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【例1】阅读下列解方程组的方法，然后解答问题。解方程组$\begin{cases}14x + 15y = 16①,\\17x + 18y = 19②\end{cases}$时，由于$x$，$y$的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入法、加减法来解，计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：
② - ①，得$3x + 3y = 3$，所以$x + y = 1$③，
③×14，得$14x + 14y = 14$④，
① - ④，得$y = 2$，从而得$x = - 1$。
所以原方程组的解是$\begin{cases}x = - 1,\\y = 2\end{cases}$。
(1)请运用上述方法解方程组。
$\begin{cases}2015x + 2016y = 2017①,\\2018x + 2019y = 2020②\end{cases}$。
(2)方程组$\begin{cases}998x + 999y = 1000,\\9998x + 9999y = 10000\end{cases}$的解是 ______ 。
(3)猜测关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}mx + (m + 1)y = m + 2,\\nx + (n + 1)y = n + 2\end{cases}$($m≠ n$)的解是什么，并用方程组的解加以验证。
② - ①，得$3x + 3y = 3$，所以$x + y = 1$③，
③×14，得$14x + 14y = 14$④，
① - ④，得$y = 2$，从而得$x = - 1$。
所以原方程组的解是$\begin{cases}x = - 1,\\y = 2\end{cases}$。
(1)请运用上述方法解方程组。
$\begin{cases}2015x + 2016y = 2017①,\\2018x + 2019y = 2020②\end{cases}$。
(2)方程组$\begin{cases}998x + 999y = 1000,\\9998x + 9999y = 10000\end{cases}$的解是 ______ 。
(3)猜测关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}mx + (m + 1)y = m + 2,\\nx + (n + 1)y = n + 2\end{cases}$($m≠ n$)的解是什么，并用方程组的解加以验证。
答案
解：(1)② - ①，得 $ 3x + 3y = 3 $，
所以 $ x + y = 1 $③，
③×2015，得 $ 2015x + 2015y = 2015 $④，
① - ④，得 $ y = 2 $，把 $ y = 2 $ 代入③，得 $ x = -1 $。
所以原方程组的解是 $ \begin{cases} x = -1, \\ y = 2 \end{cases} $
(2) $ \begin{cases} x = -1, \\ y = 2 \end{cases} $
(3)方程组的解为 $ \begin{cases} x = -1, \\ y = 2 \end{cases} $。
验证：当 $ x = -1 $，$ y = 2 $ 时，第一个方程：左边 $ = -m + (m + 1)×2 = -m + 2m + 2 = m + 2 = $ 右边。
第二个方程：左边 $ = -n + (n + 1)×2 = -n + 2n + 2 = n + 2 = $ 右边，
所以 $ \begin{cases} x = -1, \\ y = 2 \end{cases} $ 是原方程组的解。
所以 $ x + y = 1 $③，
③×2015，得 $ 2015x + 2015y = 2015 $④，
① - ④，得 $ y = 2 $，把 $ y = 2 $ 代入③，得 $ x = -1 $。
所以原方程组的解是 $ \begin{cases} x = -1, \\ y = 2 \end{cases} $
(2) $ \begin{cases} x = -1, \\ y = 2 \end{cases} $
(3)方程组的解为 $ \begin{cases} x = -1, \\ y = 2 \end{cases} $。
验证：当 $ x = -1 $，$ y = 2 $ 时，第一个方程：左边 $ = -m + (m + 1)×2 = -m + 2m + 2 = m + 2 = $ 右边。
第二个方程：左边 $ = -n + (n + 1)×2 = -n + 2n + 2 = n + 2 = $ 右边，
所以 $ \begin{cases} x = -1, \\ y = 2 \end{cases} $ 是原方程组的解。
解析
