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4. 如图，在$□ ABCD$中，用直尺和圆规作$∠ BAD$的平分线$AG$，交$BC$于点$E$，若$BF=16$，$AB=10$，则$AE$的长为(
A.6
B.8
C.10
D.12
D
)A.6
B.8
C.10
D.12
答案
4.D
解析
【解析】
连接EF，设AE与BF交于点O。
1. 因为AG平分∠BAD，所以∠BAE=∠DAE。
2. 四边形ABCD是平行四边形，故$AD// BC$，因此∠DAE=∠BEA，进而∠BAE=∠BEA，可得$AB=BE=10$。
3. 由作图可知$AF=AB$，结合$AD// BC$，即$AF// BE$，且$AF=BE$，可判定四边形ABEF是菱形，因此$AE⊥ BF$，且$OB=OF=\frac{1}{2}BF=8$。
4. 在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得$AO=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$，故$AE=2AO=12$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形、菱形的性质与判定，以及勾股定理的应用，解题关键是利用角平分线和平行线的性质推导出等腰三角形，进而判定菱形，将线段长度转化到直角三角形中求解。
【难度系数】
0.6
连接EF，设AE与BF交于点O。
1. 因为AG平分∠BAD，所以∠BAE=∠DAE。
2. 四边形ABCD是平行四边形，故$AD// BC$，因此∠DAE=∠BEA，进而∠BAE=∠BEA，可得$AB=BE=10$。
3. 由作图可知$AF=AB$，结合$AD// BC$，即$AF// BE$，且$AF=BE$，可判定四边形ABEF是菱形，因此$AE⊥ BF$，且$OB=OF=\frac{1}{2}BF=8$。
4. 在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得$AO=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$，故$AE=2AO=12$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形、菱形的性质与判定，以及勾股定理的应用，解题关键是利用角平分线和平行线的性质推导出等腰三角形，进而判定菱形，将线段长度转化到直角三角形中求解。
【难度系数】
0.6
5. 如图，将两张对边平行且等宽的平行四边形纸条交叉叠放在一起，重叠部分构成一个四边形$ABCD$，对角线$AC=4\ cm$，$BD=2\ cm$，过点$D$作$DH⊥ AB$于点$H$，则$DH$的长是(
A.$\sqrt{3}\ cm$
B.$\frac{4\sqrt{5}}{5}\ cm$
C.$\frac{8}{5}\ cm$
D.$\frac{8\sqrt{5}}{5}\ cm$
B
)A.$\sqrt{3}\ cm$
B.$\frac{4\sqrt{5}}{5}\ cm$
C.$\frac{8}{5}\ cm$
D.$\frac{8\sqrt{5}}{5}\ cm$
答案
5.B
解析
【解析】
1. 判定四边形$ABCD$为菱形：
由两张纸条对边平行，得$AB// CD$，$AD// BC$，故四边形$ABCD$是平行四边形。
因纸条等宽，即平行四边形的高相等，可推得邻边$AB=AD$，因此四边形$ABCD$是菱形。
2. 计算边长$AB$：
菱形对角线互相垂直平分，已知$AC=4\ cm$，$BD=2\ cm$，则$OA=\frac{1}{2}AC=2\ cm$，$OB=\frac{1}{2}BD=1\ cm$。
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\ cm$。
3. 计算$DH$的长度：
菱形面积可通过对角线乘积的一半计算，即$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×4×2=4\ cm^2$；
