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22. (本小题满分10分)如图,$AB$为$\odot O$的直径,$C$为$\odot O$上一点,$AD$垂直于过点$C$的切线,垂足为$D$.
(1) 求证:$AC$平分$∠ BAD$;
(2) 若$∠ BAD=60^{\circ}$,$AB=4$,求图中阴影部分的面积.
(1) 求证:$AC$平分$∠ BAD$;
(2) 若$∠ BAD=60^{\circ}$,$AB=4$,求图中阴影部分的面积.
答案
(1) 见证明过程；(2) $\frac{4π}{3}$
解析
(1) 证明：连接OC。
∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD。
∵AD⊥CD，∴AD//OC。
∴∠DAC=∠OCA。
∵OA=OC，∴∠OCA=∠BAC。
∴∠DAC=∠BAC，即AC平分∠BAD。
(2) ∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，∴∠BAC=30°。
∵AB为直径，AB=4，∴OA=OC=2，∠ACB=90°。
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴∠AOC=180°-2×30°=120°。
阴影部分面积为扇形OAC的面积：
$S_{\mathrm{扇形}OAC}=\frac{120π×2^2}{360}=\frac{4π}{3}$
∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD。
∵AD⊥CD，∴AD//OC。
∴∠DAC=∠OCA。
∵OA=OC，∴∠OCA=∠BAC。
∴∠DAC=∠BAC，即AC平分∠BAD。
(2) ∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，∴∠BAC=30°。
∵AB为直径，AB=4，∴OA=OC=2，∠ACB=90°。
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴∠AOC=180°-2×30°=120°。
阴影部分面积为扇形OAC的面积：
$S_{\mathrm{扇形}OAC}=\frac{120π×2^2}{360}=\frac{4π}{3}$
