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9. 若一个$n$边形的内角和是 $ 900^{\circ} $，则 $ n = $.
答案
7
解析
根据多边形内角和公式：$(n-2)×180^{\circ}$，可得方程：
$(n-2)×180^{\circ}=900^{\circ}$
两边同时除以$180^{\circ}$：$n-2=5$
解得：$n=7$
$(n-2)×180^{\circ}=900^{\circ}$
两边同时除以$180^{\circ}$：$n-2=5$
解得：$n=7$
10. 在矩形$ABCD$中，对角线$AC$，$BD$交于点$O$.若$∠ BOC = 120^{\circ}$，$AB = 5$，则$BC$的长为.
答案
在矩形$ABCD$中，$AC=BD$，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，所以$OA=OB=OC=OD$。
因为$∠ BOC = 120^{\circ}$，所以$∠ AOB = 180^{\circ}-∠ BOC = 60^{\circ}$。
又因为$OA=OB$，所以$△ AOB$是等边三角形，因此$OA=OB=AB=5$，则$AC=2OA=10$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90^{\circ}$，根据勾股定理$AC^2 = AB^2 + BC^2$，可得$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$。
$5\sqrt{3}$
因为$∠ BOC = 120^{\circ}$，所以$∠ AOB = 180^{\circ}-∠ BOC = 60^{\circ}$。
又因为$OA=OB$，所以$△ AOB$是等边三角形，因此$OA=OB=AB=5$，则$AC=2OA=10$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90^{\circ}$，根据勾股定理$AC^2 = AB^2 + BC^2$，可得$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$。
$5\sqrt{3}$
11. 如图，在菱形$ABCD$中，$∠ ADC = 128^{\circ}$，$P$是对角线$AC$，$BD$的交点，点$E$在$CB$的延长线上.若$PE = PA$，则$∠ APE$的度数为.
答案
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=128°，
∴∠DAB=180°-∠ADC=52°（菱形邻角互补），
AC平分∠DAB，BD平分∠ADC，AC⊥BD（菱形对角线性质），
∴∠DAC=∠CAB=∠DAB/2=26°，∠ADP=∠CDP=∠ADC/2=64°，∠APB=90°（对角线垂直）。
∵点E在CB延长线上，PE=PA，PA=PC（菱形对角线互相平分），
∴PE=PC，△PEC为等腰三角形，∠PCE=∠PEC。
∵AD//BC（菱形对边平行），∴∠DAC=∠ACB=26°（内错角相等），即∠PCE=26°，
∴∠PEC=26°，∠CPE=180°-∠PCE-∠PEC=128°。
∵AC⊥BD，∴∠CPB=90°，∠BPE=∠CPE-∠CPB=128°-90°=38°。
∵∠APB=90°，∴∠APE=∠APB+∠BPE=90°+38°=128°。
128°
∴∠DAB=180°-∠ADC=52°（菱形邻角互补），
AC平分∠DAB，BD平分∠ADC，AC⊥BD（菱形对角线性质），
∴∠DAC=∠CAB=∠DAB/2=26°，∠ADP=∠CDP=∠ADC/2=64°，∠APB=90°（对角线垂直）。
∵点E在CB延长线上，PE=PA，PA=PC（菱形对角线互相平分），
∴PE=PC，△PEC为等腰三角形，∠PCE=∠PEC。
∵AD//BC（菱形对边平行），∴∠DAC=∠ACB=26°（内错角相等），即∠PCE=26°，
∴∠PEC=26°，∠CPE=180°-∠PCE-∠PEC=128°。
∵AC⊥BD，∴∠CPB=90°，∠BPE=∠CPE-∠CPB=128°-90°=38°。
∵∠APB=90°，∴∠APE=∠APB+∠BPE=90°+38°=128°。
128°
12. 如图，在矩形$ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，过点$A$作$AE ⊥ BD$，垂足为$E$.若$BE = 1$，$AE = 2$，则$AC$的长为.
