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【变式】（1）解方程组$\begin{cases}2x + 4y = 16,\\5x + 8y - 36 = 0\end{cases}$。
（2）在（1）的基础上，求方程组$\begin{cases}2(m + n) + 4(m - n) = 16,\\5(m + n) + 8(m - n) - 36 = 0\end{cases}$的解。
（2）在（1）的基础上，求方程组$\begin{cases}2(m + n) + 4(m - n) = 16,\\5(m + n) + 8(m - n) - 36 = 0\end{cases}$的解。
答案
解：(1) $ \begin{cases} x = 4, \\ y = 2 \end{cases} $ (2) $ \begin{cases} m = 3, \\ n = 1 \end{cases} $。
解析
【解析】
(1) 先将方程组整理为$\begin{cases}2x + 4y = 16&①\\5x + 8y = 36&②\end{cases}$
①×2得：$4x + 8y = 32$ ③
②-③得：$x = 4$
把$x = 4$代入①得：$2×4 + 4y = 16$，解得$y = 2$
所以方程组的解为$\begin{cases} x = 4 \\ y = 2 \end{cases}$
(2) 设$x = m + n$，$y = m - n$，则原方程组转化为$\begin{cases}2x + 4y = 16\\5x + 8y - 36 = 0\end{cases}$
由(1)知$\begin{cases}x = 4\\y = 2\end{cases}$，即$\begin{cases}m + n = 4\\m - n = 2\end{cases}$
两式相加得$2m = 6$，解得$m = 3$；把$m = 3$代入$m + n = 4$得$n = 1$
所以方程组的解为$\begin{cases} m = 3 \\ n = 1 \end{cases}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{\begin{cases} x = 4 \\ y = 2 \end{cases}}$；(2) $\boldsymbol{\begin{cases} m = 3 \\ n = 1 \end{cases}}$
【知识点】
二元一次方程组解法，换元法
【点评】
本题考查二元一次方程组的求解，第一问利用加减消元法求解，第二问通过换元法将复杂方程组转化为已知方程组，简化计算，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
(1) 先将方程组整理为$\begin{cases}2x + 4y = 16&①\\5x + 8y = 36&②\end{cases}$
①×2得：$4x + 8y = 32$ ③
②-③得：$x = 4$
把$x = 4$代入①得：$2×4 + 4y = 16$，解得$y = 2$
所以方程组的解为$\begin{cases} x = 4 \\ y = 2 \end{cases}$
(2) 设$x = m + n$，$y = m - n$，则原方程组转化为$\begin{cases}2x + 4y = 16\\5x + 8y - 36 = 0\end{cases}$
由(1)知$\begin{cases}x = 4\\y = 2\end{cases}$，即$\begin{cases}m + n = 4\\m - n = 2\end{cases}$
两式相加得$2m = 6$，解得$m = 3$；把$m = 3$代入$m + n = 4$得$n = 1$
所以方程组的解为$\begin{cases} m = 3 \\ n = 1 \end{cases}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{\begin{cases} x = 4 \\ y = 2 \end{cases}}$；(2) $\boldsymbol{\begin{cases} m = 3 \\ n = 1 \end{cases}}$
【知识点】
二元一次方程组解法，换元法
【点评】
本题考查二元一次方程组的求解，第一问利用加减消元法求解，第二问通过换元法将复杂方程组转化为已知方程组，简化计算，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
【例3】阅读并解答：对于方程组$\begin{cases}\dfrac{x + y}{4} + \dfrac{x - y}{5} = 3,\\\dfrac{x + y}{4} - \dfrac{x - y}{5} = - 1\end{cases}$不妨设$\dfrac{x + y}{4} = u$，$\dfrac{x - y}{5} = v$，则原方程组就变成以$u$，$v$为未知数的方程组$\begin{cases}u + v = 3,\\u - v = - 1\end{cases}$解得$\begin{cases}u = 1,\\v = 2\end{cases}$，从而求得原方程组的解是$\begin{cases}x = 7,\\y = - 3\end{cases}$，这种解法称之为换元法。
用换元法解方程组$\begin{cases}3(x + y) - 5(x - y) = 16,\\2(x + y) + (x - y) = 15\end{cases}$。
用换元法解方程组$\begin{cases}3(x + y) - 5(x - y) = 16,\\2(x + y) + (x - y) = 15\end{cases}$。
