^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$25^{\circ}$
D.$20^{\circ}$
A.$28^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$25^{\circ}$
D.$20^{\circ}$
答案
C
解析
在▱ABCD中，∠D=50°，则∠ABC=∠D=50°（平行四边形对角相等）。BE平分∠ABC，故∠ABE=∠EBC=25°。AD//BC（平行四边形对边平行），所以∠AEB=∠EBC=25°（两直线平行，内错角相等）。
3. 在▱$ABCD$中，$AB=AC$，$∠ CAB=40^{\circ}$，则$∠ D$的度数是()
A.$40^{\circ}$
B.$50^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$70^{\circ}$
A.$40^{\circ}$
B.$50^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$70^{\circ}$
答案
D
解析
在平行四边形$ABCD$中，$AB = AC$，可知$△ ABC$为等腰三角形。
已知$∠ CAB = 40^{\circ}$，根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和定理，可得$∠ ABC = ∠ ACB = \frac{180^{\circ} - 40^{\circ}}{2}=70^{\circ}$。
因为在平行四边形$ABCD$中，$∠ D=∠ B$，所以$∠ D = 70^{\circ}$。
已知$∠ CAB = 40^{\circ}$，根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和定理，可得$∠ ABC = ∠ ACB = \frac{180^{\circ} - 40^{\circ}}{2}=70^{\circ}$。
因为在平行四边形$ABCD$中，$∠ D=∠ B$，所以$∠ D = 70^{\circ}$。
4. 如图，在▱$ABCD$中，$∠ ADC$的平分线交$AB$边于点$E$.若$CD=5$，$BE=3$，则$BC$的长为()
A.$\frac{3}{2}$
B.$2$
C.$\frac{5}{2}$
D.$3$
A.$\frac{3}{2}$
B.$2$
C.$\frac{5}{2}$
D.$3$
答案
B
解析
在▱$ABCD$中，$AB// CD$，$AB=CD=5$，$AD=BC$。
∵$DE$平分$∠ADC$，∴$∠ADE=∠CDE$。
∵$AB// CD$，∴$∠AED=∠CDE$。
∴$∠ADE=∠AED$，故$AD=AE$。
∵$AB=5$，$BE=3$，∴$AE=AB - BE=5 - 3=2$。
∴$AD=AE=2$，即$BC=AD=2$。
∵$DE$平分$∠ADC$，∴$∠ADE=∠CDE$。
∵$AB// CD$，∴$∠AED=∠CDE$。
∴$∠ADE=∠AED$，故$AD=AE$。
∵$AB=5$，$BE=3$，∴$AE=AB - BE=5 - 3=2$。
∴$AD=AE=2$，即$BC=AD=2$。
5. 如图，$M$是▱$ABCD$的边$AB$上任意一点(不与点$A$、$B$重合)，设$△ AMD$的面积为$S_{1}$，$△ BMC$的面积为$S_{2}$，$△ CDM$的面积为$S$，则()
A.$S=S_{1}+S_{2}$
B.$S＞S_{1}+S_{2}$
C.$S＜S_{1}+S_{2}$
D.不能确定
A.$S=S_{1}+S_{2}$
B.$S＞S_{1}+S_{2}$
C.$S＜S_{1}+S_{2}$
D.不能确定
答案
A
解析
由题可知，平行四边形ABCD中，AB平行于CD，设平行四边形的高为h，AB=CD=a，AM=x，MB=a-x，
则$S_1$=$\frac{1}{2} × x × h$，
$S_2=\frac{1}{2} × (a-x) × h$，
$S_{1}+S_{2}=\frac{1}{2} × x × h+\frac{1}{2} × (a-x) × h=\frac{1}{2} ah$，
$S=\frac{1}{2} × CD × h=\frac{1}{2} ah$，
即$S=S_{1}+S_{2}$。
则$S_1$=$\frac{1}{2} × x × h$，
$S_2=\frac{1}{2} × (a-x) × h$，
$S_{1}+S_{2}=\frac{1}{2} × x × h+\frac{1}{2} × (a-x) × h=\frac{1}{2} ah$，
$S=\frac{1}{2} × CD × h=\frac{1}{2} ah$，
即$S=S_{1}+S_{2}$。