答案
∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC=OB=OD（矩形对角线相等且互相平分）。
设OB=x，则BD=2x，OA=OB=x。
∵AE⊥BD，∴∠AEB=∠AEO=90°。
在Rt△ABE中，BE=1，AE=2，由勾股定理得AB²=AE²+BE²=2²+1²=5。
∵E在BD上，BE=1，∴OE=OB-BE=x-1。
在Rt△AEO中，AE=2，OE=x-1，OA=x，由勾股定理得：
OA²=AE²+OE²，即x²=2²+(x-1)²。
展开得：x²=4+x²-2x+1，化简得2x=5，解得x=2.5。
∴BD=2x=5，又AC=BD，∴AC=5。
5
设OB=x，则BD=2x，OA=OB=x。
∵AE⊥BD，∴∠AEB=∠AEO=90°。
在Rt△ABE中，BE=1，AE=2，由勾股定理得AB²=AE²+BE²=2²+1²=5。
∵E在BD上，BE=1，∴OE=OB-BE=x-1。
在Rt△AEO中，AE=2，OE=x-1，OA=x，由勾股定理得：
OA²=AE²+OE²，即x²=2²+(x-1)²。
展开得：x²=4+x²-2x+1，化简得2x=5，解得x=2.5。
∴BD=2x=5，又AC=BD，∴AC=5。
5
13. 如图，将正方形$OEFG$放在平面直角坐标系中，$O$是坐标原点，点$E$的坐标为$(2,3)$，则点$F$的坐标为.
答案
过点E作EM⊥x轴于M，过点F作FN⊥y轴于N，连接OF。
∵四边形OEFG是正方形，∴OE=EF，∠OEF=90°，∴∠OEM+∠FEN=90°。
∵EM⊥x轴，FN⊥y轴，∴∠EMO=∠FNE=90°，∠EOM+∠OEM=90°，∴∠EOM=∠FEN。
在△OEM和△FEN中，
∠EMO=∠FNE，∠EOM=∠FEN，OE=EF，
∴△OEM≌△FEN(AAS)。
∵E(2,3)，∴OM=2，EM=3，
∴EN=OM=2，FN=EM=3。
∵点E的坐标为(2,3)，∴点N的纵坐标为3+EN=3+2=5，点F的横坐标为-FN=-3，
∴点F的坐标为(-1,5)。
(-1,5)
∵四边形OEFG是正方形，∴OE=EF，∠OEF=90°，∴∠OEM+∠FEN=90°。
∵EM⊥x轴，FN⊥y轴，∴∠EMO=∠FNE=90°，∠EOM+∠OEM=90°，∴∠EOM=∠FEN。
在△OEM和△FEN中，
∠EMO=∠FNE，∠EOM=∠FEN，OE=EF，
∴△OEM≌△FEN(AAS)。
∵E(2,3)，∴OM=2，EM=3，
∴EN=OM=2，FN=EM=3。
∵点E的坐标为(2,3)，∴点N的纵坐标为3+EN=3+2=5，点F的横坐标为-FN=-3，
∴点F的坐标为(-1,5)。
(-1,5)
14. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$AC = BC = 6$，$P$为边$AB$上一动点，作$PD ⊥ BC$于点$D$，$PE ⊥ AC$于点$E$，连接$DE$，则线段$DE$长的最小值为.
答案
在$△ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，$AC=BC=6$，则$△ABC$为等腰直角三角形，$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$。
因$PD⊥BC$，$PE⊥AC$，$∠C=90^{\circ}$，故四边形$PDCE$为矩形，所以$DE=PC$（矩形对角线相等）。
$P$在$AB$上运动，$PC$为点$C$到$AB$上点$P$的距离，当$PC⊥AB$时，$PC$最小（垂线段最短）。
$△ABC$面积$S=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}×6×6=18$，又$S=\frac{1}{2}AB·PC$，则$18=\frac{1}{2}×6\sqrt{2}·PC$，解得$PC=3\sqrt{2}$。
故$DE$长的最小值为$3\sqrt{2}$。
$3\sqrt{2}$
因$PD⊥BC$，$PE⊥AC$，$∠C=90^{\circ}$，故四边形$PDCE$为矩形，所以$DE=PC$（矩形对角线相等）。
$P$在$AB$上运动，$PC$为点$C$到$AB$上点$P$的距离，当$PC⊥AB$时，$PC$最小（垂线段最短）。
$△ABC$面积$S=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}×6×6=18$，又$S=\frac{1}{2}AB·PC$，则$18=\frac{1}{2}×6\sqrt{2}·PC$，解得$PC=3\sqrt{2}$。
故$DE$长的最小值为$3\sqrt{2}$。
$3\sqrt{2}$
