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15. （19 分）【阅读理解】
在计算机上可以设置程序，将二次多项式处理成一次多项式，设置程序为：将二次多项式 $ A $的二次项系数乘 2 作为一次多项式 $ B $的一次项系数，将二次多项式 $ A $的一次项系数作为一次多项式 $ B $的常数项。
例如：$ A = 5x^2 - 7x + 2 $，$ A $经过程序设置得到 $ B = 2 × 5x - 7 = 10x - 7 $。
【知识应用】
关于 $ x $的二次多项式 $ A $经过程序设置得到一次多项式 $ B $，已知 $ A = x^2 - x - m $，根据上方阅读材料，解答下列问题：
（1）若 $ B = 3nx - m $，求 $ m $，$ n $的值。
（2）若 $ A - mB $的结果中不含一次项，求关于 $ x $的方程 $ B = m $的解。
（3）某同学在计算 $ A - 2B $时，把 $ A - 2B $看成了 $ 2A - B $，得到的结果是 $ 2x^2 - 4x - 3 $，求出 $ A - 2B $的正确值。
在计算机上可以设置程序，将二次多项式处理成一次多项式，设置程序为：将二次多项式 $ A $的二次项系数乘 2 作为一次多项式 $ B $的一次项系数，将二次多项式 $ A $的一次项系数作为一次多项式 $ B $的常数项。
例如：$ A = 5x^2 - 7x + 2 $，$ A $经过程序设置得到 $ B = 2 × 5x - 7 = 10x - 7 $。
【知识应用】
关于 $ x $的二次多项式 $ A $经过程序设置得到一次多项式 $ B $，已知 $ A = x^2 - x - m $，根据上方阅读材料，解答下列问题：
（1）若 $ B = 3nx - m $，求 $ m $，$ n $的值。
（2）若 $ A - mB $的结果中不含一次项，求关于 $ x $的方程 $ B = m $的解。
（3）某同学在计算 $ A - 2B $时，把 $ A - 2B $看成了 $ 2A - B $，得到的结果是 $ 2x^2 - 4x - 3 $，求出 $ A - 2B $的正确值。
答案
15. 解：(1)因为 $ A = x^{2} - x - m $，所以 $ B = 2x - 1 $。
因为 $ B = 3nx - m $，
所以 $ 3n = 2 $，$ - m = - 1 $，
所以 $ m = 1 $，$ n = \frac{2}{3} $。
(2)由题意得 $ A - mB = (x^{2} - x - m) - m(2x - 1) = x^{2} - (1 + 2m)x $。
因为 $ A - mB $ 的结果中不含一次项，
所以 $ 1 + 2m = 0 $，解得 $ m = - \frac{1}{2} $，
由 $ B = m $，得 $ 2x - 1 = - \frac{1}{2} $，
所以 $ x = \frac{1}{4} $。
(3)因为 $ 2A - B = 2(x^{2} - x - m) - (2x - 1) = 2x^{2} - 4x - 2m + 1 $，
所以 $ - 2m + 1 = - 3 $，
所以 $ m = 2 $，
所以 $ A - 2B = (x^{2} - x - 2) - 2(2x - 1) = x^{2} - 5x $。
因为 $ B = 3nx - m $，
所以 $ 3n = 2 $，$ - m = - 1 $，
所以 $ m = 1 $，$ n = \frac{2}{3} $。
(2)由题意得 $ A - mB = (x^{2} - x - m) - m(2x - 1) = x^{2} - (1 + 2m)x $。
因为 $ A - mB $ 的结果中不含一次项，
所以 $ 1 + 2m = 0 $，解得 $ m = - \frac{1}{2} $，
由 $ B = m $，得 $ 2x - 1 = - \frac{1}{2} $，
所以 $ x = \frac{1}{4} $。
(3)因为 $ 2A - B = 2(x^{2} - x - m) - (2x - 1) = 2x^{2} - 4x - 2m + 1 $，
所以 $ - 2m + 1 = - 3 $，
所以 $ m = 2 $，
所以 $ A - 2B = (x^{2} - x - 2) - 2(2x - 1) = x^{2} - 5x $。
解析
【分析】
本题是阅读理解型综合题，需先准确理解题目中的程序规则，再分三个小问逐步分析求解：
1. 第(1)问：先根据程序规则由二次多项式A推导出一次多项式B的表达式，再利用两个一次多项式相等时对应系数相等的性质，列出关于m、n的方程，进而求解。
2. 第(2)问：先写出A - mB的表达式并展开合并同类项，根据“结果不含一次项”即一次项系数为0的特点，求出m的值，再将m代入方程B=m，解一元一次方程得到x。
3. 第(3)问：先根据错误的计算式2A - B展开化简，结合已知错误结果，通过常数项相等求出m的值，再将m代入正确的计算式A - 2B，展开合并得到最终结果。
【解析】
