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1. 计算 $ a(a - 3) $，结果是(
A.$ a^2 - 3a $
B.$ a^2 + 3a $
C.$ a^2 - 7a $
D.$ a^2 - a $
A
)A.$ a^2 - 3a $
B.$ a^2 + 3a $
C.$ a^2 - 7a $
D.$ a^2 - a $
答案
1. A
解析
【分析】
这道题考查单项式乘多项式的运算，解题思路是运用乘法分配律，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。首先明确单项式乘多项式的法则：用单项式分别乘以多项式的每一项，然后将结果相加。具体到本题，就是用a乘以a，再用a乘以-3，最后把这两个乘积相加，得到结果后对比选项即可选出正确答案。
【解析】
根据单项式乘多项式的法则计算：
$\begin{aligned}a(a - 3)&=a· a + a·(-3)\\&=a^2 - 3a\end{aligned}$
对比选项可知结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
单项式乘多项式法则、整式乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心是运用乘法分配律进行运算，解题时需注意符号的正确处理，避免因符号失误导致错误，只要掌握基本法则就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
这道题考查单项式乘多项式的运算，解题思路是运用乘法分配律，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。首先明确单项式乘多项式的法则：用单项式分别乘以多项式的每一项，然后将结果相加。具体到本题，就是用a乘以a，再用a乘以-3，最后把这两个乘积相加，得到结果后对比选项即可选出正确答案。
【解析】
根据单项式乘多项式的法则计算：
$\begin{aligned}a(a - 3)&=a· a + a·(-3)\\&=a^2 - 3a\end{aligned}$
对比选项可知结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
单项式乘多项式法则、整式乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心是运用乘法分配律进行运算，解题时需注意符号的正确处理，避免因符号失误导致错误，只要掌握基本法则就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
2. 下列计算正确的是(
A.$ a^3 + a^3 = 2a^6 $
B.$ (-a^2)^3 = a^6 $
C.$ a^6 · a^2 = a^{12} $
D.$ a^5 · a^3 = a^8 $
D
)A.$ a^3 + a^3 = 2a^6 $
B.$ (-a^2)^3 = a^6 $
C.$ a^6 · a^2 = a^{12} $
D.$ a^5 · a^3 = a^8 $
答案
2. D
解析
【分析】
要判断每个选项的计算是否正确，需分别运用合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘的运算法则逐一分析：
1. 对于选项A，依据合并同类项法则：同类项相加，系数相加，字母和字母的指数不变，判断结果是否正确；
2. 对于选项B，根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，同时注意负数的奇次幂为负，计算后判断；
3. 对于选项C和D，运用同底数幂相乘法则：底数不变，指数相加，分别计算后验证结果是否正确。
【解析】
选项A：$a^3 + a^3$属于合并同类项，根据法则，系数相加，字母及指数不变，结果应为$2a^3$，而非$2a^6$，故A错误；
选项B：根据幂的乘方法则，$(-a^2)^3 = (-1)^3 × (a^2)^3 = -a^{2×3} = -a^6$，而非$a^6$，故B错误；
选项C：根据同底数幂相乘法则，$a^6 · a^2 = a^{6+2} = a^8$，而非$a^{12}$，故C错误；
选项D：根据同底数幂相乘法则，$a^5 · a^3 = a^{5+3} = a^8$，计算正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法
【点评】
本题主要考查整式的基本运算，重点考查合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘的运算法则，需要学生准确区分不同运算的指数处理方式，避免混淆，是基础运算类题型。
【难度系数】
0.8
要判断每个选项的计算是否正确，需分别运用合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘的运算法则逐一分析：
1. 对于选项A，依据合并同类项法则：同类项相加，系数相加，字母和字母的指数不变，判断结果是否正确；
2. 对于选项B，根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，同时注意负数的奇次幂为负，计算后判断；
3. 对于选项C和D，运用同底数幂相乘法则：底数不变，指数相加，分别计算后验证结果是否正确。
【解析】
选项A：$a^3 + a^3$属于合并同类项，根据法则，系数相加，字母及指数不变，结果应为$2a^3$，而非$2a^6$，故A错误；
选项B：根据幂的乘方法则，$(-a^2)^3 = (-1)^3 × (a^2)^3 = -a^{2×3} = -a^6$，而非$a^6$，故B错误；
选项C：根据同底数幂相乘法则，$a^6 · a^2 = a^{6+2} = a^8$，而非$a^{12}$，故C错误；
