1. 如图，在$△ ABC$中，$AD$是$△ ABC$的角平分线，$DE// AC$，交$AB$于点$E$，$DF// AB$，交$AC$于点$F$。求证：四边形$AEDF$是菱形。

1.证明:因为DE//AC,DF//AB,
所以四边形AEDF是平行四边形,
∠EAD=∠ADF.
因为AD是△ABC的角平分线,
所以∠EAD=∠FAD,
所以∠ADF=∠FAD,
所以FA=FD,
所以四边形AEDF是菱形.

【解析】
因为$DE// AC$，$DF// AB$，所以四边形$AEDF$是平行四边形，且$∠ EAD=∠ ADF$。
因为$AD$是$△ ABC$的角平分线，所以$∠ EAD=∠ FAD$，通过等量代换可得$∠ ADF=∠ FAD$，根据等角对等边，得到$FA=FD$。
根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可证四边形$AEDF$是菱形。
【答案】
四边形$AEDF$是菱形，证明成立。
【知识点】
平行四边形的判定、菱形的判定、角平分线的性质
【点评】
本题综合考查平行四边形与菱形的判定定理、角平分线的性质，需熟练运用相关定理，通过角的等量关系推导邻边相等，完成菱形的证明，属于几何基础证明题。
【难度系数】
0.6

2. 如图，将一张矩形纸片$ABCD$沿直线$MN$折叠，使点$C$落在点$A$处，点$D$落在点$E$处，连接$CN$。求证：四边形$AMCN$是菱形。

2.证明:因为四边形ABCD是矩形,
所以AD//BC,
所以∠ANM=∠NMC.
由折叠的性质可得,AM=CM,∠AMN=∠CMN.
又因为MN=MN,
所以△AMN≌△CMN,
所以∠ANM=∠CNM,AN=CN,
所以∠NMC=∠CNM,
所以CM=CN,
所以AM=CM=CN=AN,
所以四边形AMCN为菱形.

【解析】
证明：因为四边形$ABCD$是矩形，
所以$AD// BC$，
所以$∠ ANM=∠ NMC$。
由折叠的性质可得，$AM=CM$，$∠ AMN=∠ CMN$。
又因为$MN=MN$，
所以$△ AMN≌△ CMN$（ASA），
所以$∠ ANM=∠ CNM$，$AN=CN$，
所以$∠ NMC=∠ CNM$，
所以$CM=CN$，
所以$AM=CM=CN=AN$，
所以四边形$AMCN$为菱形。
【答案】
四边形$AMCN$是菱形
【知识点】
矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定
【点评】
本题综合考查矩形、折叠的性质及菱形的判定，通过全等三角形的证明及边角等量转化推导四边相等，进而证明菱形，需熟练掌握相关图形的性质与判定定理。
【难度系数】
0.6

【例2】如图，在四边形$ABCD$中，$AD// BC$，$AB=BC$，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$BD$平分$∠ ABC$，过点$D$作$DE⊥ BC$，交$BC$的延长线于点$E$。
(1)求证：四边形$ABCD$是菱形。
(2)若$OD=DE$，$BC=4$，求$CE$的长。

思路分析
思考1：根据已知条件可知$AB=BC$，要证明四边形$ABCD$是菱形，需要先证明四边形$ABCD$是什么四边形？
思考2：由$DO⊥ CO$，$DE⊥ CE$，$OD=DE$可知，$CD$是$∠ OCE$的，再根据四边形$ABCD$是菱形，进一步可得到$∠ ACB$，$∠ ACD$，$∠ DCE$是什么关系？$∠ DCE$是多少度？
证明：
【规律方法】
解决菱形的性质与判定的综合问题时，一般要先利用菱形的判定定理证明四边形是菱形，再通过菱形的性质进行求解或证明其他问题。

思路分析
思考1:需要先证明四边形ABCD是平行四边形.
思考2:平分线　∠ACB=∠ACD=∠DCE.∠DCE=60°.
(1)证明:因为AD//BC,
所以∠ADB=∠DBC.
因为BD平分∠ABC,
所以∠ABD=∠DBC,
所以∠ABD=∠ADB,
所以AB=AD.
因为AB=BC,所以AD=BC.
因为AD//BC,
所以四边形ABCD是平行四边形.
因为AB=BC,
所以四边形ABCD是菱形.
(2)解:CE=2.

【解析】
(1) 证明：
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ ADB=∠ DBC$。
$\because BD$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ ABD=∠ DBC$，
$\therefore ∠ ABD=∠ ADB$，
$\therefore AB=AD$。
$\because AB=BC$，
$\therefore AD=BC$。
又$\because AD// BC$，
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形。
$\because AB=BC$，
$\therefore$ 平行四边形$ABCD$是菱形。
(2) 解：
$\because$ 四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AC⊥ BD$，$CD=BC=4$，即$∠ DOC=90°$。
$\because DE⊥ BC$，
$\therefore ∠ DEC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ DOC$和$\mathrm{Rt}△ DEC$中，
$\begin{cases} CD=CD \\ OD=DE \end{cases}$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ DOC≌\mathrm{Rt}△ DEC$（HL），
$\therefore ∠ OCD=∠ ECD$。
$\because$ 四边形$ABCD$是菱形，$AC$平分$∠ BCD$，
$\therefore ∠ ACB=∠ ACD$，
$\therefore ∠ ACB=∠ ACD=∠ DCE$。
$\because ∠ ACB+∠ ACD+∠ DCE=180°$，
$\therefore ∠ DCE=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ DEC$中，$∠ DEC=90°$，$∠ DCE=60°$，
$\therefore CE=CD·\cos60°=4×\frac{1}{2}=2$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\boldsymbol{CE=2}$
【知识点】
菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质
【点评】
本题综合考查菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及角平分线的性质，解题时需先利用菱形的判定定理证明四边形为菱形，再结合菱形的性质及全等三角形知识求解，需熟练掌握相关定理的应用。
【难度系数】
0.6