同时菱形面积也可表示为底×高，即$S_{菱形ABCD}=AB· DH$。
联立得$\sqrt{5}· DH=4$，解得$DH=\frac{4\sqrt{5}}{5}\ cm$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的判定与性质，勾股定理，菱形面积公式
【点评】
本题结合平行四边形纸条的特性，考查菱形的判定与性质的综合应用，核心是利用菱形的两种面积计算方法建立等式求解高，需熟练掌握菱形对角线垂直平分的性质及面积的不同计算方式。
【难度系数】
0.6
1. 判定四边形$ABCD$为菱形：
由两张纸条对边平行，得$AB// CD$，$AD// BC$，故四边形$ABCD$是平行四边形。
因纸条等宽，即平行四边形的高相等，可推得邻边$AB=AD$，因此四边形$ABCD$是菱形。
2. 计算边长$AB$：
菱形对角线互相垂直平分，已知$AC=4\ cm$，$BD=2\ cm$，则$OA=\frac{1}{2}AC=2\ cm$，$OB=\frac{1}{2}BD=1\ cm$。
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\ cm$。
3. 计算$DH$的长度：
菱形面积可通过对角线乘积的一半计算，即$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×4×2=4\ cm^2$；
同时菱形面积也可表示为底×高，即$S_{菱形ABCD}=AB· DH$。
联立得$\sqrt{5}· DH=4$，解得$DH=\frac{4\sqrt{5}}{5}\ cm$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的判定与性质，勾股定理，菱形面积公式
【点评】
本题结合平行四边形纸条的特性，考查菱形的判定与性质的综合应用，核心是利用菱形的两种面积计算方法建立等式求解高，需熟练掌握菱形对角线垂直平分的性质及面积的不同计算方式。
【难度系数】
0.6
6. 如图，用4根长度相等的木棒首尾顺次连接组成的四边形$ABCD$中，$BD=8$，$AC=4$，则该四边形的面积是
16
。答案
6.16
解析
【解析】
由4根长度相等的木棒首尾顺次连接组成的四边形$ABCD$是菱形，根据菱形的面积公式：菱形面积等于对角线乘积的一半，已知$BD=8$，$AC=4$，则该四边形的面积为$\frac{1}{2} × AC × BD = \frac{1}{2} × 4 × 8 = 16$。
【答案】
16
【知识点】
菱形的判定；菱形的面积计算
【点评】
本题考查菱形的判定与面积计算，解题关键是根据四边相等判定四边形为菱形，再利用对角线乘积的一半计算面积。
【难度系数】
0.8
由4根长度相等的木棒首尾顺次连接组成的四边形$ABCD$是菱形，根据菱形的面积公式：菱形面积等于对角线乘积的一半，已知$BD=8$，$AC=4$，则该四边形的面积为$\frac{1}{2} × AC × BD = \frac{1}{2} × 4 × 8 = 16$。
【答案】
16
【知识点】
菱形的判定；菱形的面积计算
【点评】
本题考查菱形的判定与面积计算，解题关键是根据四边相等判定四边形为菱形，再利用对角线乘积的一半计算面积。
【难度系数】
0.8
7. 如图，已知$∠ MON$，$A$为射线$ON$上一点。
（1）利用没有刻度的直尺和圆规作图：
① 在射线$OM$上截取$OB=OA$；
② 作$BP// ON$；
③ 在射线$BP$上截取$BC=BO$，连接$AC$。
（2）求证：四边形$OACB$是菱形。
（1）利用没有刻度的直尺和圆规作图：
① 在射线$OM$上截取$OB=OA$；
② 作$BP// ON$；
③ 在射线$BP$上截取$BC=BO$，连接$AC$。
（2）求证：四边形$OACB$是菱形。
答案
7.(1)解:如图所示.
(2)证明:因为OB=OA,BC=OB,
所以BC=OA.
由(1),知BC//OA,
所以四边形OACB是平行四边形.
因为OB=OA,
所以四边形OACB是菱形.