选项D：根据同底数幂相乘法则，$a^5 · a^3 = a^{5+3} = a^8$，计算正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法
【点评】
本题主要考查整式的基本运算，重点考查合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘的运算法则，需要学生准确区分不同运算的指数处理方式，避免混淆，是基础运算类题型。
【难度系数】
0.8
3. 下列各多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是(
A.$ (-x - y)(x + y) $
B.$ (2x + y)(2x - y) $
C.$ (x^2 - xy)(x^2 + xy) $
D.$ (x + y + m)(x - y - m) $
A
)A.$ (-x - y)(x + y) $
B.$ (2x + y)(2x - y) $
C.$ (x^2 - xy)(x^2 + xy) $
D.$ (x + y + m)(x - y - m) $
答案
3. A
解析
【分析】
要解决这道题，首先得明确平方差公式的核心结构特征：两个二项式相乘，其中必须存在一项完全相同，另一项互为相反数。接下来我们逐个分析每个选项，判断其是否符合这个特征：
1. 对于选项A，先将式子变形，看是否能找到相同项和互为相反数的项；
2. 选项B、C直接观察式子中的项，判断是否存在相同项与互为相反数的项；
3. 选项D可以通过添括号的方式，把部分项看成整体，再判断是否符合平方差公式的结构。
【解析】
平方差公式的标准形式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，其本质是两个因式中，有一项完全相同，另一项互为相反数。
选项A：$(-x - y)(x + y)=-(x+y)(x+y)=-(x+y)^2$，该式子中两个因式对应的两项均互为相反数（$-x$与$x$，$-y$与$y$），不存在完全相同的项，不符合平方差公式的结构特征，不能用平方差公式计算。
选项B：$(2x + y)(2x - y)$中，$2x$是完全相同的项，$y$与$-y$互为相反数，符合平方差公式的结构特征，可利用平方差公式计算。
选项C：$(x^2 - xy)(x^2 + xy)$中，$x^2$是完全相同的项，$-xy$与$xy$互为相反数，符合平方差公式的结构特征，可利用平方差公式计算。
选项D：$(x + y + m)(x - y - m)=[x+(y+m)][x-(y+m)]$，将$y+m$看成一个整体后，$x$是完全相同的项，$(y+m)$与$-(y+m)$互为相反数，符合平方差公式的结构特征，可利用平方差公式计算。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式的结构特征
【点评】
本题重点考查对平方差公式结构的理解与应用，解题的关键是准确识别式子中的相同项和互为相反数的项，对于形式稍复杂的式子，可通过添括号、变形等方式转化为符合平方差公式的形式。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先得明确平方差公式的核心结构特征：两个二项式相乘，其中必须存在一项完全相同，另一项互为相反数。接下来我们逐个分析每个选项，判断其是否符合这个特征：
1. 对于选项A，先将式子变形，看是否能找到相同项和互为相反数的项；
2. 选项B、C直接观察式子中的项，判断是否存在相同项与互为相反数的项；
3. 选项D可以通过添括号的方式，把部分项看成整体，再判断是否符合平方差公式的结构。
【解析】
平方差公式的标准形式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，其本质是两个因式中，有一项完全相同，另一项互为相反数。
选项A：$(-x - y)(x + y)=-(x+y)(x+y)=-(x+y)^2$，该式子中两个因式对应的两项均互为相反数（$-x$与$x$，$-y$与$y$），不存在完全相同的项，不符合平方差公式的结构特征，不能用平方差公式计算。
选项B：$(2x + y)(2x - y)$中，$2x$是完全相同的项，$y$与$-y$互为相反数，符合平方差公式的结构特征，可利用平方差公式计算。
选项C：$(x^2 - xy)(x^2 + xy)$中，$x^2$是完全相同的项，$-xy$与$xy$互为相反数，符合平方差公式的结构特征，可利用平方差公式计算。
选项D：$(x + y + m)(x - y - m)=[x+(y+m)][x-(y+m)]$，将$y+m$看成一个整体后，$x$是完全相同的项，$(y+m)$与$-(y+m)$互为相反数，符合平方差公式的结构特征，可利用平方差公式计算。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式的结构特征
【点评】
本题重点考查对平方差公式结构的理解与应用，解题的关键是准确识别式子中的相同项和互为相反数的项，对于形式稍复杂的式子，可通过添括号、变形等方式转化为符合平方差公式的形式。
【难度系数】
0.7
4. 若 $ (x + 2)(x - 3) = x^2 + ax - 6 $，则 $ a $的值为(
A.$ -1 $
B.$ 1 $
C.$ 3 $
D.$ 5 $
A
)A.$ -1 $
B.$ 1 $
C.$ 3 $
D.$ 5 $
答案
4. A
解析
【分析】
要解决这道题，我们的思路是先将等式左边的多项式展开并化简，再根据等式两边同类项的系数相等这一性质，找到一次项系数的对应关系，从而求出a的值。具体步骤为：首先运用多项式乘多项式的法则展开左边的式子，合并同类项后得到标准的二次三项式，再与右边的式子对比一次项系数，即可确定a的值。
【解析】
1. 展开等式左边的多项式：