答案
解：设 $ x + y = m $，$ x - y = n $，则原方程组可变形为 $ \begin{cases} 3m - 5n = 16, \\ 2m + n = 15 \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} m = 7, \\ n = 1 \end{cases} $，
则 $ \begin{cases} x + y = 7, \\ x - y = 1 \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} x = 4, \\ y = 3 \end{cases} $，故原方程组的解为 $ \begin{cases} x = 4, \\ y = 3 \end{cases} $。
则 $ \begin{cases} x + y = 7, \\ x - y = 1 \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} x = 4, \\ y = 3 \end{cases} $，故原方程组的解为 $ \begin{cases} x = 4, \\ y = 3 \end{cases} $。
解析
【分析】
观察原方程组可知，两个方程中重复出现$x+y$和$x-y$这两个整体，因此可以采用换元法简化计算。先将$x+y$和$x-y$分别设为新的未知数$m$和$n$，把原方程组转化为关于$m$、$n$的简单二元一次方程组，解出$m$、$n$后，再代回所设式子得到关于$x$、$y$的方程组，最后求解$x$、$y$即可得到原方程组的解。
【解析】
设$x + y = m$，$x - y = n$，则原方程组可变形为：
$\begin{cases} 3m - 5n = 16, \\ 2m + n = 15 \end{cases}$
对第二个方程进行变形：$n = 15 - 2m$，将其代入第一个方程：
$3m - 5(15 - 2m) = 16$
$3m - 75 + 10m = 16$
$13m = 91$
解得$m = 7$
把$m = 7$代入$n = 15 - 2m$，得$n = 15 - 2×7 = 1$
则有$\begin{cases} x + y = 7, \\ x - y = 1 \end{cases}$
将两个方程相加：$2x = 8$，解得$x = 4$
把$x = 4$代入$x + y = 7$，得$4 + y = 7$，解得$y = 3$
故原方程组的解为$\begin{cases} x = 4, \\ y = 3 \end{cases}$
【答案】
$\begin{cases} \boldsymbol{x = 4}, \\ \boldsymbol{y = 3} \end{cases}$
【知识点】
换元法、二元一次方程组的解法
【点评】
本题运用换元法将复杂方程组转化为简单的二元一次方程组，充分体现了整体思想的应用，有效降低了计算难度。掌握换元技巧和二元一次方程组的基本解法，是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7
观察原方程组可知，两个方程中重复出现$x+y$和$x-y$这两个整体，因此可以采用换元法简化计算。先将$x+y$和$x-y$分别设为新的未知数$m$和$n$，把原方程组转化为关于$m$、$n$的简单二元一次方程组，解出$m$、$n$后，再代回所设式子得到关于$x$、$y$的方程组，最后求解$x$、$y$即可得到原方程组的解。
【解析】
设$x + y = m$，$x - y = n$，则原方程组可变形为：
$\begin{cases} 3m - 5n = 16, \\ 2m + n = 15 \end{cases}$
对第二个方程进行变形：$n = 15 - 2m$，将其代入第一个方程：
$3m - 5(15 - 2m) = 16$
$3m - 75 + 10m = 16$
$13m = 91$
解得$m = 7$
把$m = 7$代入$n = 15 - 2m$，得$n = 15 - 2×7 = 1$
则有$\begin{cases} x + y = 7, \\ x - y = 1 \end{cases}$
将两个方程相加：$2x = 8$，解得$x = 4$
把$x = 4$代入$x + y = 7$，得$4 + y = 7$，解得$y = 3$
故原方程组的解为$\begin{cases} x = 4, \\ y = 3 \end{cases}$
【答案】
$\begin{cases} \boldsymbol{x = 4}, \\ \boldsymbol{y = 3} \end{cases}$
【知识点】
换元法、二元一次方程组的解法
【点评】
本题运用换元法将复杂方程组转化为简单的二元一次方程组，充分体现了整体思想的应用，有效降低了计算难度。掌握换元技巧和二元一次方程组的基本解法，是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7
【例4】把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫整体代换或换元思想。请根据上面的思想解决下面的问题：
若关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}a_{1}x + b_{1}y = c_{1},\\a_{2}x + b_{2}y = c_{2}\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 6,\\y = 2\end{cases}$，求关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}3a_{1}(x + y) + 2b_{1}(x - y) = 5c_{1},\\3a_{2}(x + y) + 2b_{2}(x - y) = 5c_{2}\end{cases}$的解。