解析
【解析】
（1）① 以点O为圆心，OA长为半径画弧，交OM于点B，即OB=OA；
② 作∠OBP=∠MON，射线BP即为所求（或利用尺规作平行线的方法作出$BP// ON$）；
③ 以点B为圆心，BO长为半径画弧，交BP于点C，连接AC，完成作图。
（2）证明：
$\because OB=OA$，$BC=OB$，
$\therefore BC=OA$。
由作图知$BP// ON$，即$BC// OA$，
$\therefore$ 四边形$OACB$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
又$\because OB=OA$，
$\therefore$ 平行四边形$OACB$是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
【答案】
（1）作图见解析；（2）四边形$OACB$是菱形，证明见解析。
【知识点】
尺规作图、平行四边形的判定、菱形的判定
【点评】
本题综合考查尺规作图和特殊四边形的判定，要求掌握基本尺规作图方法，熟练运用平行四边形和菱形的判定定理进行几何证明，是对基础几何知识的综合考查。
【难度系数】
0.7
（1）① 以点O为圆心，OA长为半径画弧，交OM于点B，即OB=OA；
② 作∠OBP=∠MON，射线BP即为所求（或利用尺规作平行线的方法作出$BP// ON$）；
③ 以点B为圆心，BO长为半径画弧，交BP于点C，连接AC，完成作图。
（2）证明：
$\because OB=OA$，$BC=OB$，
$\therefore BC=OA$。
由作图知$BP// ON$，即$BC// OA$，
$\therefore$ 四边形$OACB$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
又$\because OB=OA$，
$\therefore$ 平行四边形$OACB$是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
【答案】
（1）作图见解析；（2）四边形$OACB$是菱形，证明见解析。
【知识点】
尺规作图、平行四边形的判定、菱形的判定
【点评】
本题综合考查尺规作图和特殊四边形的判定，要求掌握基本尺规作图方法，熟练运用平行四边形和菱形的判定定理进行几何证明，是对基础几何知识的综合考查。
【难度系数】
0.7
8. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$D$，$E$分别是$AB$，$AC$边的中点，连接$DE$，过点$C$作$CF// AB$，交$DE$的延长线于点$F$，连接$AF$。
（1）求证：四边形$ADCF$是菱形。
（2）若$BC=8$，$AC=6$，求四边形$ABCF$的周长。
（1）求证：四边形$ADCF$是菱形。
（2）若$BC=8$，$AC=6$，求四边形$ABCF$的周长。
答案
8.(1)证明:因为D,E分别是AB,AC的中点,
所以AD=BD,DE是△ABC的中位线,
所以DE//BC,
所以∠AED=∠ACB=90°,
所以AC⊥DF.
因为CF//AB,
所以四边形BCFD是平行四边形,
所以CF=BD,所以CF=AD.
因为CF//AD,
所以四边形ADCF是平行四边形.
因为AC⊥DF,所以四边形ADCF是菱形.
(2)解:四边形ABCF的周长为28.
所以AD=BD,DE是△ABC的中位线,
所以DE//BC,
所以∠AED=∠ACB=90°,
所以AC⊥DF.
因为CF//AB,
所以四边形BCFD是平行四边形,
所以CF=BD,所以CF=AD.
因为CF//AD,
所以四边形ADCF是平行四边形.
因为AC⊥DF,所以四边形ADCF是菱形.
(2)解:四边形ABCF的周长为28.
解析
【解析】
（1）证明：
∵ D，E分别是AB，AC的中点，
∴ AD=BD，DE是△ABC的中位线，
∴ DE//BC，
∴ ∠AED=∠ACB=90°，即AC⊥DF。
∵ CF//AB，
∴ 四边形BCFD是平行四边形，
∴ CF=BD，又AD=BD，
∴ CF=AD。
∵ CF//AD，
∴ 四边形ADCF是平行四边形。
又
∵ AC⊥DF，
∴ 四边形ADCF是菱形。
（2）解：
在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$BC=8$，$AC=6$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
∵ D是AB的中点，四边形ADCF是菱形，
∴ $AD=CF=AF=\frac{1}{2}AB=5$。
四边形ABCF的周长为$AB+BC+CF+AF=10+8+5+5=28$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）28
【知识点】
三角形中位线定理、菱形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查了三角形中位线定理、菱形的判定与性质以及勾股定理，需要熟练掌握相关几何定理，通过分析图形中的平行、垂直关系，结合线段中点的性质进行推理与计算。
【难度系数】
0.6
（1）证明：
∵ D，E分别是AB，AC的中点，
∴ AD=BD，DE是△ABC的中位线，
∴ DE//BC，
∴ ∠AED=∠ACB=90°，即AC⊥DF。
∵ CF//AB，
∴ 四边形BCFD是平行四边形，
∴ CF=BD，又AD=BD，
∴ CF=AD。
∵ CF//AD，
∴ 四边形ADCF是平行四边形。
又
∵ AC⊥DF，
∴ 四边形ADCF是菱形。
（2）解：
在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$BC=8$，$AC=6$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
∵ D是AB的中点，四边形ADCF是菱形，
∴ $AD=CF=AF=\frac{1}{2}AB=5$。
四边形ABCF的周长为$AB+BC+CF+AF=10+8+5+5=28$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）28
【知识点】
三角形中位线定理、菱形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查了三角形中位线定理、菱形的判定与性质以及勾股定理，需要熟练掌握相关几何定理，通过分析图形中的平行、垂直关系，结合线段中点的性质进行推理与计算。
【难度系数】
0.6