$\begin{aligned}(x + 2)(x - 3)&=x· x + x·(-3) + 2· x + 2·(-3)\\&=x^2 - 3x + 2x - 6\end{aligned}$
2. 合并同类项：
$x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6$
3. 对比等式左右两边的式子：
已知$(x + 2)(x - 3) = x^2 + ax - 6$，即$x^2 - x - 6 = x^2 + ax - 6$，根据等式两边同类项系数相等，一次项系数对应相等，可得$a = -1$。
【答案】
A
【知识点】
1. 多项式乘多项式
2. 整式相等的条件
【点评】
本题是一道基础的整式运算题，核心考查多项式乘法法则以及整式相等时同类项系数对应相等的知识点。解题过程中需注意多项式乘法运算时的符号问题，避免因符号错误导致结果出错，整体难度较低，适合巩固整式运算的基础知识点。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们的思路是先将等式左边的多项式展开并化简，再根据等式两边同类项的系数相等这一性质，找到一次项系数的对应关系，从而求出a的值。具体步骤为：首先运用多项式乘多项式的法则展开左边的式子，合并同类项后得到标准的二次三项式，再与右边的式子对比一次项系数，即可确定a的值。
【解析】
1. 展开等式左边的多项式：
$\begin{aligned}(x + 2)(x - 3)&=x· x + x·(-3) + 2· x + 2·(-3)\\&=x^2 - 3x + 2x - 6\end{aligned}$
2. 合并同类项：
$x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6$
3. 对比等式左右两边的式子：
已知$(x + 2)(x - 3) = x^2 + ax - 6$，即$x^2 - x - 6 = x^2 + ax - 6$，根据等式两边同类项系数相等，一次项系数对应相等，可得$a = -1$。
【答案】
A
【知识点】
1. 多项式乘多项式
2. 整式相等的条件
【点评】
本题是一道基础的整式运算题，核心考查多项式乘法法则以及整式相等时同类项系数对应相等的知识点。解题过程中需注意多项式乘法运算时的符号问题，避免因符号错误导致结果出错，整体难度较低，适合巩固整式运算的基础知识点。
【难度系数】
0.8
5. 已知 $ x + y = 2 $，则 $ 3^x · 3^y $的值是(
A.$ 6 $
B.$ 8 $
C.$ 9 $
D.$ 12 $
C
)A.$ 6 $
B.$ 8 $
C.$ 9 $
D.$ 12 $
答案
5. C
解析
【分析】
首先观察所求式子$3^x · 3^y$的形式，回忆同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可将式子转化为$3^{x+y}$。已知条件给出$x+y=2$，只需将其代入转化后的式子，计算出结果即可得到答案。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：$a^m·a^n=a^{m+n}$（$a≠0$，$m$、$n$为整数），可得：
$3^x · 3^y = 3^{x+y}$
已知$x+y=2$，将其代入上式：
$3^{x+y}=3^2=9$
因此$3^x · 3^y$的值是9，故选C。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘法法则
【点评】
本题主要考查同底数幂乘法法则的应用，同时涉及整体代入思想，属于基础题型，只要熟练掌握同底数幂的乘法法则，就能轻松解决。
【难度系数】
0.8
首先观察所求式子$3^x · 3^y$的形式，回忆同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可将式子转化为$3^{x+y}$。已知条件给出$x+y=2$，只需将其代入转化后的式子，计算出结果即可得到答案。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：$a^m·a^n=a^{m+n}$（$a≠0$，$m$、$n$为整数），可得：
$3^x · 3^y = 3^{x+y}$
已知$x+y=2$，将其代入上式：
$3^{x+y}=3^2=9$
因此$3^x · 3^y$的值是9，故选C。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘法法则
【点评】
本题主要考查同底数幂乘法法则的应用，同时涉及整体代入思想，属于基础题型，只要熟练掌握同底数幂的乘法法则，就能轻松解决。
【难度系数】
0.8
6. $ (3a + 2)(4a^2 - a - 1) $的化简结果中二次项系数是(
A.$ -3 $
B.$ 8 $
C.$ 5 $
D.$ -5 $
C
)A.$ -3 $
B.$ 8 $
C.$ 5 $
D.$ -5 $
答案
6. C
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要先利用多项式乘多项式的法则展开原式，再合并同类项，最后找出二次项的系数。具体思路如下：首先，用第一个多项式的每一项分别去乘第二个多项式的每一项，得到多个单项式的积；然后将这些积相加，合并同类项，整理出二次项；最后确定二次项的系数，对比选项得出答案。
【解析】
根据多项式乘多项式的法则展开原式：
$\begin{aligned}&(3a + 2)(4a^2 - a - 1)\\=&3a×4a^2 + 3a×(-a) + 3a×(-1) + 2×4a^2 + 2×(-a) + 2×(-1)\\=&12a^3 - 3a^2 - 3a + 8a^2 - 2a - 2\\=&12a^3 + (-3a^2 + 8a^2) + (-3a - 2a) - 2\\=&12a^3 + 5a^2 - 5a - 2\end{aligned}$