【分析】
对于这类x、y系数及常数项为连续整数的二元一次方程组，常规代入或加减消元法计算量较大，可借鉴题目给出的简便思路：
1. 先将两个方程相减，消去部分项得到$x+y$的关系式；
2. 用该关系式乘以第一个方程中x的系数，再与第一个方程相减，消去x求出y的值；
3. 将y的值代入$x+y$的关系式求出x；
4. 第二问可直接利用第一问的规律得出解；第三问先猜测解，再代入原方程组验证左右两边是否相等即可。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases}2015x + 2016y = 2017①,\\2018x + 2019y = 2020②\end{cases}$
② - ①，得 $3x + 3y = 3$，
两边同时除以3，得 $x + y = 1$③，
③×2015，得 $2015x + 2015y = 2015$④，
① - ④，得 $y = 2$，
把 $y = 2$ 代入③，得 $x = 1 - 2 = -1$，
所以原方程组的解是 $\begin{cases} x = -1, \\ y = 2 \end{cases}$。
(2) 观察方程组$\begin{cases}998x + 999y = 1000,\\9998x + 9999y = 10000\end{cases}$，符合上述规律，因此解为$\begin{cases} x = -1, \\ y = 2 \end{cases}$。
(3) 猜测方程组$\begin{cases}mx + (m + 1)y = m + 2,\\nx + (n + 1)y = n + 2\end{cases}$($m≠ n$)的解为$\begin{cases} x = -1, \\ y = 2 \end{cases}$。
验证：
当 $x = -1$，$y = 2$ 时，
第一个方程左边：$m×(-1) + (m + 1)×2 = -m + 2m + 2 = m + 2$，与右边相等；
第二个方程左边：$n×(-1) + (n + 1)×2 = -n + 2n + 2 = n + 2$，与右边相等。
所以$\begin{cases} x = -1, \\ y = 2 \end{cases}$是原方程组的解。
【答案】
(1) $\begin{cases} x = -1, \\ y = 2 \end{cases}$；
(2) $\begin{cases} x = -1, \\ y = 2 \end{cases}$；
(3) $\begin{cases} x = -1, \\ y = 2 \end{cases}$，验证如上。
【知识点】
二元一次方程组的加减消元法；规律探究
【点评】
本题通过给出特殊的解方程组技巧，引导学生掌握简化计算的方法，同时培养归纳推理能力。对于系数和常数项呈连续整数规律的二元一次方程组，利用两式相减得到$x+y$的关系式是解题核心，既能大幅减少计算量，又能快速得出结果，还可通过验证归纳出通用规律。
【难度系数】
0.6
对于这类x、y系数及常数项为连续整数的二元一次方程组，常规代入或加减消元法计算量较大，可借鉴题目给出的简便思路：
1. 先将两个方程相减，消去部分项得到$x+y$的关系式；
2. 用该关系式乘以第一个方程中x的系数，再与第一个方程相减，消去x求出y的值；
3. 将y的值代入$x+y$的关系式求出x；
4. 第二问可直接利用第一问的规律得出解；第三问先猜测解，再代入原方程组验证左右两边是否相等即可。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases}2015x + 2016y = 2017①,\\2018x + 2019y = 2020②\end{cases}$
② - ①，得 $3x + 3y = 3$，
两边同时除以3，得 $x + y = 1$③，
③×2015，得 $2015x + 2015y = 2015$④，
① - ④，得 $y = 2$，
把 $y = 2$ 代入③，得 $x = 1 - 2 = -1$，
所以原方程组的解是 $\begin{cases} x = -1, \\ y = 2 \end{cases}$。
(2) 观察方程组$\begin{cases}998x + 999y = 1000,\\9998x + 9999y = 10000\end{cases}$，符合上述规律，因此解为$\begin{cases} x = -1, \\ y = 2 \end{cases}$。
(3) 猜测方程组$\begin{cases}mx + (m + 1)y = m + 2,\\nx + (n + 1)y = n + 2\end{cases}$($m≠ n$)的解为$\begin{cases} x = -1, \\ y = 2 \end{cases}$。
验证：
当 $x = -1$，$y = 2$ 时，
第一个方程左边：$m×(-1) + (m + 1)×2 = -m + 2m + 2 = m + 2$，与右边相等；