若关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}a_{1}x + b_{1}y = c_{1},\\a_{2}x + b_{2}y = c_{2}\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 6,\\y = 2\end{cases}$，求关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}3a_{1}(x + y) + 2b_{1}(x - y) = 5c_{1},\\3a_{2}(x + y) + 2b_{2}(x - y) = 5c_{2}\end{cases}$的解。
答案
解：因为 $ \begin{cases} 3a_{1}(x + y) + 2b_{1}(x - y) = 5c_{1}, \\ 3a_{2}(x + y) + 2b_{2}(x - y) = 5c_{2} \end{cases} $
所以 $ \begin{cases} \frac{3}{5}a_{1}(x + y) + \frac{2}{5}b_{1}(x - y) = c_{1}, \\ \frac{3}{5}a_{2}(x + y) + \frac{2}{5}b_{2}(x - y) = c_{2} \end{cases} $
由题意知 $ \begin{cases} \frac{3}{5}(x + y) = 6, \\ \frac{2}{5}(x - y) = 2 \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = 7.5, \\ y = 2.5 \end{cases} $，
所以原方程组的解为 $ \begin{cases} x = 7.5, \\ y = 2.5 \end{cases} $。
所以 $ \begin{cases} \frac{3}{5}a_{1}(x + y) + \frac{2}{5}b_{1}(x - y) = c_{1}, \\ \frac{3}{5}a_{2}(x + y) + \frac{2}{5}b_{2}(x - y) = c_{2} \end{cases} $
由题意知 $ \begin{cases} \frac{3}{5}(x + y) = 6, \\ \frac{2}{5}(x - y) = 2 \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = 7.5, \\ y = 2.5 \end{cases} $，
所以原方程组的解为 $ \begin{cases} x = 7.5, \\ y = 2.5 \end{cases} $。
解析
【分析】
首先我们要运用整体代换的思想解题。已知第一个方程组的解，我们需要将第二个方程组变形，使其和第一个方程组的结构一致。先把第二个方程组两边同时除以5，此时可以把$\frac{3}{5}(x+y)$看作第一个方程组中的$x$，把$\frac{2}{5}(x-y)$看作第一个方程组中的$y$，再结合已知方程组的解，列出关于$x$、$y$的新方程组，最后求解这个新方程组即可得到答案。
【解析】
因为 $\begin{cases} 3a_{1}(x + y) + 2b_{1}(x - y) = 5c_{1}, \\ 3a_{2}(x + y) + 2b_{2}(x - y) = 5c_{2} \end{cases}$
将方程组两边同时除以5，可得：
$\begin{cases} \frac{3}{5}a_{1}(x + y) + \frac{2}{5}b_{1}(x - y) = c_{1}, \\ \frac{3}{5}a_{2}(x + y) + \frac{2}{5}b_{2}(x - y) = c_{2} \end{cases}$
已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}a_{1}x + b_{1}y = c_{1},\\a_{2}x + b_{2}y = c_{2}\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 6,\\y = 2\end{cases}$，对比变形后的方程组，可得：
$\begin{cases} \frac{3}{5}(x + y) = 6, \\ \frac{2}{5}(x - y) = 2 \end{cases}$
解第一个方程：$\frac{3}{5}(x+y)=6$，两边同时乘以$\frac{5}{3}$，得$x+y=10$；
解第二个方程：$\frac{2}{5}(x-y)=2$，两边同时乘以$\frac{5}{2}$，得$x-y=5$；
联立$\begin{cases}x+y=10\\x-y=5\end{cases}$，将两个方程相加，得$2x=15$，解得$x=7.5$；
把$x=7.5$代入$x+y=10$，得$7.5+y=10$，解得$y=2.5$。
所以原方程组的解为 $\begin{cases} x = 7.5, \\ y = 2.5 \end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases} x = 7.5, \\ y = 2.5 \end{cases}$
【知识点】
整体代换思想、二元一次方程组的解、解二元一次方程组
【点评】