观察化简后的式子，二次项为$5a^2$，其系数为5。
【答案】
C
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项
【点评】
本题主要考查多项式乘法运算与同类项的合并，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式的法则，注意运算过程中各项的符号，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们需要先利用多项式乘多项式的法则展开原式，再合并同类项，最后找出二次项的系数。具体思路如下：首先，用第一个多项式的每一项分别去乘第二个多项式的每一项，得到多个单项式的积；然后将这些积相加，合并同类项，整理出二次项；最后确定二次项的系数，对比选项得出答案。
【解析】
根据多项式乘多项式的法则展开原式：
$\begin{aligned}&(3a + 2)(4a^2 - a - 1)\\=&3a×4a^2 + 3a×(-a) + 3a×(-1) + 2×4a^2 + 2×(-a) + 2×(-1)\\=&12a^3 - 3a^2 - 3a + 8a^2 - 2a - 2\\=&12a^3 + (-3a^2 + 8a^2) + (-3a - 2a) - 2\\=&12a^3 + 5a^2 - 5a - 2\end{aligned}$
观察化简后的式子，二次项为$5a^2$，其系数为5。
【答案】
C
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项
【点评】
本题主要考查多项式乘法运算与同类项的合并，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式的法则，注意运算过程中各项的符号，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
7. 已知 $ a - b = 1 $，$ a^2 + b^2 = 5 $，则 $ ab $的值为(
A.$ -4 $
B.$ 4 $
C.$ -2 $
D.$ 2 $
D
)A.$ -4 $
B.$ 4 $
C.$ -2 $
D.$ 2 $
答案
7. D
解析
【分析】
本题要求$ab$的值，已知$a - b = 1$和$a^2 + b^2 = 5$，可借助完全平方公式的变形来求解。首先回忆完全平方公式：$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，该公式包含了题目给出的两个已知量和所求的$ab$，所以先对$a - b = 1$两边平方，再将$a^2 + b^2 = 5$代入展开后的式子，通过解方程就能求出$ab$的值。
【解析】
1. 对等式$a - b = 1$两边平方：
$(a - b)^2 = 1^2$，即$(a - b)^2 = 1$。
2. 根据完全平方公式展开左边：
$a^2 - 2ab + b^2 = 1$。
3. 将已知条件$a^2 + b^2 = 5$代入上式：
$5 - 2ab = 1$。
4. 解方程求$ab$：
移项可得$-2ab = 1 - 5 = -4$，两边同时除以$-2$，得$ab = 2$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式变形
【点评】
本题主要考查完全平方公式的灵活运用，解题关键是熟练掌握完全平方公式的形式，能根据已知条件进行公式变形，建立已知量与未知量的联系，属于基础题型，易于掌握。
【难度系数】
0.8
本题要求$ab$的值，已知$a - b = 1$和$a^2 + b^2 = 5$，可借助完全平方公式的变形来求解。首先回忆完全平方公式：$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，该公式包含了题目给出的两个已知量和所求的$ab$，所以先对$a - b = 1$两边平方，再将$a^2 + b^2 = 5$代入展开后的式子，通过解方程就能求出$ab$的值。
【解析】
1. 对等式$a - b = 1$两边平方：
$(a - b)^2 = 1^2$，即$(a - b)^2 = 1$。
2. 根据完全平方公式展开左边：
$a^2 - 2ab + b^2 = 1$。
3. 将已知条件$a^2 + b^2 = 5$代入上式：
$5 - 2ab = 1$。
4. 解方程求$ab$：
移项可得$-2ab = 1 - 5 = -4$，两边同时除以$-2$，得$ab = 2$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式变形
【点评】
本题主要考查完全平方公式的灵活运用，解题关键是熟练掌握完全平方公式的形式，能根据已知条件进行公式变形，建立已知量与未知量的联系，属于基础题型，易于掌握。
【难度系数】
0.8
8. 对于多项式 $ x - a $，$ x - b $，$ x - c $，$ x - d $($ a $，$ b $，$ c $，$ d $是常数)，若 $ x - a $与 $ x - b $的积减去 $ x - c $与 $ x - d $的积，其差为常数，则 $ a $，$ b $，$ c $，$ d $应满足的关系是(
A.$ a + b = -c - d $
B.$ a - b = c - d $
C.$ a + b = c + d $
D.$ ab = cd $
C
)A.$ a + b = -c - d $
B.$ a - b = c - d $
C.$ a + b = c + d $
D.$ ab = cd $
答案
8. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确“差为常数”的含义：两个多项式乘积的差中不含含x的项，仅剩下常数项。解题思路如下：
1. 根据题目要求列出两个乘积相减的代数式；
2. 分别展开两个多项式的乘积；
3. 对展开后的式子进行去括号、合并同类项；