第二个方程左边：$n×(-1) + (n + 1)×2 = -n + 2n + 2 = n + 2$，与右边相等。
所以$\begin{cases} x = -1, \\ y = 2 \end{cases}$是原方程组的解。
【答案】
(1) $\begin{cases} x = -1, \\ y = 2 \end{cases}$；
(2) $\begin{cases} x = -1, \\ y = 2 \end{cases}$；
(3) $\begin{cases} x = -1, \\ y = 2 \end{cases}$，验证如上。
【知识点】
二元一次方程组的加减消元法；规律探究
【点评】
本题通过给出特殊的解方程组技巧，引导学生掌握简化计算的方法，同时培养归纳推理能力。对于系数和常数项呈连续整数规律的二元一次方程组，利用两式相减得到$x+y$的关系式是解题核心，既能大幅减少计算量，又能快速得出结果，还可通过验证归纳出通用规律。
【难度系数】
0.6
【例2】阅读理解。
小聪在解方程组$\begin{cases}2x + 5y = 3①,\\4x + 11y = 5②\end{cases}$时，发现方程组中①和②之间存在一定的关系，他发现了一种整体代换法，具体解法如下：
解：将方程②变形为$4x + 10y + y = 5$，
即$2(2x + 5y) + y = 5$③，
把方程①代入方程③，得$2×3 + y = 5$，解得$y = - 1$。
把$y = - 1$代入方程①，得$x = 4$，
所以方程组的解是$\begin{cases}x = 4,\\y = - 1\end{cases}$。
（1）请仿照小聪的解法，解方程组$\begin{cases}3x - 2y = 5①,\\9x - 4y = 19②\end{cases}$。
（2）已知$x$，$y$满足方程组$\begin{cases}3x^{2} - 2xy + 12y^{2} = 47(*),\\2x^{2} + xy + 8y^{2} = 36( )\end{cases}$。
①求$x^{2} + 4y^{2}$的值。
②求$3xy$的值。
小聪在解方程组$\begin{cases}2x + 5y = 3①,\\4x + 11y = 5②\end{cases}$时，发现方程组中①和②之间存在一定的关系，他发现了一种整体代换法，具体解法如下：
解：将方程②变形为$4x + 10y + y = 5$，
即$2(2x + 5y) + y = 5$③，
把方程①代入方程③，得$2×3 + y = 5$，解得$y = - 1$。
把$y = - 1$代入方程①，得$x = 4$，
所以方程组的解是$\begin{cases}x = 4,\\y = - 1\end{cases}$。
（1）请仿照小聪的解法，解方程组$\begin{cases}3x - 2y = 5①,\\9x - 4y = 19②\end{cases}$。
（2）已知$x$，$y$满足方程组$\begin{cases}3x^{2} - 2xy + 12y^{2} = 47(*),\\2x^{2} + xy + 8y^{2} = 36( )\end{cases}$。
①求$x^{2} + 4y^{2}$的值。
②求$3xy$的值。
答案
解：(1)把方程②变形为 $ 3(3x - 2y) + 2y = 19 $③，
把①代入③，得 $ 15 + 2y = 19 $，解得 $ y = 2 $。
把 $ y = 2 $ 代入①，得 $ x = 3 $，
则方程组的解为 $ \begin{cases} x = 3, \\ y = 2 \end{cases} $。
(2)①由方程 (*) 得，$ 3(x^{2} + 4y^{2}) = 47 + 2xy $，
即 $ x^{2} + 4y^{2} = \frac{47 + 2xy}{3} $ ( )，
方程 ( ) 整理得 $ 2(x^{2} + 4y^{2}) + xy = 36 $ ( )，
将 ( ) 代入 ( )，得 $ 2×\frac{47 + 2xy}{3} + xy = 36 $，
解得 $ xy = 2 $。
将 $ xy = 2 $ 代入 ( )，得 $ x^{2} + 4y^{2} = 17 $。
②由①知 $ xy = 2 $，则 $ 3xy = 6 $。
把①代入③，得 $ 15 + 2y = 19 $，解得 $ y = 2 $。
把 $ y = 2 $ 代入①，得 $ x = 3 $，
则方程组的解为 $ \begin{cases} x = 3, \\ y = 2 \end{cases} $。
(2)①由方程 (*) 得，$ 3(x^{2} + 4y^{2}) = 47 + 2xy $，
即 $ x^{2} + 4y^{2} = \frac{47 + 2xy}{3} $ ( )，
方程 ( ) 整理得 $ 2(x^{2} + 4y^{2}) + xy = 36 $ ( )，
将 ( ) 代入 ( )，得 $ 2×\frac{47 + 2xy}{3} + xy = 36 $，
解得 $ xy = 2 $。