(1) 已知 $ A = x^{2} - x - m $，根据程序规则：将二次项系数乘2作为一次项系数，一次项系数作为常数项，可得 $ B = 2x - 1 $。
因为 $ B = 3nx - m $，根据多项式相等时对应系数相等，所以：
$ 3n = 2 $，$ - m = - 1 $，
解得 $ m = 1 $，$ n = \frac{2}{3} $。
(2) 计算 $ A - mB $：
$ A - mB = (x^{2} - x - m) - m(2x - 1) $
$ = x^{2} - x - m - 2mx + m $
$ = x^{2} - (1 + 2m)x $
因为 $ A - mB $ 的结果中不含一次项，所以一次项系数为0，即 $ 1 + 2m = 0 $，
解得 $ m = - \frac{1}{2} $。
由 $ B = m $，得 $ 2x - 1 = - \frac{1}{2} $，
移项得 $ 2x = \frac{1}{2} $，
解得 $ x = \frac{1}{4} $。
(3) 先计算错误式子 $ 2A - B $：
$ 2A - B = 2(x^{2} - x - m) - (2x - 1) $
$ = 2x^{2} - 2x - 2m - 2x + 1 $
$ = 2x^{2} - 4x - 2m + 1 $
已知该结果为 $ 2x^{2} - 4x - 3 $，则常数项相等：
$ - 2m + 1 = - 3 $，
解得 $ m = 2 $。
再计算正确的 $ A - 2B $：
$ A - 2B = (x^{2} - x - 2) - 2(2x - 1) $
$ = x^{2} - x - 2 - 4x + 2 $
$ = x^{2} - 5x $。
【答案】
(1) $ m = 1 $，$ n = \frac{2}{3} $；
(2) $ x = \frac{1}{4} $；
(3) $ x^{2} - 5x $。
【知识点】
多项式的运算、多项式相等的条件、一元一次方程的解法
【点评】
本题以自定义程序为背景，综合考查多项式运算与方程求解，要求学生准确理解题目规则，熟练运用同类项合并、系数对应关系等知识，同时培养审题能力与逻辑推理能力，三个小问层层递进，对知识的应用能力要求较高。
【难度系数】
0.6
本题是阅读理解型综合题，需先准确理解题目中的程序规则，再分三个小问逐步分析求解：
1. 第(1)问：先根据程序规则由二次多项式A推导出一次多项式B的表达式，再利用两个一次多项式相等时对应系数相等的性质，列出关于m、n的方程，进而求解。
2. 第(2)问：先写出A - mB的表达式并展开合并同类项，根据“结果不含一次项”即一次项系数为0的特点，求出m的值，再将m代入方程B=m，解一元一次方程得到x。
3. 第(3)问：先根据错误的计算式2A - B展开化简，结合已知错误结果，通过常数项相等求出m的值，再将m代入正确的计算式A - 2B，展开合并得到最终结果。
【解析】
(1) 已知 $ A = x^{2} - x - m $，根据程序规则：将二次项系数乘2作为一次项系数，一次项系数作为常数项，可得 $ B = 2x - 1 $。
因为 $ B = 3nx - m $，根据多项式相等时对应系数相等，所以：
$ 3n = 2 $，$ - m = - 1 $，
解得 $ m = 1 $，$ n = \frac{2}{3} $。
(2) 计算 $ A - mB $：
$ A - mB = (x^{2} - x - m) - m(2x - 1) $
$ = x^{2} - x - m - 2mx + m $
$ = x^{2} - (1 + 2m)x $
因为 $ A - mB $ 的结果中不含一次项，所以一次项系数为0，即 $ 1 + 2m = 0 $，
解得 $ m = - \frac{1}{2} $。
由 $ B = m $，得 $ 2x - 1 = - \frac{1}{2} $，
移项得 $ 2x = \frac{1}{2} $，
解得 $ x = \frac{1}{4} $。
(3) 先计算错误式子 $ 2A - B $：
$ 2A - B = 2(x^{2} - x - m) - (2x - 1) $
$ = 2x^{2} - 2x - 2m - 2x + 1 $
$ = 2x^{2} - 4x - 2m + 1 $
已知该结果为 $ 2x^{2} - 4x - 3 $，则常数项相等：
$ - 2m + 1 = - 3 $，
解得 $ m = 2 $。
再计算正确的 $ A - 2B $：
$ A - 2B = (x^{2} - x - 2) - 2(2x - 1) $
$ = x^{2} - x - 2 - 4x + 2 $
$ = x^{2} - 5x $。
【答案】
(1) $ m = 1 $，$ n = \frac{2}{3} $；
(2) $ x = \frac{1}{4} $；
(3) $ x^{2} - 5x $。
【知识点】
多项式的运算、多项式相等的条件、一元一次方程的解法
【点评】
本题以自定义程序为背景，综合考查多项式运算与方程求解，要求学生准确理解题目规则，熟练运用同类项合并、系数对应关系等知识，同时培养审题能力与逻辑推理能力，三个小问层层递进，对知识的应用能力要求较高。
【难度系数】
0.6