4. 利用“差为常数”这一条件，令含x的一次项系数为0，进而推导出a、b、c、d的关系。
【解析】
步骤1：根据题意列出代数式
$(x - a)(x - b) - (x - c)(x - d)$
步骤2：展开多项式乘积
$(x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab$
$(x - c)(x - d) = x^2 - (c + d)x + cd$
步骤3：代入原式并化简
$\begin{aligned}&[x^2 - (a + b)x + ab] - [x^2 - (c + d)x + cd]\\=&x^2 - (a + b)x + ab - x^2 + (c + d)x - cd\\=&[-(a + b) + (c + d)]x + (ab - cd)\end{aligned}$
步骤4：根据“差为常数”确定系数关系
因为差为常数，所以含x的一次项系数必须为0，即：
$-(a + b) + (c + d) = 0$
整理得：
$a + b = c + d$
【答案】
C
【知识点】
多项式乘多项式、合并同类项、整式的加减
【点评】
本题考查整式的基础运算，核心是理解“差为常数”的本质——含x的项的系数为0。解题过程需要熟练掌握多项式乘法法则和合并同类项的方法，只要理清思路逐步化简，就能得出正确结论。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需明确“差为常数”的含义：两个多项式乘积的差中不含含x的项，仅剩下常数项。解题思路如下：
1. 根据题目要求列出两个乘积相减的代数式；
2. 分别展开两个多项式的乘积；
3. 对展开后的式子进行去括号、合并同类项；
4. 利用“差为常数”这一条件，令含x的一次项系数为0，进而推导出a、b、c、d的关系。
【解析】
步骤1：根据题意列出代数式
$(x - a)(x - b) - (x - c)(x - d)$
步骤2：展开多项式乘积
$(x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab$
$(x - c)(x - d) = x^2 - (c + d)x + cd$
步骤3：代入原式并化简
$\begin{aligned}&[x^2 - (a + b)x + ab] - [x^2 - (c + d)x + cd]\\=&x^2 - (a + b)x + ab - x^2 + (c + d)x - cd\\=&[-(a + b) + (c + d)]x + (ab - cd)\end{aligned}$
步骤4：根据“差为常数”确定系数关系
因为差为常数，所以含x的一次项系数必须为0，即：
$-(a + b) + (c + d) = 0$
整理得：
$a + b = c + d$
【答案】
C
【知识点】
多项式乘多项式、合并同类项、整式的加减
【点评】
本题考查整式的基础运算，核心是理解“差为常数”的本质——含x的项的系数为0。解题过程需要熟练掌握多项式乘法法则和合并同类项的方法，只要理清思路逐步化简，就能得出正确结论。
【难度系数】
0.7
二、填空题(每小题 5 分，共 25 分)
9. 计算：$ (xy)^2 = $
9. 计算：$ (xy)^2 = $
$ x^{2}y^{2} $
。答案
9. $ x^{2}y^{2} $
解析
【分析】
这道题考查积的乘方运算，解题思路是运用积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。我们需要对括号里的x和y分别进行平方运算，再将结果相乘。
【解析】
根据积的乘方法则：$(ab)^n=a^n b^n$（n为正整数），对于$(xy)^2$，将x和y分别平方，可得：
$(xy)^2 = x^2 · y^2 = x^2y^2$
【答案】
$x^{2}y^{2}$
【知识点】
积的乘方法则
【点评】
本题是对积的乘方法则的基础考查，属于幂运算中的简单题型，只要熟练掌握积的乘方法则就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
这道题考查积的乘方运算，解题思路是运用积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。我们需要对括号里的x和y分别进行平方运算，再将结果相乘。
【解析】
根据积的乘方法则：$(ab)^n=a^n b^n$（n为正整数），对于$(xy)^2$，将x和y分别平方，可得：
$(xy)^2 = x^2 · y^2 = x^2y^2$
【答案】
$x^{2}y^{2}$
【知识点】
积的乘方法则
【点评】
本题是对积的乘方法则的基础考查，属于幂运算中的简单题型，只要熟练掌握积的乘方法则就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
10. 已知 $ 2^x = 3 $，则 $ 2^{3x} = $
27
。答案
10. 27
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以利用幂的乘方运算性质来转化式子。首先观察所求的$2^{3x}$，它可以根据幂的乘方公式$(a^m)^n=a^{mn}$变形为$(2^x)^3$，这样就能将已知条件$2^x=3$代入进行计算，从而得到结果。
【解析】
根据幂的乘方运算性质：$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$2^{3x}=(2^x)^3$
已知$2^x=3$，将其代入上式：
$(2^x)^3=3^3=27$
【答案】
27
【知识点】
幂的乘方运算
【点评】