本题核心考查整体代换思想的运用，解题关键是通过变形将待求方程组转化为与已知方程组结构一致的形式，把$\frac{3}{5}(x+y)$和$\frac{2}{5}(x-y)$看作整体对应已知方程组中的$x$和$y$，进而建立新方程组求解，锻炼了学生的整体思维与转化能力。
【难度系数】
0.4
首先我们要运用整体代换的思想解题。已知第一个方程组的解，我们需要将第二个方程组变形，使其和第一个方程组的结构一致。先把第二个方程组两边同时除以5，此时可以把$\frac{3}{5}(x+y)$看作第一个方程组中的$x$，把$\frac{2}{5}(x-y)$看作第一个方程组中的$y$，再结合已知方程组的解，列出关于$x$、$y$的新方程组，最后求解这个新方程组即可得到答案。
【解析】
因为 $\begin{cases} 3a_{1}(x + y) + 2b_{1}(x - y) = 5c_{1}, \\ 3a_{2}(x + y) + 2b_{2}(x - y) = 5c_{2} \end{cases}$
将方程组两边同时除以5，可得：
$\begin{cases} \frac{3}{5}a_{1}(x + y) + \frac{2}{5}b_{1}(x - y) = c_{1}, \\ \frac{3}{5}a_{2}(x + y) + \frac{2}{5}b_{2}(x - y) = c_{2} \end{cases}$
已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}a_{1}x + b_{1}y = c_{1},\\a_{2}x + b_{2}y = c_{2}\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 6,\\y = 2\end{cases}$，对比变形后的方程组，可得：
$\begin{cases} \frac{3}{5}(x + y) = 6, \\ \frac{2}{5}(x - y) = 2 \end{cases}$
解第一个方程：$\frac{3}{5}(x+y)=6$，两边同时乘以$\frac{5}{3}$，得$x+y=10$；
解第二个方程：$\frac{2}{5}(x-y)=2$，两边同时乘以$\frac{5}{2}$，得$x-y=5$；
联立$\begin{cases}x+y=10\\x-y=5\end{cases}$，将两个方程相加，得$2x=15$，解得$x=7.5$；
把$x=7.5$代入$x+y=10$，得$7.5+y=10$，解得$y=2.5$。
所以原方程组的解为 $\begin{cases} x = 7.5, \\ y = 2.5 \end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases} x = 7.5, \\ y = 2.5 \end{cases}$
【知识点】
整体代换思想、二元一次方程组的解、解二元一次方程组
【点评】
本题核心考查整体代换思想的运用，解题关键是通过变形将待求方程组转化为与已知方程组结构一致的形式，把$\frac{3}{5}(x+y)$和$\frac{2}{5}(x-y)$看作整体对应已知方程组中的$x$和$y$，进而建立新方程组求解，锻炼了学生的整体思维与转化能力。
【难度系数】
0.4
【变式】(1)若关于$a$，$b$的方程组$\begin{cases}2a - 3b = 4.7,\\3a + 5b = 19.4\end{cases}$的解为$\begin{cases}a = 4.3,\\b = 1.3\end{cases}$，则关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}2(x - 1) - 3(y + 1) = 4.7,\\3(x - 1) + 5(y + 1) = 19.4\end{cases}$的解为 ______ 。
(2)已知方程组$\begin{cases}a_{1}x + b_{1}y = c_{1},\\a_{2}x + b_{2}y = c_{2}\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 3,\\y = 4\end{cases}$，则方程组$\begin{cases}3a_{1}(x + 1) + 2b_{1}(y - 1) = 4c_{1},\\3a_{2}(x + 1) + 2b_{2}(y - 1) = 4c_{2}\end{cases}$的解是 ______ 。
(2)已知方程组$\begin{cases}a_{1}x + b_{1}y = c_{1},\\a_{2}x + b_{2}y = c_{2}\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 3,\\y = 4\end{cases}$，则方程组$\begin{cases}3a_{1}(x + 1) + 2b_{1}(y - 1) = 4c_{1},\\3a_{2}(x + 1) + 2b_{2}(y - 1) = 4c_{2}\end{cases}$的解是 ______ 。
答案
(1) $ \begin{cases} x = 5.3, \\ y = 0.3 \end{cases} $ (2) $ \begin{cases} x = 3, \\ y = 9 \end{cases} $
解析
【分析】
(1) 观察两个方程组的结构可知，关于$x$，$y$的方程组中$(x-1)$和$(y+1)$的位置与关于$a$，$b$的方程组中$a$和$b$的位置完全对应，因此可采用换元法，将$x-1$看作$a$，$y+1$看作$b$，直接利用已知方程组的解求出$x$和$y$。