将 $ xy = 2 $ 代入 ( )，得 $ x^{2} + 4y^{2} = 17 $。
②由①知 $ xy = 2 $，则 $ 3xy = 6 $。
解析
【分析】
（1）仿照例题的整体代换思路，观察方程组中两个方程的系数关系，将方程②变形为含$3(3x-2y)$的形式，把方程①的整体值代入变形后的方程，先求出$y$的值，再代入方程①求出$x$；
（2）①把$x^2+4y^2$看作一个整体，从方程(*)中用$xy$表示出$x^2+4y^2$，再代入另一个方程，通过解方程求出$xy$的值，进而计算$x^2+4y^2$；②利用①中求出的$xy$的值，直接计算$3xy$即可。
【解析】
(1)把方程②变形为 $3(3x - 2y) + 2y = 19$③，
把①代入③，得 $3×5 + 2y = 19$，即$15 + 2y = 19$，解得 $y = 2$。
把 $y = 2$ 代入①，得 $3x - 2×2 = 5$，解得 $x = 3$，
则方程组的解为 $\begin{cases} x = 3, \\ y = 2 \end{cases}$。
(2)①由方程 (*) 得，$3(x^{2} + 4y^{2}) - 2xy = 47$，即 $3(x^{2} + 4y^{2}) = 47 + 2xy$，
所以 $x^{2} + 4y^{2} = \frac{47 + 2xy}{3}$ ④，
方程 ( ) 整理得 $2(x^{2} + 4y^{2}) + xy = 36$ ⑤，
将④代入⑤，得 $2×\frac{47 + 2xy}{3} + xy = 36$，
两边同时乘以3，得$2(47 + 2xy) + 3xy = 108$，
展开得：$94 + 4xy + 3xy = 108$，
合并同类项得：$7xy = 14$，解得 $xy = 2$，
将 $xy = 2$ 代入④，得 $x^{2} + 4y^{2} = \frac{47 + 2×2}{3} = 17$。
②由①知 $xy = 2$，则 $3xy = 3×2 = 6$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x = 3 \\ y = 2 \end{cases}$；
(2) ①$\boldsymbol{17}$；②$\boldsymbol{6}$
【知识点】
整体思想、二元一次方程组解法、代数式求值
【点评】
本题通过模仿例题的整体代换方法，考查了方程组的求解及代数式求值，整体代换思想能有效简化计算，降低解题难度，要求学生善于观察式子结构，学会构造整体进行转化，提升解题效率。
【难度系数】
0.4
（1）仿照例题的整体代换思路，观察方程组中两个方程的系数关系，将方程②变形为含$3(3x-2y)$的形式，把方程①的整体值代入变形后的方程，先求出$y$的值，再代入方程①求出$x$；
（2）①把$x^2+4y^2$看作一个整体，从方程(*)中用$xy$表示出$x^2+4y^2$，再代入另一个方程，通过解方程求出$xy$的值，进而计算$x^2+4y^2$；②利用①中求出的$xy$的值，直接计算$3xy$即可。
【解析】
(1)把方程②变形为 $3(3x - 2y) + 2y = 19$③，
把①代入③，得 $3×5 + 2y = 19$，即$15 + 2y = 19$，解得 $y = 2$。
把 $y = 2$ 代入①，得 $3x - 2×2 = 5$，解得 $x = 3$，
则方程组的解为 $\begin{cases} x = 3, \\ y = 2 \end{cases}$。
(2)①由方程 (*) 得，$3(x^{2} + 4y^{2}) - 2xy = 47$，即 $3(x^{2} + 4y^{2}) = 47 + 2xy$，
所以 $x^{2} + 4y^{2} = \frac{47 + 2xy}{3}$ ④，
方程 ( ) 整理得 $2(x^{2} + 4y^{2}) + xy = 36$ ⑤，
将④代入⑤，得 $2×\frac{47 + 2xy}{3} + xy = 36$，
两边同时乘以3，得$2(47 + 2xy) + 3xy = 108$，
展开得：$94 + 4xy + 3xy = 108$，
合并同类项得：$7xy = 14$，解得 $xy = 2$，
将 $xy = 2$ 代入④，得 $x^{2} + 4y^{2} = \frac{47 + 2×2}{3} = 17$。
②由①知 $xy = 2$，则 $3xy = 3×2 = 6$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x = 3 \\ y = 2 \end{cases}$；
(2) ①$\boldsymbol{17}$；②$\boldsymbol{6}$
【知识点】
整体思想、二元一次方程组解法、代数式求值
【点评】
本题通过模仿例题的整体代换方法，考查了方程组的求解及代数式求值，整体代换思想能有效简化计算，降低解题难度，要求学生善于观察式子结构，学会构造整体进行转化，提升解题效率。
【难度系数】
0.4