本题主要考查幂的乘方公式的逆用，解题关键是熟练掌握幂的乘方运算性质，将所求式子转化为与已知条件相关的形式，代入计算即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，我们可以利用幂的乘方运算性质来转化式子。首先观察所求的$2^{3x}$，它可以根据幂的乘方公式$(a^m)^n=a^{mn}$变形为$(2^x)^3$，这样就能将已知条件$2^x=3$代入进行计算，从而得到结果。
【解析】
根据幂的乘方运算性质：$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$2^{3x}=(2^x)^3$
已知$2^x=3$，将其代入上式：
$(2^x)^3=3^3=27$
【答案】
27
【知识点】
幂的乘方运算
【点评】
本题主要考查幂的乘方公式的逆用，解题关键是熟练掌握幂的乘方运算性质，将所求式子转化为与已知条件相关的形式，代入计算即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
11. 如图，用 1 块边长为 $ a $的大正方形，4 块边长为 $ b $的小正方形和 4 块长为 $ a $、宽为 $ b $的长方形($ a ＞ b $)，密铺成正方形 $ ABCD $，正方形 $ ABCD $的面积为 $ S $，若 $ S = 25 $，则 $ a $与 $ b $的关系可表示为
$ a + 2b = 5 $
。答案
11. $ a + 2b = 5 $
解析
【分析】
首先观察图形，确定正方形ABCD的边长：从底边BC可以看出，边长由一段长度为$a$的线段和两段长度为$b$的线段组成，即边长为$a + 2b$。已知正方形ABCD的面积$S=25$，根据正方形面积公式（面积=边长的平方），可列出关于$a$和$b$的等式，再结合$a＞b$的条件（边长为正数），即可得出$a$与$b$的关系。
【解析】
由图形可知，正方形ABCD的边长为$a + 2b$。
根据正方形面积公式$S = (\mathrm{边长})^2$，已知$S = 25$，可得：
$(a + 2b)^2 = 25$
因为$a＞b＞0$，所以$a + 2b＞0$，对等式两边取算术平方根，得：
$a + 2b = 5$
【答案】
$a + 2b = 5$
【知识点】
正方形的面积公式，算术平方根的应用
【点评】
本题通过图形密铺的背景，考查正方形面积公式的实际应用，解题关键是准确识别大正方形的边长组成，同时要注意边长为正数这一隐含条件，避免出现负根的情况。
【难度系数】
0.7
首先观察图形，确定正方形ABCD的边长：从底边BC可以看出，边长由一段长度为$a$的线段和两段长度为$b$的线段组成，即边长为$a + 2b$。已知正方形ABCD的面积$S=25$，根据正方形面积公式（面积=边长的平方），可列出关于$a$和$b$的等式，再结合$a＞b$的条件（边长为正数），即可得出$a$与$b$的关系。
【解析】
由图形可知，正方形ABCD的边长为$a + 2b$。
根据正方形面积公式$S = (\mathrm{边长})^2$，已知$S = 25$，可得：
$(a + 2b)^2 = 25$
因为$a＞b＞0$，所以$a + 2b＞0$，对等式两边取算术平方根，得：
$a + 2b = 5$
【答案】
$a + 2b = 5$
【知识点】
正方形的面积公式，算术平方根的应用
【点评】
本题通过图形密铺的背景，考查正方形面积公式的实际应用，解题关键是准确识别大正方形的边长组成，同时要注意边长为正数这一隐含条件，避免出现负根的情况。
【难度系数】
0.7
12. 设 $ (2x + 1)^3 = a_0x^3 + a_1x^2 + a_2x + a_3 $，这是关于 $ x $的一个恒等式(即对于任意 $ x $都成立)，则 $ a_1 + a_3 $的值是
13
。答案
12. 13
解析
【分析】
本题是关于整式恒等式的系数求解问题，核心思路是利用恒等式对任意$x$都成立的性质，通过代入特殊值（如$x=1$和$x=-1$）得到关于系数的等式，再通过等式运算消去不需要的系数，从而求出$a_1+a_3$的值。具体思考步骤：首先，代入$x=1$得到包含所有系数和的等式；再代入$x=-1$得到含$a_1$、$a_3$与$a_0$、$a_2$差的等式；最后将两个等式相加，消去$a_0$和$a_2$，进而计算出$a_1+a_3$。
【解析】
1. 代入$x=1$：
将$x=1$代入$(2x + 1)^3 = a_0x^3 + a_1x^2 + a_2x + a_3$，可得：
$(2×1 + 1)^3 = a_0×1^3 + a_1×1^2 + a_2×1 + a_3$
计算得：$3^3 = a_0 + a_1 + a_2 + a_3$，即$27 = a_0 + a_1 + a_2 + a_3$ ①
2. 代入$x=-1$：
将$x=-1$代入$(2x + 1)^3 = a_0x^3 + a_1x^2 + a_2x + a_3$，可得：
$(2×(-1) + 1)^3 = a_0×(-1)^3 + a_1×(-1)^2 + a_2×(-1) + a_3$
计算得：$(-1)^3 = -a_0 + a_1 - a_2 + a_3$，即$-1 = -a_0 + a_1 - a_2 + a_3$ ②
3. 联立等式求$a_1+a_3$：
将①+②，可得：
$27 + (-1) = (a_0 + a_1 + a_2 + a_3) + (-a_0 + a_1 - a_2 + a_3)$
化简左边：$26$，右边：$2(a_1 + a_3)$
两边同时除以2，得：$a_1 + a_3 = 13$
【答案】
13
【知识点】
特殊值法求系数、整式恒等式性质
【点评】
本题考查整式恒等式的应用，通过选取合适的特殊值代入，能快速建立关于目标系数的等式，避免了展开多项式的繁琐计算，是解决此类系数求和问题的常用技巧，需掌握特殊值（如$x=1$、$x=-1$）的选取方法。
【难度系数】
0.6
