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3. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$，$E$，$F$分别为$BC$，$AB$，$AC$的中点。
（1）求证：四边形$AEDF$是菱形。
（2）若$AB=AC=10$，$BC=16$，求四边形$AEDF$的面积。
（1）求证：四边形$AEDF$是菱形。
（2）若$AB=AC=10$，$BC=16$，求四边形$AEDF$的面积。
答案
3.(1)证明:因为E,F分别为AB,AC的中点,AB=AC,
所以AE=$\frac{1}{2}$AB,AF=$\frac{1}{2}$AC,
所以AE=AF.
因为D为BC的中点,
所以DF=$\frac{1}{2}$AB,DE=$\frac{1}{2}$AC,
所以AE=DF,AF=DE,
所以AE=AF=DE=DF,
所以四边形AEDF是菱形.
(2)解:四边形AEDF的面积为24.
所以AE=$\frac{1}{2}$AB,AF=$\frac{1}{2}$AC,
所以AE=AF.
因为D为BC的中点,
所以DF=$\frac{1}{2}$AB,DE=$\frac{1}{2}$AC,
所以AE=DF,AF=DE,
所以AE=AF=DE=DF,
所以四边形AEDF是菱形.
(2)解:四边形AEDF的面积为24.
解析
【解析】
（1）证明：
∵E，F分别为AB，AC的中点，$AB=AC$，
∴$AE=\frac{1}{2}AB$，$AF=\frac{1}{2}AC$，
∴$AE=AF$。
∵D为BC的中点，根据三角形中位线定理，
∴$DF=\frac{1}{2}AB$，$DE=\frac{1}{2}AC$，
∴$AE=DF$，$AF=DE$，
∴$AE=AF=DE=DF$，
∴四边形AEDF是菱形。
（2）解：
连接AD，
∵$AB=AC$，D是BC的中点，
∴$AD⊥BC$，$BD=\frac{1}{2}BC=8$。
在$Rt△ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×16×6=48$，
∵E，F，D分别为AB，AC，BC的中点，
∴四边形AEDF的面积为$\frac{1}{2}S_{△ABC}=\frac{1}{2}×48=24$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$\boldsymbol{24}$
【知识点】
三角形中位线定理，菱形的判定，勾股定理
【点评】
本题综合考查三角形中位线定理、菱形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练掌握相关定理是解题关键，第一问利用四边相等的四边形是菱形进行判定，第二问通过转化三角形面积求解菱形面积，思路清晰，方法典型。
【难度系数】
0.6
（1）证明：
∵E，F分别为AB，AC的中点，$AB=AC$，
∴$AE=\frac{1}{2}AB$，$AF=\frac{1}{2}AC$，
∴$AE=AF$。
∵D为BC的中点，根据三角形中位线定理，
∴$DF=\frac{1}{2}AB$，$DE=\frac{1}{2}AC$，
∴$AE=DF$，$AF=DE$，
∴$AE=AF=DE=DF$，
∴四边形AEDF是菱形。
（2）解：
连接AD，
∵$AB=AC$，D是BC的中点，
∴$AD⊥BC$，$BD=\frac{1}{2}BC=8$。
在$Rt△ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×16×6=48$，
∵E，F，D分别为AB，AC，BC的中点，
∴四边形AEDF的面积为$\frac{1}{2}S_{△ABC}=\frac{1}{2}×48=24$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$\boldsymbol{24}$
【知识点】
三角形中位线定理，菱形的判定，勾股定理
【点评】
本题综合考查三角形中位线定理、菱形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练掌握相关定理是解题关键，第一问利用四边相等的四边形是菱形进行判定，第二问通过转化三角形面积求解菱形面积，思路清晰，方法典型。
【难度系数】
0.6
1. 依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是(
A.
B.
C.
D.
B
)A.
B.
C.
D.