(2) 先将给定的方程组进行变形，两边同时除以4，使其结构与已知解的方程组一致，把$\frac{3(x+1)}{4}$看作已知方程组中的$x$，$\frac{y-1}{2}$看作已知方程组中的$y$，再根据已知解列出方程求解$x$和$y$。
【解析】
(1) 令$x-1=a$，$y+1=b$，则关于$x$，$y$的方程组可转化为$\begin{cases}2a - 3b = 4.7,\\3a + 5b = 19.4\end{cases}$。
已知该方程组的解为$\begin{cases}a = 4.3,\\b = 1.3\end{cases}$，因此：
$x-1=4.3$，解得$x=4.3+1=5.3$；
$y+1=1.3$，解得$y=1.3-1=0.3$。
故该方程组的解为$\begin{cases}x = 5.3, \\ y = 0.3 \end{cases}$。
(2) 将方程组$\begin{cases}3a_{1}(x + 1) + 2b_{1}(y - 1) = 4c_{1},\\3a_{2}(x + 1) + 2b_{2}(y - 1) = 4c_{2}\end{cases}$两边同时除以4，得到：
$\begin{cases}a_{1}·\frac{3(x+1)}{4} + b_{1}·\frac{y-1}{2} = c_{1},\\a_{2}·\frac{3(x+1)}{4} + b_{2}·\frac{y-1}{2} = c_{2}\end{cases}$。
已知方程组$\begin{cases}a_{1}x + b_{1}y = c_{1},\\a_{2}x + b_{2}y = c_{2}\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 3,\\y = 4\end{cases}$，所以：
$\frac{3(x+1)}{4}=3$，解得$3(x+1)=12$，$x+1=4$，$x=3$；
$\frac{y-1}{2}=4$，解得$y-1=8$，$y=9$。
故该方程组的解为$\begin{cases}x = 3, \\ y = 9 \end{cases}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\begin{cases} x = 5.3, \\ y = 0.3 \end{cases}}$；(2) $\boldsymbol{\begin{cases} x = 3, \\ y = 9 \end{cases}}$
【知识点】
换元法解方程组；方程组的同解变形
【点评】
本题主要考查换元法和方程组变形的应用，核心是通过观察方程组的结构特征，将未知问题转化为已知问题，体现了转化思想的运用，需要学生具备较强的观察能力和方程变形能力。
【难度系数】
0.6
(1) 观察两个方程组的结构可知，关于$x$，$y$的方程组中$(x-1)$和$(y+1)$的位置与关于$a$，$b$的方程组中$a$和$b$的位置完全对应，因此可采用换元法，将$x-1$看作$a$，$y+1$看作$b$，直接利用已知方程组的解求出$x$和$y$。
(2) 先将给定的方程组进行变形，两边同时除以4，使其结构与已知解的方程组一致，把$\frac{3(x+1)}{4}$看作已知方程组中的$x$，$\frac{y-1}{2}$看作已知方程组中的$y$，再根据已知解列出方程求解$x$和$y$。
【解析】
(1) 令$x-1=a$，$y+1=b$，则关于$x$，$y$的方程组可转化为$\begin{cases}2a - 3b = 4.7,\\3a + 5b = 19.4\end{cases}$。
已知该方程组的解为$\begin{cases}a = 4.3,\\b = 1.3\end{cases}$，因此：
$x-1=4.3$，解得$x=4.3+1=5.3$；
$y+1=1.3$，解得$y=1.3-1=0.3$。
故该方程组的解为$\begin{cases}x = 5.3, \\ y = 0.3 \end{cases}$。
(2) 将方程组$\begin{cases}3a_{1}(x + 1) + 2b_{1}(y - 1) = 4c_{1},\\3a_{2}(x + 1) + 2b_{2}(y - 1) = 4c_{2}\end{cases}$两边同时除以4，得到：
$\begin{cases}a_{1}·\frac{3(x+1)}{4} + b_{1}·\frac{y-1}{2} = c_{1},\\a_{2}·\frac{3(x+1)}{4} + b_{2}·\frac{y-1}{2} = c_{2}\end{cases}$。
已知方程组$\begin{cases}a_{1}x + b_{1}y = c_{1},\\a_{2}x + b_{2}y = c_{2}\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 3,\\y = 4\end{cases}$，所以：
$\frac{3(x+1)}{4}=3$，解得$3(x+1)=12$，$x+1=4$，$x=3$；
$\frac{y-1}{2}=4$，解得$y-1=8$，$y=9$。
故该方程组的解为$\begin{cases}x = 3, \\ y = 9 \end{cases}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\begin{cases} x = 5.3, \\ y = 0.3 \end{cases}}$；(2) $\boldsymbol{\begin{cases} x = 3, \\ y = 9 \end{cases}}$
【知识点】
换元法解方程组；方程组的同解变形
【点评】
本题主要考查换元法和方程组变形的应用，核心是通过观察方程组的结构特征，将未知问题转化为已知问题，体现了转化思想的运用，需要学生具备较强的观察能力和方程变形能力。
【难度系数】
0.6