本题是关于整式恒等式的系数求解问题，核心思路是利用恒等式对任意$x$都成立的性质，通过代入特殊值（如$x=1$和$x=-1$）得到关于系数的等式，再通过等式运算消去不需要的系数，从而求出$a_1+a_3$的值。具体思考步骤：首先，代入$x=1$得到包含所有系数和的等式；再代入$x=-1$得到含$a_1$、$a_3$与$a_0$、$a_2$差的等式；最后将两个等式相加，消去$a_0$和$a_2$，进而计算出$a_1+a_3$。
【解析】
1. 代入$x=1$：
将$x=1$代入$(2x + 1)^3 = a_0x^3 + a_1x^2 + a_2x + a_3$，可得：
$(2×1 + 1)^3 = a_0×1^3 + a_1×1^2 + a_2×1 + a_3$
计算得：$3^3 = a_0 + a_1 + a_2 + a_3$，即$27 = a_0 + a_1 + a_2 + a_3$ ①
2. 代入$x=-1$：
将$x=-1$代入$(2x + 1)^3 = a_0x^3 + a_1x^2 + a_2x + a_3$，可得：
$(2×(-1) + 1)^3 = a_0×(-1)^3 + a_1×(-1)^2 + a_2×(-1) + a_3$
计算得：$(-1)^3 = -a_0 + a_1 - a_2 + a_3$，即$-1 = -a_0 + a_1 - a_2 + a_3$ ②
3. 联立等式求$a_1+a_3$：
将①+②，可得：
$27 + (-1) = (a_0 + a_1 + a_2 + a_3) + (-a_0 + a_1 - a_2 + a_3)$
化简左边：$26$，右边：$2(a_1 + a_3)$
两边同时除以2，得：$a_1 + a_3 = 13$
【答案】
13
【知识点】
特殊值法求系数、整式恒等式性质
【点评】
本题考查整式恒等式的应用，通过选取合适的特殊值代入，能快速建立关于目标系数的等式，避免了展开多项式的繁琐计算，是解决此类系数求和问题的常用技巧，需掌握特殊值（如$x=1$、$x=-1$）的选取方法。
【难度系数】
0.6
13. 已知 $ xy^2 = -2 $，则 $ -xy(x^2y^5 - xy^3 - y) $的值为
10
。答案
13. 10 【解析】因为 $ xy^{2} = - 2 $，
所以 $ - xy(x^{2}y^{5} - xy^{3} - y) = - x^{3}y^{6} + x^{2}y^{4} + xy^{2} = - (xy^{2})^{3} + (xy^{2})^{2} + xy^{2} = - (- 2)^{3} + (- 2)^{2} + (- 2) = 8 + 4 - 2 = 10 $。
所以 $ - xy(x^{2}y^{5} - xy^{3} - y) = - x^{3}y^{6} + x^{2}y^{4} + xy^{2} = - (xy^{2})^{3} + (xy^{2})^{2} + xy^{2} = - (- 2)^{3} + (- 2)^{2} + (- 2) = 8 + 4 - 2 = 10 $。
解析
【分析】
首先观察题目，已知$xy^2 = -2$，直接求解x、y的值难度较大，因此考虑采用整体代入的思想解题。第一步利用整式乘法的分配律将原式展开，再根据幂的乘方与积的乘方的逆运算，把展开后的各项转化为用$xy^2$表示的形式，最后将$xy^2 = -2$代入计算即可得到结果。
【解析】
已知$xy^2 = -2$，对原式进行化简计算：
$\begin{aligned}-xy(x^2y^5 - xy^3 - y)&=-xy· x^2y^5 + (-xy)·(-xy^3) + (-xy)·(-y)\\&=-x^3y^6 + x^2y^4 + xy^2\\&=-(xy^2)^3 + (xy^2)^2 + xy^2\end{aligned}$
将$xy^2 = -2$代入上式：
$\begin{aligned}-(-2)^3 + (-2)^2 + (-2)&=-(-8) + 4 - 2\\&=8 + 4 - 2\\&=10\end{aligned}$
【答案】
10
【知识点】
整式的乘法运算、幂的乘方逆用、代数式求值
【点评】
本题核心考查整体代入思想，无需单独求解x、y，将$xy^2$看作整体，通过整式乘法和幂的运算逆用变形式子，简化运算过程。要求学生熟练掌握整式乘法法则与幂的运算性质，提升代数式变形和代入计算的能力。
【难度系数】
0.6
首先观察题目，已知$xy^2 = -2$，直接求解x、y的值难度较大，因此考虑采用整体代入的思想解题。第一步利用整式乘法的分配律将原式展开，再根据幂的乘方与积的乘方的逆运算，把展开后的各项转化为用$xy^2$表示的形式，最后将$xy^2 = -2$代入计算即可得到结果。
【解析】
已知$xy^2 = -2$，对原式进行化简计算：
$\begin{aligned}-xy(x^2y^5 - xy^3 - y)&=-xy· x^2y^5 + (-xy)·(-xy^3) + (-xy)·(-y)\\&=-x^3y^6 + x^2y^4 + xy^2\\&=-(xy^2)^3 + (xy^2)^2 + xy^2\end{aligned}$
将$xy^2 = -2$代入上式：
$\begin{aligned}-(-2)^3 + (-2)^2 + (-2)&=-(-8) + 4 - 2\\&=8 + 4 - 2\\&=10\end{aligned}$
【答案】
10
【知识点】
整式的乘法运算、幂的乘方逆用、代数式求值
【点评】
本题核心考查整体代入思想，无需单独求解x、y，将$xy^2$看作整体，通过整式乘法和幂的运算逆用变形式子，简化运算过程。要求学生熟练掌握整式乘法法则与幂的运算性质，提升代数式变形和代入计算的能力。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共 35 分)
14. （16 分）计算：
（1）$ (-x)(-x)^5 + (x^2)^3 $。
（2）$ 2x^3(-x)^2 - (-x^2)^2 × (-3x) $。
（3）$ (-4x - 3y^2)(3y^2 - 4x) $。
（4）$ (2x - y)^2 · (2x + y)^2 $。
14. （16 分）计算：