答案
1.B
解析
【解析】
根据菱形的判定定理逐一分析各选项：
选项A：仅给出对角线的部分线段相等，无法判定该平行四边形邻边相等或对角线垂直，不能确定是菱形。
选项B：在平行四边形中，由内错角相等和已知的40°角，可推出一组邻边相等，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定该平行四边形为菱形。
选项C：标识的是平行四边形的一组对边为3，平行四边形本身对边相等，无法判定邻边相等，不能确定是菱形。
选项D：根据图中角度，无法推出邻边相等或对角线垂直，不能确定是菱形。
【答案】
B
【知识点】
菱形的判定、平行四边形性质
【点评】
本题考查菱形的判定与平行四边形的性质，需熟练运用菱形判定定理，结合图形条件分析判断。
【难度系数】
0.6
根据菱形的判定定理逐一分析各选项：
选项A：仅给出对角线的部分线段相等，无法判定该平行四边形邻边相等或对角线垂直，不能确定是菱形。
选项B：在平行四边形中，由内错角相等和已知的40°角，可推出一组邻边相等，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定该平行四边形为菱形。
选项C：标识的是平行四边形的一组对边为3，平行四边形本身对边相等，无法判定邻边相等，不能确定是菱形。
选项D：根据图中角度，无法推出邻边相等或对角线垂直，不能确定是菱形。
【答案】
B
【知识点】
菱形的判定、平行四边形性质
【点评】
本题考查菱形的判定与平行四边形的性质，需熟练运用菱形判定定理，结合图形条件分析判断。
【难度系数】
0.6
2. 如图，矩形$ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$DE// AC$，$CE// BD$，若$AC=4$，则四边形$CODE$的周长为(
A.4
B.8
C.6
D.10
B
)A.4
B.8
C.6
D.10
答案
2.B
解析
【解析】
1. 因为四边形$ABCD$是矩形，根据矩形对角线相等且互相平分的性质，可得$OC=\frac{1}{2}AC$，$OD=\frac{1}{2}BD$，且$AC=BD$。
2. 已知$AC=4$，所以$OC=OD=\frac{1}{2}×4=2$。
3. 因为$DE// AC$，$CE// BD$，所以四边形$CODE$是平行四边形。
4. 又因为$OC=OD$，所以平行四边形$CODE$是菱形，菱形的四条边相等，即$CO=OD=DE=EC=2$。
5. 因此四边形$CODE$的周长为$4×2=8$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；菱形的判定与性质；平行四边形的判定
【点评】
本题综合考查矩形、平行四边形及菱形的性质与判定，需熟练掌握特殊四边形的对角线特征，通过图形的平行关系判定平行四边形，再结合矩形对角线的性质推出菱形，进而求解周长。
【难度系数】
0.7
1. 因为四边形$ABCD$是矩形，根据矩形对角线相等且互相平分的性质，可得$OC=\frac{1}{2}AC$，$OD=\frac{1}{2}BD$，且$AC=BD$。
2. 已知$AC=4$，所以$OC=OD=\frac{1}{2}×4=2$。
3. 因为$DE// AC$，$CE// BD$，所以四边形$CODE$是平行四边形。
4. 又因为$OC=OD$，所以平行四边形$CODE$是菱形，菱形的四条边相等，即$CO=OD=DE=EC=2$。
5. 因此四边形$CODE$的周长为$4×2=8$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；菱形的判定与性质；平行四边形的判定
【点评】
本题综合考查矩形、平行四边形及菱形的性质与判定，需熟练掌握特殊四边形的对角线特征，通过图形的平行关系判定平行四边形，再结合矩形对角线的性质推出菱形，进而求解周长。
【难度系数】
0.7
3. 已知四边形$ABCD$是平行四边形，根据下列条件，能判定$□ ABCD$为菱形的是(
A.$∠ A=90°$
B.$∠ B=∠ C$
C.$AC⊥ BD$
D.$AC=BD$
C
)A.$∠ A=90°$
B.$∠ B=∠ C$
C.$AC⊥ BD$
D.$AC=BD$
答案
3.C
解析
【解析】
根据特殊四边形的判定定理逐一分析选项：
1. 选项A：在平行四边形$ABCD$中，若$∠A=90°$，则该平行四边形是矩形，并非菱形，不符合要求；
2. 选项B：平行四边形中邻角互补，即$∠B+∠C=180°$，若$∠B=∠C$，则$∠B=∠C=90°$，此时平行四边形为矩形，不符合要求；
3. 选项C：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，当$AC⊥BD$时，$□ABCD$为菱形，符合要求；
4. 选项D：对角线相等的平行四边形是矩形，并非菱形，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
菱形的判定定理、平行四边形的性质
【点评】
本题考查特殊平行四边形的判定，需准确区分菱形、矩形的判定条件，避免混淆不同四边形的判定定理，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
根据特殊四边形的判定定理逐一分析选项：
1. 选项A：在平行四边形$ABCD$中，若$∠A=90°$，则该平行四边形是矩形，并非菱形，不符合要求；
2. 选项B：平行四边形中邻角互补，即$∠B+∠C=180°$，若$∠B=∠C$，则$∠B=∠C=90°$，此时平行四边形为矩形，不符合要求；
3. 选项C：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，当$AC⊥BD$时，$□ABCD$为菱形，符合要求；
4. 选项D：对角线相等的平行四边形是矩形，并非菱形，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
菱形的判定定理、平行四边形的性质
【点评】
本题考查特殊平行四边形的判定，需准确区分菱形、矩形的判定条件，避免混淆不同四边形的判定定理，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