（1）$ (-x)(-x)^5 + (x^2)^3 $。
（2）$ 2x^3(-x)^2 - (-x^2)^2 × (-3x) $。
（3）$ (-4x - 3y^2)(3y^2 - 4x) $。
（4）$ (2x - y)^2 · (2x + y)^2 $。
答案
14. 解：(1)原式 $ = (- x)^{1 + 5} + x^{2 × 3} = x^{6} + x^{6} = 2x^{6} $。
(2)原式 $ = 2x^{5} + 3x^{5} = 5x^{5} $。
(3)原式 $ = (- 4x - 3y^{2})(- 4x + 3y^{2}) = (- 4x)^{2} - (3y^{2})^{2} = 16x^{2} - 9y^{4} $。
(4)原式 $ = [(2x - y)(2x + y)]^{2} = (4x^{2} - y^{2})^{2} = 16x^{4} - 8x^{2}y^{2} + y^{4} $。
(2)原式 $ = 2x^{5} + 3x^{5} = 5x^{5} $。
(3)原式 $ = (- 4x - 3y^{2})(- 4x + 3y^{2}) = (- 4x)^{2} - (3y^{2})^{2} = 16x^{2} - 9y^{4} $。
(4)原式 $ = [(2x - y)(2x + y)]^{2} = (4x^{2} - y^{2})^{2} = 16x^{4} - 8x^{2}y^{2} + y^{4} $。
解析
【分析】
本题考查整式的混合运算，解题思路是依据幂的运算法则和乘法公式逐步计算，同时注意运算顺序与符号处理：
1. 对于（1），先利用同底数幂的乘法法则计算$(-x)(-x)^5$，再用幂的乘方法则计算$(x^2)^3$，最后合并同类项；
2. 对于（2），先完成各项的乘方运算，再进行单项式乘法运算，最后合并同类项，过程中需留意符号变化；
3. 对于（3），先将式子变形为符合平方差公式的形式$(-4x-3y^2)(-4x+3y^2)$，再套用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$计算；
4. 对于（4），先利用积的乘方逆运算将原式转化为$[(2x-y)(2x+y)]^2$，先计算括号内的平方差，再对结果运用完全平方公式展开。
【解析】
(1) 原式 $= (-x)^{1+5} + x^{2×3}$
$= x^6 + x^6$
$= 2x^6$
(2) 原式 $= 2x^3·x^2 - x^4×(-3x)$
$= 2x^5 + 3x^5$
$= 5x^5$
(3) 原式 $= (-4x - 3y^2)(-4x + 3y^2)$
$= (-4x)^2 - (3y^2)^2$
$= 16x^2 - 9y^4$
(4) 原式 $= [(2x - y)(2x + y)]^2$
$= (4x^2 - y^2)^2$
$= 16x^4 - 8x^2y^2 + y^4$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2x^6}$；(2) $\boldsymbol{5x^5}$；(3) $\boldsymbol{16x^2 - 9y^4}$；(4) $\boldsymbol{16x^4 - 8x^2y^2 + y^4}$
【知识点】
幂的运算法则、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题是整式混合运算的基础题型，覆盖了幂的运算与乘法公式的应用，解题时需遵循“先乘方、再乘法、最后加减”的运算顺序，同时要准确处理符号，熟练运用公式可简化运算，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的混合运算，解题思路是依据幂的运算法则和乘法公式逐步计算，同时注意运算顺序与符号处理：
1. 对于（1），先利用同底数幂的乘法法则计算$(-x)(-x)^5$，再用幂的乘方法则计算$(x^2)^3$，最后合并同类项；
2. 对于（2），先完成各项的乘方运算，再进行单项式乘法运算，最后合并同类项，过程中需留意符号变化；
3. 对于（3），先将式子变形为符合平方差公式的形式$(-4x-3y^2)(-4x+3y^2)$，再套用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$计算；
4. 对于（4），先利用积的乘方逆运算将原式转化为$[(2x-y)(2x+y)]^2$，先计算括号内的平方差，再对结果运用完全平方公式展开。
【解析】
(1) 原式 $= (-x)^{1+5} + x^{2×3}$
$= x^6 + x^6$
$= 2x^6$
(2) 原式 $= 2x^3·x^2 - x^4×(-3x)$
$= 2x^5 + 3x^5$
$= 5x^5$
(3) 原式 $= (-4x - 3y^2)(-4x + 3y^2)$
$= (-4x)^2 - (3y^2)^2$
$= 16x^2 - 9y^4$
(4) 原式 $= [(2x - y)(2x + y)]^2$
$= (4x^2 - y^2)^2$
$= 16x^4 - 8x^2y^2 + y^4$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2x^6}$；(2) $\boldsymbol{5x^5}$；(3) $\boldsymbol{16x^2 - 9y^4}$；(4) $\boldsymbol{16x^4 - 8x^2y^2 + y^4}$
【知识点】
幂的运算法则、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题是整式混合运算的基础题型，覆盖了幂的运算与乘法公式的应用，解题时需遵循“先乘方、再乘法、最后加减”的运算顺序，同时要准确处理符号，熟练运用公式可简化运算，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
